Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы вычислений в MathCAD. Учебное пособие.pdf
Ввод и редактирование документа
Место ввода в документе – красный крест – выбирают мышью
или клавишами управления курсором. При построении математических
выражений используют символы английского алфавита (En). Если ша-
блон содержит несколько позиций ввода, то их удобно заполнять, по-
следовательно переходя от одной позиции к другой с помощью клавиши
табуляции (Tab). При вводе простых дробей, показателей степени, ин-
дексов и т.п. необходимо следить за положением курсора ввода синего
цвета. Действие курсора можно расширять, например с числителя дроби
на всю дробь, нажатием клавиши <пробел>. При наборе длинных фор-
мул может потребоваться их разбиение. В этом случае выделяют (охва-
тывают курсором синего цвета) левую часть формулы до оператора присваивания и нажимают Ctrl+Enter, после чего продолжают набор фор-
мулы на новой строке ввода. Ориентацию синего курсора ввода можно
изменить на противоположную нажатием клавиши Insert. При вводе
можно переопределять ранее определенные переменные. При этом сре-
да может переопределенные имена подчеркивать волнистой линией зе-
леного цвета, что можно отменить на вкладке Предупреждения окна
диалога Параметры, вызываемого из секции Инструменты одноимен-
ной командой.
Ввод текстовых блоков
Текстовые блоки являются комментариями к процессу получения
результата. Переместив курсор ввода в нужное место, набирают <“>.
Появляется специальная рамка с красным курсором ввода. Затем следу-
ет выбрать шрифт и его размер. Дальнейшие действия аналогичны рабо-
те в текстовом редакторе. Для перехода на новую строку текста нажимают Enter. Если в свободном месте документа набрать первое слово по-
русски и поставить пробел, то MathCAD "догадается", что вставляется
текстовой блок. В состав текста можно включать формулы, которые на-
11
бираются аналогично выражениям вычислительных блоков и при этом
проверяются на математическую корректность и по ним производятся
соответствующие вычисления (которые можно отменить). Для вставки
формулы выполняют команду Вставка/Регион формул или используют
сочетание клавиш Ctrl+Shift+a (пример показан ниже).
.
Представление результатов вычислений в графическом виде
В приведенной слева инструментальной
панели представлены варианты реали-
зо-ванных в системе видов графиков. Простейшим из них является гра-
фик кривой в декартовой системе координат (График X-Y). Чтобы по-
строить такой график, необходимо
определить аргумент и отображаемую
функцию. Затем с помощью символа
<@> вызывают шаблон графика и за-
полняют позиции ввода имени аргу-
мента по оси абсцисс и имени функции
по оси ординат. На рисунке слева при-
веден конкретный пример.
12
Графику несложно придать требуемый вид, вызвав для этого
двойным щелчком левой кнопкой мыши в области рисунка окно диало-
га Форматирование выбранного графика X-Y (рисунок ниже), а также
используя традиционные средства изменения размера и положения.
Коротко охарактеризуем вкладки окна. Вкладка, открываемая по
умолчанию (Оси X, Y), позволяет нанести на график линии сетки по
осям, для чего надо поставить соответствующие галочки, отменить ав-
тосетку и задать нужное число линий сетки выбранного цвета. В ниж-
ней части вкладки выбирают характер расположения осей. При необхо-
димости можно включить в график дополнительную ось Y (справа).
Вкладка Трассировка служит для задания вида, толщины, цвета и
типа проводимых кривых. Здесь можно выбрать отображаемый символ.
Вкладка Формат числа позволяет определить способ представле-
ния числовых значений на графике.
На вкладке По умолчанию можно задать сделанные в окне диалога
установки действующими на все рисунки документа.
13
С помощью пункта Масштаб... контекстного меню, вызываемого
щелчком правой кнопкой мыши в области графика, можно включить в
работу инструмент Масштаб графика X-Y панели. Если теперь мышью
выделить на графике определенную область кривой, то в окне названно-
го инструмента будут отображаться минимальные и максимальные зна-
чения аргумента и функции в пределах этой области и появится возмож-
ность увеличить масштаб ее рассмотрения (кнопка окна «+»). Возврат к
предыдущему шагу масштабирования – кнопка «–» и возврат к исходно-
му виду графика – «Отмена». Ниже приведен пример работы с инстру-
ментом.
Другая команда контекстного меню – Трассировка – вызывает
еще один инструмент панели График с окном Трассировка графика X-Y.
Щелчок мышью по интересующей вас точке графика приводит к появ-
лению в окне координат точки, которые можно скопировать в буфер об-
мена кнопками «Копировать X» и «Копировать Y» (рисунок ниже).
Кстати сказать, значки двух названных инструментов присутствуют в
панели График.
14
На одном рисунке можно воспроизводить несколько графиков.
Если функции зависят от одного аргумента, то следует ввести их имена
через запятую в позиции по вертикали. Если же функции имеют разные
аргументы, то имена функций и их аргументов надо вводить по очереди
по соответствующим осям также через запятую. При этом не следует
отображать на одном рисунке графики функций, сильно (больше чем на
порядок) отличающихся друг от друга своими значениями.
MathCAD позволяет также строить графики в полярной системе
координат (горячие клавиши для вывода шаблона – Ctrl+7), 3D-графики
в виде поверхностей (Ctrl+2), столбчатые 3D-диаграммы, линии уровня
(Ctrl+5), 3D-график разброса и векторные поля.
Форматирование результатов вычислений
Система представляет численные результаты по умолчанию с
точностью 3 знака после запятой, сохраняя при этом точность вычисле-
ний на уровне 15 знаков. Не значащие нули не показываются. Пользова-
тель может задать требуемую точность в окне диалога Формат ре-
зультата, произведя двойной щелчок по выведенному числовому зна-
чению. Для отображения ведущих нулей устанавливают флажок "Пока-
зывать конечные нули" (рисунок ниже).
15
MathCAD выводит результат в той системе счисления, которая бу-
дет задана на вкладке Параметры отображения, и в формате, опреде-
ленном на вкладке Формат числа.
Система позволяет исключать из вычислительного процесса неко-
торые действия. Для этого служит специальный маркер рядом с ре-
зультатом (виден на предыдущем рисунке). Если щелкнуть по нему пра-
вой кнопкой мыши, то можно будет задать Отключить вычисление,
запретив тем самым вычисление результата. Рядом с таким блоком по-
явится соответствующий маркер другого вида. Для отмены исключения
используют команду Включить вычисление.
2. Матричные операции
Со времени создания матричной алгебры английским математи-
ком Артуром Кэли (середина XIX века) матричные вычисления превра-
тились в мощный инструмент научных исследований. MathCAD предо-
ставляет пользователю широкие возможности для работы с массивами.
Массивы в системе представлены векторами и матрицами, которые мо-
гут содержать вложенные в них массивы – тензоры. Каждый элемент
вектора определяется своим индексом – порядковым номером в масси-
ве. Любой элемент матрицы характеризуется двумя индексами: номе-
16
ром строки и номером столбца. Отсчет индексов ведется от значения
ORIGIN. Ниже в таблице приведены матричные операции и способ их
ввода с клавиатуры (другой способ ввода – с помощью панели инстру-
ментов Матрица). В таблице операнды имеют следующие обозначения:
A – массив, M – матрица, V – вектор, S – скаляр.
Операция Клавиатура Экран
Умножение или деление на скаляр A*S или A/S A·S или
S
A
Сложение или вычитание скаляра A±S A±S
Сложение или вычитание массивов A1±A2 A1±A2
Умножение массивов A1*A2 A1·A2
Скалярное произведение векторов V1*V2 V1·V2
Векторное произведение векторов V1, Ctrl+*, V2
2V1V
×
Комплексно-сопряженный массив A”
A
Норма вектора | V |V|
Определитель квадратной матрицы | M |M|
Транспонирование A, Ctrl+!
A
T
Сумма элементов вектора Ctrl+$, V
V
∑
Векторизация A, Ctrl+–
A
Степень квадратной матрицы M, ^, n
M
n
Обратная матрица M, ^, -1
M
1
−
i-й элемент вектора V[i
V
i
n-й столбец матрицы M, Ctrl+^, n
M
n
〈 〉
Элемент матрицы на пересечении
i-й строки и j-го столбца
M[i,j
M
i j
,
Чтобы начать работу с массивами, их надо определить. Для опреде-
ления массива используют несколько способов. Назовем три основных.
Первый способ основан на использовании шаблона массива. Вызов шаблона производят с помощью панели Матрица или набором Ctrl+M. В
окне диалога Вставить матрицу задают число строк и столбцов массива с их общим числом не более 600 и нажимают Enter. Затем заполняют
позиции ввода в шаблоне массива. Второй способ предполагает описа-
17
ние элементов матрицы с помощью индексного выражения, индексы в
котором заранее определены как дискретные аргументы. Таким спосо-
бом можно определять массивы большого размера. Предельный размер
массива зависит от доступного на компьютере объема памяти и обычно
составляет не менее 1 миллиона элементов. В частном случае элементы
массива могут описываться индивидуально (так задают вложенные
массивы – тензоры). Ниже приведены примеры определения массивов
по второму способу.
ORIGIN 1
: =
Отсчет индексов от 1
i 1 3
. .: =
j 1 3
. .: =
m
i j
,
i j
+: =
Определение массива
с помощью индексного
выражения
m
2
3
4
3
4
5
4
5
6
=
В примере с тензорами по умолчанию (массив T слева) отобража-
ется размерность вложенных массивов. Чтобы увидеть тензоры (массив
T справа), надо выполнить форматирование результата (после двойного
клика по нему) – на вкладке Параметры отображения окна диалога
поставить флажок "Развертывать вложенные массивы".
Третий способ определения массива – с помощью таблицы (рису-
нок с примером следует за этим абзацем). Этот способ определения
удобно использовать для задания вектора сравнительно небольшого раз-
мера (не более 50 компонент, так как в 50-й раз среда пакета запятую не
ставит). Метод применим и к матрицам, если их элементы вводить по-
строчно (пример такого определения матрицы дан на рисунке ниже).
18
Ещё об одном способе определения (получения) массива – из файла бу-
дет сказано в конце этого раздела в связи с файловыми операциями.
k 1 2
. .: =
l 1 2
. .: =
M
k l
,
1
: =
Вводят первый элемент первой строки
и ставят запятую. MathCAD начнет
строить таблицу в пределах значений
индексов. Надо только после набора
очередного элемента вводить запятую.
Таблицу можно редактировать.
M
k l
,
1
2
3
4
: =
А вот и результат
M
132
4
=
Приведем примеры действий с массивами, чтобы показать особен-
ности выполнения некоторых операций.
Третий столбец матрицы M в примере получен в результате при-
менения одного и того же действия – извлечения корня квадратного из
каждого элемента транспонированного вектора v1. В этом и заключает-
ся смысл операции векторизация. Данная операция применима и к эле-
19
ментам матрицы. Скалярное произведение вычисляется только для век-
торов-столбцов как сумма произведений элементов с одинаковыми ин-
дексами. Векторное произведение образуют только трехэлементные
векторы-столбцы. Если среда выводит сообщение об ошибке "Must be
vector" ("Должен быть вектор"), то должен быть вектор-столбец.
Векторные и матричные функции
Названные функции широко представлены в категории Векторы
и матрицы. Приведем некоторые из них, а также примеры их использо-
вания.
Единичную матрицу возвращает функция identity(n), аргумент
которой определяет ее размер. Диагональную матрицу – diag(v), где v –
вектор элементов главной диагонали. Функции Re(a) и Im(a) возвра-щают массивы вещественных и мнимых частей исходного массива a. Число строк и столбцов определяют с помощью функций rows(a) и cols(a),
а минимальный и максимальный элементы в массиве – min(a) и max(a).
Для определения индексов заданного значения z в векторе или матрице
используют функцию match(z, a). Если значений несколько, то функция
возвращает вектор тензоров, каждый из которых содержит номер строки и номер столбца. Поиск значений z осуществляется в матрице a по
столбцам. Для вектора применимы функции last(v) и length(v), возвра-
щающие соответственно индекс последнего элемента и размер вектора.
Сумму диагональных элементов матрицы m (след матрицы) возвращает
tr(m). Функция sort(v) сортирует элементы вектора по нарастанию, а
reverse(a) переписывает его элементы или строки матрицы в обратном
порядке. Сортировку элементов матрицы выполняют функции csort(m,
k) и rsort(m, k), в них k определяет номер того столбца или соответ-
ственно строки, элементы которых после сортировки строк (столбцов)
будут упорядочены по нарастанию. Система позволяет также вычленять из матрицы подматрицу с помощью функции subma-trix(m, ir, jr,
20