Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начальный курс информатики. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
61
678,333 в двоичную и восьмеричную системы счисления, оставив
пять знаков в дробной части нового числа.
14. Запишите в десятичной системе счисления числа: 3419,
3418, 34116.
15. Перевести двоичные числа в восьмеричную систему
счисления:
1) 110000110101; 1010101; 0,10100111001; 0,1111110001;
2) 0,10011111; 0,110001; 11100001011001; 1000010101.
16. Перевести двоичные числа в шестнадцатеричную
систему счисления:
1)11011010001; 111111111000001; 0,0110101;
0,11100110101; 2)10001111010; 100011111011; 0,101010101;
0,1100110011.
17. Перевести смешанные двоичные числа в восьмеричную
и шестнадцатеричную системы:
1)100010,011101; 1111000000,101; 101010,111001;
100011,111; 2) 101111,011; 100000111,00111; 101010,001;
1100011,11.
18. Перевести восьмеричные числа в двоичную систему
счисления:
1) 256; 0,345; 24,025; 0,25;
2) 657; 76,025; 0,344; 345,77.
19. Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную
систему счисления:
1) 1АС7; 0,2D1; 2F,D8C; F0C,FF;
2) FACC; 0,FFD; FDA,12F; DDFF,A.
20. Перевести числа из шестнадцатеричной системы
счисления в восьмеричную:
1) А45; 24A,9F; 0,FDD5; F12,0457;
2) A24,F9; 54A; 0,DFD3; 21D,567.
21. Перевести числа из восьмеричной системы счисления в
шестнадцатеричную:
1) 774; 765,25; 0,5432; 654,763;
2) 665; 546,76; 0,7654; 432,347.
22. Перевести из одной указанной системы счисления в
другую следующие числа:
62
1) 2316 Х2; 23,458 Х2;
1010,00111012 Х8; 1010,00111012 Х16;
2) АС116 Х8; 1010108 Х2;
1010102 Х8; 23,5618 Х16.
23. Перевести следующие числа:
1) 10101,012 Х8; 10101,018 Х16;
10101,0116 Х8; 10101,018 Х2;
2) 11001,112 Х8; 11001,118 Х16;
11001,1116 Х8; 11001,118 Х2.
24. Перевести следующие числа:
1) ABC,1A16 Х8; ABC,1A16 Х2;
2) 123,568 Х16; 123,568 Х2;
3) 101011,1012 Х8; 101011,1012 Х16;
4) 456,78 Х16; 456,716 Х8.
25. Опишите четверичную систему. Постройте двоичночетверичную таблицу.
26. Перевести следующие числа:
1) 304 Х2; 13,24 Х2; 101111002 Х4; 101,0112 Х4;
2) 234 Х2; 31,34 Х2; 110011012 Х4; 111,1012 Х4.
27. Перевести следующие числа:
1) 131,214 Х8; 2348 Х4; 321,124 Х16; А1В,Е16 Х4;
2) 331,114 Х8; 3648 Х4; 111,224 Х16; 1А1,1Е16 Х4.
28. Решите уравнение 608+x=1207. Ответ запишите в
шестеричной системе счисления.
29. Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N
оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее
возможное основание этой системы счисления N.
30. Укажите через запятую в порядке возрастания все
десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в
системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?
31. Запись числа N в системе счисления c основанием 7
содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c
основанием 6 содержит три цифры, а запись в системе счисления
c основанием 13 заканчивается на 3. Чему равно N? Запишите
ответ в десятичной системе счисления.
63
32. Решите уравнение 145 + x = 247. Ответ запишите в
троичной системе счисления.
33. В некоторой системе счисления записи десятичных
чисел 41 и 63 заканчиваются на 8. Определите основание системы
счисления.
34. Десятичное число 71 в некоторой системе счисления
записывается как «78». Определите основание системы
счисления.
35. Укажите через запятую в порядке возрастания все
основания систем счисления, в которых запись числа 75
оканчивается на 13.
7. Представление информации в компьютере
Человек воспринимает информацию из внешнего мира с
помощью своих органов чувств. Большая часть информации принимается нами через зрение и слух. Органы слуха воспринимают
звуковые сигналы, органы зрения воспринимают световые сигналы.
Сигнал переносит информацию, представленную в виде
значения или изменения значения физической величины.
Звуковой сигнал связан с изменением давления воздуха,
порожденного звуковой волной и воздействующего на орган слуха. Световые сигналы, воспринимаемые нашим зрением, - это
электромагнитные волны в определенном диапазоне частот – диапазоне видимого света.
Различают два вида сигналов: непрерывные и дискрет-
ные. Например, звук – это непрерывный волновой процесс, происходящий в атмосфере или другой сплошной среде. Непрерыв-
ный электрический сигнал в технических системах передачи и
обработки информации называют аналоговым сигналом. Термин «дискретный» означает «разделѐнный», состоящий из отдельных частиц, элементов. При цифровой передаче и обработке
информации используются дискретные сигналы.
В течение двух последних столетий ученые и изобретатели
достигли больших результатов в создании средств связи для пере-
64
дачи информации на расстояние. Телеграф – это дискретный способ передачи информации (последовательность электрических
сигналов разной длительности, переносимых от одного телеграфного аппарата по проводам к другому телеграфному аппарату).
Телефонная связь – это аналоговый способ передачи звука. Радиосвязь – это аналоговый способ передачи звука.
Компьютер обрабатывает различную информацию: графическую, числовую, текстовую, звуковую. Однако компьютер может хранить и обрабатывать только дискретную информацию.
Любой вид информации, подлежащей компьютерной обработке
должен быть закодирован с помощью конечной последовательности целых чисел, которые затем переводятся в двоичный вид для
хранения в компьютере. Это связано с тем, что каждая ячейка памяти, регистр арифметического устройства представляет собой
физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов, обладающих двумя устойчивыми состояниями.
Каждый такой элемент служит для записи одного из разрядов
двоичного числа.
Задача перевода информации естественного происхождения
в компьютерную форму называется задачей дискретизации или
квантования. Эта задача решается для всех видов информации.
Способы дискретизации различны, но подходы построены на
одинаковых принципах.
Представление целых чисел
Для представления целых чисел обычно используется несколько различных способов представления, отличающихся друг
от друга количеством разрядов и наличием или отсутствием знакового разряда.
Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных чисел. Отрицательные числа представлены в знаковом
виде. При беззнаковом представлении все разряды ячейки отводятся
под само число. При знаковом – старший разряд отводится под знак
числа, остальные под собственно число. Если знак числа – «+» (число
положительное), то знаковый разряд – 0, если знак числа – «-» (число
отрицательное), то знаковый разряд.
65
1. Таким образом, в ячейках одного размера (одинаковое
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
1
k
Максимальное целое число
8
28-1=255
16
216-1=65535
32
231-1=4294967295
64
264-1=18446744073709551615
количество разрядов) можно представить больший диапазон целых не отрицательных чисел в беззнаковом представлении, чем
чисел со знаком.
Для получения представления беззнакового целого числа в
k-разрядной ячейке памяти достаточно перевести его в двоичную
систему счисления и дополнить до k разрядов нулями.
Пример 26. Получить представление целого числа 137 в 12-
разрядной сетке.
Решение:
1) Получим двоичное представление числа 137.
137:2 = 68 (остаток 1),
68:2=34 (остаток 0),
34:2=17 (остаток 0),
17:2=8 (остаток 1),
8:2=4 (остаток 0),
4:2=2 (остаток 0),
2:2=1 (остаток 0),
1:2=0 (остаток 1),
13710=100010012.
2) Запишем двоичное представление в 12-разрядной сетке,
дополнив слева 4 незначащими нулями:
Ответ: 000010001001.
Существуют ограничения на запись чисел в k-разрядной сетке.
Минимальное число (все k разрядов равны 0):
Максимальное число (все k разрядов равны 1):
Максимальные значения в k-разрядной сетке:
0 0 0 . . . 02 = 010.
1 1 1 . . . 12 = 2k-1.
66
При знаковом представлении целых чисел возникают такие
понятия, как прямой, обратный и дополнительные коды.
Представление числа в форме «знак-величина», при котором старший разряд отводится под знак, остальные k-1 разрядов
под цифры абсолютной величины числа, называется прямым ко-
дом.
Пример 27. Получить прямой код числа - 37 в 8-разрядной
сетке.
Решение:
1) Двоичное представление модуля числа - 37:
-37 = 1001012.
2) Записываем полученное число в 8-разрядную сетку, ука-
зав значение старшего разряда 1 (так как число отрицательное):
10100101.
Ответ: 10100101.
Положительные целые числа представляются в компьютере
с помощью прямого кода.
Отрицательные целые числа представляются дополнитель-
ным кодом. Он позволяет заменить арифметическую операцию
«вычитание» операцией «сложение».
k-разрядный дополнительный код отрицательного числа m –
это запись в k-разрядах положительного числа 2k- m, где m - это
модуль числа m. По сути дополнительный код отрицательного
числа – дополнение модуля числа до значения 2k.
Для того чтобы получить дополнительный код отрицатель-
ного целого числа надо:
1. модуль числа представить прямым кодом в k разрядах;
2. значение всех разрядов инвертировать (поменять на об-
ратный) – обратный код;
3. увеличить значение последнего разряда на 1.
Пример 28. Получить дополнительный код числа - 52 для 8
и 16-разрядной сетки.
Решение:
k = 8.
1) Получим двоичное представление модуля числа - 52:
67
-52 = 1101002. Записываем его в 8 разрядах, дополняя
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0
0
двумя незначащими нулями: 00110100.
2) Получаим обратный код: инвертируем значение разря-
дов:
11001011.
3) Добавляем 1 к последнему разряду: 11001100
Для k=16 решение представлено схематично:
прямой код:
обратный код:
дополнительный код:
Ответ: при 11001100 для k=8.
1111111111001100 для k=16.
Для того чтобы восстановить число по его дополнитель-
ному коду надо:
1) инвертировать дополнительный код
2) добавить к последнему разряду 1
3) представить полученное двоичное число в десятичную
систему счисления и если в дополнительном коде старший разряд
1, то указываем перед числом «-».
Пример 29. Восстановить значение числа по его дополни-
тельному двоичному коду 100101112.
Решение:
1) Инвертируем код: 01101000.
2) Добавляем к последнему разряду 1: 01101001.
3) Получаем десятичное представление числа
011010012=64+32+8+1=105.
Так как в дополнительном коде старший разряд 1, значит
искомое число отрицательное -105.
Ответ: -105.
68
Представление вещественных чисел
2
10
211.17
10
Для представления вещественных чисел в памяти компью-
тера требуется перевести их в дискретную форму. В первых компьютерах использовалось кодирование чисел, представленных в
форме с фиксированной запятой. Так как положение запятой жестко закреплено в разрядной сетке, то нужна была предварительная работа по масштабированию данных. Масштабы должны подбираться так, чтобы результаты всех операций не выходили за
пределы разрядной сетки и обеспечивали максимально возможную точность. Эта проблема решалась за счет разрешения компьютеру размещать и помнить, где располагается запятая. Это
уменьшало количество представимых вещественных чисел. В современных компьютерах используется способ записи вещественного числа, основанного на том, что любое число R в системе
счисления с основанием p можно записать в виде: R = m np,
где m - значащая часть числа (хранит цифры числа), p – порядок
числа (указывает положение запятой). Пример записи десятичных
вещественных чисел в формате с плавающей запятой:
-1,6 10
3 10
-19
;
8
.
Но данный способ представления числа неоднозначный.
Например, для десятичных чисел справедливы следующие равенства:
2,5324=0,25324 101 = 0,0025324 103 = 2532,4 10-3 и т.п.
Чтобы не было неоднозначности, в компьютере использует-
ся такое представление вещественного числа с плавающей запятой, при котором значащая часть m 1 ≤ m < p, где p – основание
системы счисления. Такое представление называется нормали-
зованным представлением. Например, нормализованное пред-
ставление десятичного числа в двоичной системе выглядит так:
.
Всегда m начинается с 1 и ее можно не хранить.
69
Пример 30. Записать десятичные числа 43 1021 и 0,0005 в
Знак числа
Машинный
порядок
Мантисса
1 бит
8 бит
23 бита
нормализованном десятичном виде.
Решение: 43 1021 = 4,3 1022.
0,0005 = 5 10-4.
Ответ: 4,3 1022, 5 10-4.
Пример 31. Записать двоичные числа 11 2
10100
и 0,0001 в
нормализованном двоичном виде.
Решение: 11 2
0,0001 = 1 2
-100
Ответ: 1,1 2
10100
10101
= 1,1 2
.
, 1 2
-100
.
10101
В памяти компьютера мантисса представляется как целое
число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не
хранятся). Представление вещественного числа в памяти сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.
Для примера рассмотрим один из вариантов представления
в памяти вещественного числа в 4-х байтовой ячейке памяти.
В ячейке должна содержаться следующая информация о
числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы.
В старшем бите хранится знак числа: 0 обозначает плюс, 1 – минус.
1 байт=8 бит содержит машинный (смещенный) порядок. В следующих 23 битах хранятся значащие цифры мантиссы (23 разряда).
В отличие от целых чисел значащая часть вещественного числа хранится в прямом коде. Для того чтобы избежать представления знака
порядка к нему добавляют некоторое положительное смещение d:
Mp = p + d. Для представления числа с одинарной точностью (single)
смещение d = 127.
Машинный порядок смещѐн относительно математического
и имеет только положительные значения.
70
Пример 32. Записать внутреннее представление десятичного
1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -
Машинный порядок
Значащая часть
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
+
Машинный порядок
Значащая часть
числа -17,25 в формате с плавающей запятой одинарной точности.
Решение:
1) Получим двоичное представление модуля числа -17,25:
-17,25 = 10001,012.
2) Представляем полученное значение в нормализованном
двоичном виде: 10001,012 = 1,0001012
100
(целая часть числа «1» в
коде не представлена).
3) Определим двоичное представление машинного порядка:
Mp=1002+12710=1002+11111112=100000112.
4) Указываем значение 32 разрядов (4 байтов).
Запись полученного кода в шестнадцатеричной системе:
C18A000016.
Ответ: C18A000016.
Пример 33. Определите, какому десятичному значению со-
ответствует код 3FC0000016.
Решение: Представим заданный код в двоичном виде. Для
этого каждую шестнадцатеричную цифру числа записываем двоичными разрядами:
316 =00112,
F16=11112,
C16=11002,
016=00002.
Получаем следующий код:
тематический порядок p=Mp-127; p=127-127=0.
числа: 1,120=1,510.
Искомое число положительное, так как бит знака = 0.
Машинный порядок (Mp): 011111112 = 12710. Находим ма-
Записываем нормализованную двоичную форму искомого
Ответ: 1,510.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]