Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начальный курс информатики. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
51
Способ 2
1) Последовательно производим деление числа 343 на осно-
вание системы счисления – 2, производим выделение целой части
и остатка от деления. Делим до получения целой части равной
нулю:
343:2 = 171 (остаток 1),
171:2 = 85 (остаток 1),
85:2 = 42 (остаток 1),
42:2 = 21 (остаток 0),
21:2=10 (остаток 1),
10:2=5 (остаток 0),
5:2=2 (остаток 1),
2:2=1 (остаток 0),
1:2= 0 (остаток 1).
2) Выписываем остатки от деления в обратном порядке их
получения – это и есть краткая запись числа в системе счисления
с основанием 2:1010101112
Ответ: 34310=1010101112.
Пример 12. Получить представление десятичного числа
343 в системе счисления с основанием 8.
Решение:
Способ 1
1) Получаем развернутую форму записи числа, используя
базис восьмеричной системы счисления:
34310=564 + 28 +71 = 582 + 281 +780.
2) Теперь делаем краткую запись представления числа. Для
этого выписываем коэффициенты при степенях двойки: 527
8.
Способ 2
1) Последовательно производим деление числа 343 на осно-
вание системы счисления – 8, производим выделение целой части
и остатка от деления. Делим до получения целой части равной
нулю.
343:8 = 42 (остаток 7),
52
42:8 = 5 (остаток 2),
5:8 = 0 (остаток 5).
2) Выписываем остатки от деления в обратном порядке их
получения – это и есть краткая запись числа в системе счисления
с основанием 8: 5278.
Ответ: 34310=5278.
Пример 13. Получить представление десятичного числа
1043 в системе счисления с основанием 16.
Решение:
Способ 1
1) Получаем развернутую форму записи числа, используя
базис шестнадцатеричной системы:
103510=4256 + 016 +111 = 4162 + 0161 +11160.
2) Теперь делаем краткую запись представления числа. Для
этого выписываем коэффициенты при степенях 16 (цифра со значением 11 в алфавите 16-ной системы обозначается B): 40B
16.
Способ 2
1) Последовательно производим деление числа 1035 на ос-
нование системы счисления – 16, производим выделение целой
части и остатка от деления. Делим до получения целой части, равной нулю:
1035:16 = 64 (остаток 11),
64:16 = 4 (остаток 0),
4:16 = 0 (остаток 4).
2) Выписываем остатки от деления в обратном порядке их
получения – это и есть краткая запись числа в системе счисления
с основанием 16: 40B16
Ответ: 103510=40B16
Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием p.
Пример 14. Перевести десятичную дробь 0,625 в двоичную
систему счисления.
Решение: будем последовательно умножать это число на 2,
выделяя целую часть произведения:
53
0,6252=1,25
1 – первая цифра
0,252=0,5
0 – вторая цифра
0,52=1,0
1 – третья цифра
Дальше нули
Ответ: 0,62510=0,1012
0,6898=5, 512
5 – первая цифра
0,5128=4, 096
4 – вторая цифра
0,0968=0, 768
0 – третья цифра
0,7688=6, 144
6 – четвертая цифра
0,1448=1, 152
1 – пятая цифра
0,1528=1, 215
1 – шестая цифра
Пример 15. Перевести 34, 68910 в восьмеричную систему.
Решение: перевод производим отдельно для целой части и
для дробной.
Получаем восьмеричное представление целой части.
34:8 = 4 (остаток 2)
4:8=0 (остаток 4)
3410=428
Для перевода дробной части 0, 689
будем последовательно ум-
10
ножать это число на 8, выделяя целую часть произведения. Получим
приближенный результат с заданной точностью (6 цифр):
Ответ: 34,68910=42,5406118.
Перевод из недесятичной системы счисления в десятичную.
Для представления числа, записанного в системе счисления с
основанием p в десятичной системе надо представить его в развернутой форме и произвести указанные арифметические действия
по правилам десятичной арифметики. Полученный результат будет
ответом.
Пример 16. Получить десятичное представление числа
1011011,112.
Решение: Разворачиваем запись числа, используя базис дво-
ичной системы счисления:
1
1011011,112=126 + 025 + 124 + 123 + 022 + 12
120 + 12-1+12-2=
+
= 64 + 16 + 8 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25=91,7510.
54
Ответ: 1011011,112=91,7510.
1
011
111
001
011
111
Пример 17. Получить десятичное представление числа 1328.
Решение: Разворачиваем запись числа, используя базис
восьмеричной системы счисления:
1328=182 + 381 + 280 = 64 + 24 + 2=9010.
Ответ: 1328=9010.
Пример 18. Получить десятичное представление числа 10С,
А16.
Решение: разворачиваем запись числа, используя базис ше-
стнадцатеричной системы счисления:
10С,А16=1162 + 0161 + 12160+10 16-1= 256 + 12 + 0,625 = 268,62510
Ответ: 10С,А16=268,62510.
Перевод чисел, представленных в системах счисления с ос-
нованием 2n.
Для того чтобы целое двоичное число записать в системе
счисления с основанием q=2n (4, 8, 16 и т.д.) нужно:
1) данное двоичное число разбить справа налево на группы
по n цифр в каждой;
2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;
3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное
число и записать его соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример 19. Представить двоичное число 1011111 в вось-
меричной и шестнадцатеричной системах счисления.
Решение:
q = 8 = 23.
1) Разбиваем число 1011111 справа налево по тройкам, по-
лучается 3 тройки.
2) В левую группу добавляем два нуля.
3) Рассматриваем каждую группу как двоичное число и
записываем его 8-ной цифрой: 0012=1; 0112 = 3; 1112= 7 1378.
55
q=16=24.
101
1111
0101
1111
101
111
1
101
111
100
1011
111
1) Разбиваем число 1011111 справа налево по четверкам,
получается 2 группы по 4 разряда.
2) В левую группу добавляем один нуль.
3) Рассматриваем каждую группу как двоичное число и записы-
ваем его 16-ной цифрой: 01012=5; 11112= 15=F 5F16.
Ответ: 10111112 = 1378=5F16.
Для того чтобы дробное двоичное число записать в систе-
ме счисления с основанием q=2n (4, 8, 16 и т.д.) нужно:
1) данное двоичное число разбить слева направо на группы
по n цифр в каждой;
2) если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;
3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное
число и записать его соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример 20. Представить двоичное число 0,1011111 в вось-
меричной и шестнадцатеричной системе счисления.
Решение:
q=8=23.
1) Разбиваем запись дробной части числа 1011111 слева на-
право по тройкам, получается 3 тройки.
2) В последнюю правую группу добавляем два нуля.
3) Рассматриваем каждую группу как двоичное число и за-
писываем его 8-ной цифрой: 1012=5; 1112 = 7; 1002= 4 дробная
часть заданного числа в восьмеричной системе - 5748.
q=16=24.
1) Разбиваем запись дробной части числа 1011111 слева
направо по четверкам, получается 2 группы.
56
2) В последнюю правую группу добавляем один нуль.
1011
1110
3) Рассматриваем каждую группу как двоичное число и за-
писываем его 16 цифрой: 10112=B; 11102 = E; дробная часть
заданного числа в шестнадцатеричной системе - BE16.
Ответ: 0,10111112 = 0,5748=0,BE16.
Для того чтобы смешанное двоичное число записать в
системе счисления с основанием q=2n (4, 8, 16 и т.д.), нужно:
1) целую и дробную части данного двоичного числа, начиная от запятой, разбить на группы по n цифр в каждой;
2) если в последних правой и левой группах окажется
меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями
до нужного числа разрядов;
3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное
число и записать его соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример 21. Представить двоичное число 1011,0111 в вось-
меричной и шестнадцатеричной системе счисления.
Решение:
q=8=23.
1) Разбиваем запись целой части числа 1011,0111 справа
налево, а дробной слева направо по тройкам.
Целая часть: 1 011.
Дробная часть: 011 1.
2) В последнюю левую группу и последнюю правую группу
добавляем по два нуля.
Целая часть: 001 011.
Дробная часть: 011 100.
3) Рассматриваем каждую группу как двоичное число и записываем его 8 цифрой: 0012=1; 0112 = 3; 1002= 4. Число в восьмеричной системе будет записано так: 13,348.
q=16=24.
1) Разбиваем запись целой части числа 1011,0111 справа
налево, а дробной слева направо по четверкам.
Целая часть: 1011.
Дробная часть: 0111.
57
2) Так как группы получились полными, по 4 разряда ни в
16 2 16
2
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
1 5 F
C
0001
0101
1111
1100
правую ни в левую группы незначащих нулей не добавляем.
3) Рассматриваем каждую группу как двоичное число и за-
писываем его 16-ной цифрой: 10112=B; 01112 = 7. Число в шестнадцатеричной системе будет записано так: B,716.
Ответ: 1011,01112 = 13,348=B,716.
Для перевода произвольного числа из системы счисления с
основанием q=2n (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную систему счисления,
нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 22. Перевести число 15FC16 в двоичную систему.
Решение: воспользуемся двоично-шестнадцатеричной таб-
лицей:
В одном столбце таблицы помещены шестнадцатеричные
цифры, напротив, в соседнем столбце – равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в четырехзначном виде.
Теперь каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим
на соответствующую ей в таблице четверку двоичных знаков.
Получаем число: 00010101111111002.
Первые нули можно отбросить как незначащие.
Ответ: 15FC16=10101111111002.
58
Пример 23. Перевести число 247,568 в двоичную систему.
8
2
0
000 1 001
2
010
3
011
4
100
5
101 6 110 7 111
2 4 7 5 6
010
100
111
101
110
Решение: воспользуемся двоично-восьмеричной таблицей:
В одном столбце таблицы помещены восьмеричные цифры,
напротив, в соседнем столбце – равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в трехзначном виде. Теперь каждую цифру в восьмеричном числе 247,56 заменим на соответствующую ей в таблице тройку двоичных знаков.
Получаем число: 010100111,1011102.
Первые нули можно отбросить как незначащие.
Ответ: 247,568 =010100111,1011102.
Пример 24. Запись числа 6710 в системе счисления с осно-
ванием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.
Решение:
1) Поскольку запись в системе счисления с основанием N
заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1,
то есть при некотором целом k имеем k N + 1 = 67 k N = 66.
Cледовательно, основание N – это делитель числа 66.
2) С другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то
есть 1000N ≤ 67 < 10000 N N3 ≤ 67 < N4.
3) Выпишем кубы и четвертые степени первых натураль-
ных чисел, которые являются делителями числа 66:
23=8, 33=27, 63=216, 24=16, 34=81, …
59
4) Видим, что из этого списка только для числа N = 3 выпол-
няется условие N3 ≤ 67 < N4. Таким образом, верный ответ – 3.
Можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную
систему 67
= 2111
10
3
Ответ: N = 3.
Пример 25. Укажите через запятую в порядке возрастания
все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
Решение: обозначим неизвестное основание системы счис-
ления через N.
1) Поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно
быть больше 2, то есть N>2.
2) Так как последняя цифра числа – 2, значит остаток от деления исходного числа на N – 2.
3) Ищем все целые числа N>2, такие что остаток от деления
23 на N0равен 2 или ищем решения уравнения 23 = k N + 2, где k
– целое неотрицательное число (0, 1, 2, …).
4) Перепишем уравнение k N = 21. Задача сводится к тому,
чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2. Есть только три таких делителя: 3, 7, 21.
Ответ: 3, 7, 21.
Коротко о главном
1. Система счисления – правила записи чисел и связанные с
этими правилами способы выполнения вычислений.
2. Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.
3. Если требуется перевести смешанное десятичное число в
другую систему счисления, то отдельно переводится целая часть
числа путем последовательных делений и отдельно дробная часть
числа путем умножений. Затем два этих результата записываются
через запятую одним смешанным числом.
4. Для представления недесятичного числа в системе счисления с основанием 10 необходимо представить его в развернутой
форме и произвести указанные действия в соответствии с правилами десятичной арифметики.
60
5. Для перевода чисел из системы счисления q=2n в двоич-
ную и обратно используются специальные алгоритмы, основанные на группировке цифр по n.
Вопросы и задания
1. Определите основные понятия систем счисления: цифра,
алфавит, основание, базис системы.
2. Почему развернутую форму записи числа называют разложением по базису?
3. Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.
4. Выпишите алфавит системы счисления с основанием 5.
Запишите первые 20 чисел натурально числового ряда в этой системе счисления.
5. Получить развернутую форму чисел: 3247810, 26,28710,
1123, 125,3416
6. Какое минимальное основание должна иметь система
счисления, если в ней могут быть записаны числа: 10, 21, 201,
1201?
7. Какое минимальное основание должна иметь система
счисления, если в ней могут быть записаны числа 22, 984, 1010,
A219?
8. Перевести целые числа из десятичной системы счисле-
ния в двоичную: 523, 65, 325.
9. Перевести целые числа из десятичной системы счисления
в восьмеричную: 214, 89, 998, 653, 111.
10. Перевести целые числа из десятичной системы счисле-
ния в шестнадцатеричную: 214, 89, 998, 653, 111.
11. Перевести десятичные дроби 0,555; 0,321; 0,1213 в дво-
ичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить
шесть знаков.
12. Перевести десятичные дроби 0,745; 0,101; 0,8453; 0,3451
в шестнадцатеричную систему счисления. В новой записи дроби
сохранить шесть знаков.
13. Перевести смешанные десятичные числа 21,5; 432,54;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]