Начала математического анализа. Учебное пособие для СПО

81

т. е. если существует такое число ,c что при всех натуральных

n

выполняется неравенство

cx

n



.

Пусть

}...,...,,,{

321

xxxX 

.

Теорема 1 (теорема Вейерштрасса* о сходимости

монотонной и ограниченной последовательности

).

Монотонная ограниченная последовательность действительных чисел сходится, причем если последовательность

n

x

возрастающая, то

Xx

n

suplim





,

если же последовательность

n

x

убывающая, то

Xx

n

inflim







.

Доказательство

. Пусть последовательность

)(

n

x

и ограни-

чена сверху (снизу она ограничена числом

1

x

), т. е.

)()(:

1







nnn

xxbxnb

ΝR

. Так как

bx

n



для всех

n

,

то существует точная верхняя грань

Xa sup:



и

ba 

(если

ba 

,

например, 0, 



 ba , то

bxbxn

nn







00

,0

0

, что

противоречит тому, что

bxn

n







N

). Покажем, что

n

xa





 lim

.

Поскольку

a

– точная верхняя грань X, то

1)

axn

n

 N

;

2) )(0 

N

такое, что





 ax

N

.

Поскольку последовательность

)(nx

возрастает, постольку для

каждого

N

n 

имеем

axxa

n

N



,

т. е. для всех



 aaxaNn

n

. Таким образом,

ax

n

при

N

n 

. Отсюда ввиду произвольности числа  имеем

ax

n





.

Теорема доказана.

*

Вейерштрасс Карл (1815–1897) – немецкий математик, уделявший большое

внимание логическому обоснованию математического анализа.

82

Замечание 1.

Если последовательность

)(

n

x

не является

ограниченной сверху, то





nn

xlim

, т. е. последовательность явля-

ется бесконечно большой. В самом деле, если последовательность

)(

n

x

не является ограниченной сверху, то

R





E

существует такое

число

m

x

, что

Ex

m



. Так как

)(

n

x

, то для всех

mn

xxmn 

,

а это и означает, что





n

xlim

.

Аналогично доказывается теорема о пределе убывающей

последовательности.

Замечание 2.

Сходящаяся последовательность может

и не быть монотонной.

Пример 7.1. Рассмотрим последовательность





2

1

n

x

n





,

1lim 



n

x

. Находим





,1

9

8

,1

4

5

,0

1

321





 xxx , т. е. все

члены последовательности с четными номерами

1

4

1

2



k

x

k

,

а все члены с нечетными номерами



1

12

1

2

12









k

x

k

. Как

видно, последовательность





2

1

n

x

n





не является монотонной.

Пример 7.2. Докажем, что

0lim 

nn

q

, если

1q

.

Пусть сначала

10



q

. Находим

nxxq

q

x

nn

n





1

, т. е.

)(

n

x

– убывающая ограни-

ченная снизу (нулем) последовательность. Значит, она имеет предел. Пусть

n

xa



 lim:

. Последовательность (

1n

x

) имеет тот же предел:

1

lim:







n

xa

. Но по теореме о произведении пределов последова-

83

тельностей (параграф 5.8)

qaqqqqq

n

nn

n









)lim(limlim

1

.

Таким образом,

0



aqaa

.

Если

01



 q

, то будем пользоваться тем, что

n

qq 

, и тем,

что

0lim0lim





n

xx

.

6.2. Число e

Теорема 2

. Последовательность

)(nx

,

где

1

:1 , 1,2,...,

n

xn

n

 



 

сходится.

Заметим, что

12 3 100

2, 2, 25, 2,370 37, , 2,704 81,xx x x  



1000 9998

2,716 923, 2,718 145 791,xx



Доказательство. Докажем, что последовательность

)(

n

x

стро-

го возрастает и ограничена. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

nnn

n

nn

babCbaCbaCaba 



1122211

...)(

, (6.1)

где

!

)1)...(1(

)!(!

!

k

knnn

knk

n

C

k

n









.

Подставляя в формулу (6.1)

n

ba

1

,1  , получаем













n

nnnn

n

nn

n

nx

1

!

)1)...(1(

...

1

!2

)1(1

1

2

 



 





 



 





 



 





 



 





 



 





n

nnnnn

1

1...

1

!

1

...

2

1

!3

11

1

!2

1

2

. (6.2)

Так как

)1,,2,1(01  ni

n

i



, то из выражения (6.2) вытекает

Ν nx

n

2

.

84

А так как 1 0 ( 1,2, , 1)

i

in

n

   , то

1

11 1

2 ... ! 1 2 3 ... 2

2! 3! !

n

xnn

n



      

1

21

1

21 3

2

11 1

2 ...

2

22

nn





 

   

. Следовательно,

32





n

x

.

Докажем, что

nn

xx 

1

. Находим



 



 









1

n

x



 



 







 



 







 



 







...

1

2

1

!3

1

!2

1

2

nnn

 



 







 



 









 



 







 



 







1

1...

1

)!1(

1

1...

1

!

1

n

nnn

n

nn

. (6.3)

Поскольку

)1...,,2,1(1

1

1 



 ni

n

i

n

i

и, кроме того, последнее

слагаемое в выражении (6.3)

0

1

1...

1

)!1(

1



 



 







 



 







 n

n

nn

,

постольку из соотношений (6.2) и (6.3) следует, что

nn

xx 

1

.

Итак,

32





n

x

и

Ν









nxx

nn 1

.

В соответствии с теоремой 1 о пределе монотонной ограничен-

ной последовательности

n

 



 





1

имеет предел, который, следуя

Эйлеру

*

, обозначают e:

n

 



 







1

1lim:e

.

Наряду с



число e является одной из наиболее важных констант в математике. Подсчитано, что начальный отрезок десятичного разложения для е имеет вид

e 2,718 281 828 459 045 235 3





*

Леонард Эйлер (1707–1783) – швейцарский математик, механик, ученик

И. Бернулли, большую часть жизни работал в Петербургской и Берлинской АН; только при жизни Эйлером было опубликовано около 550 своих книг и статей.

85

В 1873 г. Шарль Эрмит* установил, что число е трансцен-

дентно. В математике число е известно также как неперово

**

число.

Число е используется в качестве основания натурального логарифма

xx

e

log:ln 

.

Показательная функция с основанием е называется экспонентой

x

x e:exp 

.

6.3. Применение последовательностей в экономике

Пример 6.3.

Пусть

0

Q

– первоначальная сумма вклада в банк,

р – процент начисления за определенный период времени (месяц, год), N – количество периодов времени хранения вклада, тогда сумма вклада по истечении N периодов равна

0

1. 100

N

p

QQ





 

(6.4)

Формула (6.4) называется формулой сложных процентов. Если период времени разбит на n частей, то через t периодов

времени сумма вклада (депозита) составит

tn

nt

n

p

QQ



 





 





100

1

0

.

Пусть

r

p



100

, тогда

tr

r

n

tn

n

r

n

tn

nt

n

r

Q

n

r

Q

n

r

QQ













 



 

















 



 





 



 



 111

000

.

Так как





 





 







n

p

n

p

n

limгде,e

1

1lim

, то

*

Шарль Эрмит (1822–1901) – французский математик, член Парламента

Англии.

**

Джон Непер (1550–1617) – шотландский математик, составил таблицу

логарифмов в 1614 г.

86

tr

r

n

nt

n

Q

n

r

QQ e1limlim

00

















 





 







.

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют начисле-

ниями по непрерывным процентам.

Пример 6.4.

Пусть темп инфляции составляет 1 % в день.

Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

183

183 100

100

1,83

00 00

11

11 0,16

100 100

QQ Q Qe Q





 

    



 



 



.

Потери за полгода составят

%9,83%100

e

%100

0

83,1

0









Q

QQ

Q

QQ

.

Инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

6.4. Подпоследовательности

Пусть задана последовательность





n

x

. Выберем некоторую

строго возрастающую последовательность натуральных чисел

......1

21







k

nnn

.

Последовательность

 



 





 



 



kk

nnnn

xxxx



,,...,,

21

называется

подпоследовательностью последовательности ()

n

x

(частичной после-

довательностью последовательности ()

n

x

).

Итак,





RΝΝ







nnkk

xxnnk

k

,

, т. е.

подпоследовательность

R

Ν





k

n

x

–

функция натурального

аргумента со значениями во множестве действительных чисел

R

.

Заметим, что

knk

k



Ν

.

87

Пример 6.5.

Пусть



 

...,16,11,6,15 





kk

nkn

,

 

...,,,

1611615

xxxxx

kn

k



 



 





–

подпоследовательность последова-

тельности





n

x

.

Замечание. В частичной последовательности





k

n

x сохраняется

тот же порядок следования элементов, какой они имели в исходной последовательности



n

x

. Например, последовательность



...,,,

61611

xxx

не является подпоследовательностью последователь-

ности



n

x

.

Определение

. Пределом подпоследовательности является











.)(0:lim 



axNkkNNxa

kk

nn

k

ΝΝ

Теорема 3

. Если последовательность

)(nx

сходится, то и любая

ее подпоследовательность





k

n

x также сходится, причем к тому же са-

мому пределу.

Доказательство. Имеем







 

  







axNnNNax

nn

n

Ν

)(0:lim .

Пусть





k

n

x – любая подпоследовательность последовательности

)(nx

:

 axNnNknNk

k

nkk

.

Предел подпоследовательности называют частичным пределом

последовательности. Их может быть много. Наименьший и наиболь-

ший частичные пределы называют соответственно нижним и верхним пределом последовательности. Используют следующие обозна-

чения:



nn

xlim верхний предел,





n

x

lim

нижний предел.

Пусть последовательность





n

x

расходится. Что можно сказать

о сходимости ее частичных последовательностей?

88

6.5. Теорема Больцано*–Вейерштрасса

Теорема 4

. Из любой ограниченной последовательности

можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Поскольку последовательность

)(nx

огра-

ничена, постольку

bxanba

n





 :,

NR

. Разделим отрезок



ba,

пополам, тогда, по крайней мере, один из полученных отрезков

содержит бесконечно много членов последовательности



n

x

, обозна-

чим его



11

,ba

. Выберем произвольный элемент последовательности



n

x

, принадлежащий отрезку





11

,ba

. Пусть это будет

1

n

x

. Разделим

теперь отрезок



11

,ba

пополам и обозначим через



22

,ba

один из

отрезков, который также содержит бесконечно много членов последовательности



n

x

. В силу того что на отрезке



22

,ba

содер-

жится бесконечно много членов последовательности



n

x

, най-

дется такой элемент

2

n

x

, что

2

22

,

n

x

ab











и

12

nn 

. Так выбран

элемент

2

,

n

x

и т. д.

Получилась последовательность вложенных отрезков





kk

ba ,

и подпоследовательность





k

n

x последовательности



n

x

, причем





kkn

bax

k

,

и

......

21



k

nnn

. Очевидно, что 0

2

kk

k

ba





 

.

По теореме Коши–Кантора существует единственная точка





kk

bac ,

N

k

.

Покажем, что

lim .

k

n

k

x

c





Так как

caaaa

k







......

221

,

последовательность





k

a и ограничена сверху числом

c

, то по

теореме Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности существует

lim sup .

kk

k

aac





(6.5)

*

Больцано Бернард (1781–1848) – чешский математик, философ, теолог.

89

Поскольку

cbbbb

k

 ......

321

, т. е.







k

b

и ограничена

снизу числом

c

, постольку существует

cbb

k





inflim . (6.6)

Поскольку

knk

bxa

k



N



k

по теореме 5 о пределе промежуточ-

ной последовательности (см. параграф 5.5 на с. 60), постольку, учитывая выражения (6.5) и (6.6), получаем

lim lim lim

k

n

kk

kkk

xabc

  





.

Теорема доказана.

Упражнения

Докажите.

1. Из любой монотонной неограниченной последовательности

можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

2. Любая подпоследовательность бесконечно большой после-

довательности является бесконечно большой.

3. У каждой ограниченной последовательности среди частичных

пределов существуют нижний и верхний пределы последовательности.

4. Последовательность

)(nx

сходится к числу a тогда и только

тогда, когда

axx

n





limlim

.

Для изучения поведения последовательности используется информация о поведении множества ее подпоследовательностей. Полезны следующие утверждения (см. упражнения 5, 6).

5. Достаточное условие сходимости последовательности. Пусть

R







AAxx

k

,limlim

122

, тогда Ax

n





lim .

6. Достаточное условие «расходимости» последовательности.

Если какая-либо подпоследовательность не является сходящейся либо существуют две ее подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам, то сама последовательность расходится.

Пример 6.6.

Последовательность



n

x 11  имеет два час-

тичных предела:

2lim 

nn

x

,

0lim



nn

x

. К числу 2 сходится под-

90

последовательность с четными номерами: 2lim

2



kn

x . К числу 0 схо-

дится подпоследовательность с нечетными номерами: 0lim

12



k

n

x .

Ясно, что последовательность



n

x 11  расходится.

Если рассматривать любые последовательности, а не только ограниченные, то частичными пределами могут быть и символы



,

или



.

Пример 6.7.

Расходящаяся последовательность



nx

n

1

имеет два частичных предела:



nn

xlim

,





nn

xlim

.

Пример 6.8.

Найти предел последовательности

4

sin

12 n

n

x

n





.

Заметим, что

2

12

lim 





n

,

4

sinlim

n

n

не существует. В самом

деле, рассмотрим подпоследовательности последовательности

π

sin

4

n

y 

:

Ζ



 kky

k

0sin

4

,

41

22, 2 ;

π

sin π

4

22, 2 1, ,

k

km

yk

kmm











 











Ζ

42

1, 2 ;

π

sin π

1, 2 1, ,

2

k

km

yk

kmm









 







 

Ζ

.

4

3

sin

1434 



 

  







kk

yky

Значит, имеется 5 частичных пределов:

2,2,2,2,0 

. При

этом

212lim 

nn

x

(к этому пределу сходится, например, под-

последовательность

82

(0,1,2,)

m

xm







);

221lim 

nn

x

(к этому пределу сходится, например,

подпоследовательность

82

()

m

xm





N

).