Начала математического анализа. Учебное пособие для СПО

З

а

У

пЕс

степен

н

П

р

1.

5

X

и толь

к

жества

За

бого м

н

1.

6

Е

с

жество

С

ных, ц

е

имеют

м

мечан

и

ражн

е

ли пер

е

ую зап

и

имер 1

. При

н

Y





о если

л

Y

. В ча

с

мечан

и

ожеств

а

. Прин

ц

ли

X 

множес

т

учетом

в

лых, р

а

есто в

к

е. Воо

б

ние. П

у

множае

м

сь

X

2

.3. Пуст

ь

цип вк

л



X

xx 

юбой э

л

тности,

е. Пус

т

X:





ип сов

X

Y

и

X

ва Y и веденн

циона

л

лючен

и

ще гов

о

сть

X



ые мн

о

X

X :



0X

ючен

и



x





емент

м

XX 

ое мно

ж

X

.

падени

я



Y 

Y

, то

включе

н

ых выш

ьных,

д

я:

Ζ

Ν 

0

1

y

Рис. 1.2.

мн

о

11

ря,

X





1; 2 ,

жества



yx

 ,



1,

, тог

д

я мно

ж



Y

–

ножес

т

.

ество



множ

е





YX 

говорят

ие стр

о

е обозн

а

ействи

т

Q



1

Декарто

в

жества

YY









3; 4Y 

Y

X и



yx,:

а



1,0

2

еств (а

к

X

с

о

ва X

яв я

вляе

т

ств (ак



X

Y 

, что

X

гое.

чений

д

ельных

CR 

.

х

квадрат

X

.

. Найд

и

равны,



X

.



1,0 

сиома)

держит

с

ляется

э

ся под

м

иома)



.

– собст

ля мно

ж

и ком

п

те

X

Y 

то исп

о



1,0

(р

и

я в

Y

лемент

ножест

в

венное

п

еств н

а

лексны

х

X

.

льзую

т

с. 1.2).

, есл

и

ом мно

-

ом лю

-

одмно

-

тураль

-

чисе

л

12

ГЛАВА 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ)

ЧИСЛА

 Аксиоматика и некоторые свойства множества действительных (веществен-

ных) чисел.

 Расширенная числовая прямая. Арифметические операции.  Модуль и знак числа. Выпуклое множество.  Верхние и нижние грани числовых множеств.  Теорема о существовании и единственности верхней (нижней) грани ограни-

ченного числового множества.

2.1. Аксиоматика и некоторые свойства множества

действительных (вещественных) чисел

Множество

R

называется множеством

действительных (веще-

ственных

) чисел, а его элементы

действительными (вещественными

)

числами

, если во множестве R определены:

1) операции

сложения

«+», иначе говоря, каждой паре чисел x и y из

R

поставлено в соответствие число

R





y

x

, называемое суммой

чисел

x

и

y

;

2) операции

умножения

«·», иначе говоря, каждой паре чисел x и y из

R

поставлено в соответствие число

x

yR

, называемое произве-

дением чисел

x

и

y

;

3) отношение

порядка

«



», иначе говоря,

для каждой пары чисел

x

и

y

из

R

определено, истинно или нет неравенство

y

x



.

Эти операции и отношение порядка подчинены системе аксиом. Аксиомы сложения:

1) в

R

существует

нейтральный элемент

0 (называемый в случае

сложения

нулем

) такой, что для любого элемента

xxx





0

R

;

2)

Rx

существует

противоположный элемент к x

, обозначаемый

«

x

» и такой, что





0 xx

;

3)

R

 zy

x

,,

выполнено





zyxzyx



(ассоциативность

сложения);

4)

R

 y

x

,

выполнено

x

y

x







(коммутативность сложения).

13

Определение. Если на множестве элементов G определена

операция, удовлетворяющая аксиомам 1–3, то говорят, что

G

есть

группа

. Если эта операция коммутативна, т. е. выполняется аксиома 4,

то группу называют

коммутативной

, или

абелевой

*

. Если эта

операция сложения, то группу называют

аддитивной

.

Множество

R

является

аддитивной абелевой группой

.

Аксиомы умножения:

1) в

R

существует

нейтральный элемент

0

\1R



(называемый

в случае умножения

единицей

) такой, что

R





x

имеет место равен-

ство

x

1

;

2)

0\Rx

существует элемент

0\

1

R





x

(

:

1



x

=

обратный эле-

мент

) такой, что

1

1xx





;

3)

R

 zy

x

,,

имеет место равенство





x

yz xyz



(ассоциатив-

ность умножения);

4)

R

 y

x

,

имеет место равенство

x

yyx



(коммутативность умно-

жения).

Множество

R

является

мультипликативной абелевой группой.

Аксиомы порядка:

1)

xxx



R

(

рефлексивность

);

2)





yxxyyx 

(антисимметричность

);

3)





zxzyyx 

(транзитивность

);

4)

R

 y

x

,

справедливы неравенства





xyyx 



(

линей-

ность

).

Аксиомы полноты (непрерывности): если

YX и

– непустые

подмножества

R

, обладающие тем свойством, что

YyX

x



 ,

выполняется неравенство

y

x



, то существует такое

R

c

, что

yc

x



для любых элементов

X

x



и

Yy



.

*

Абель Н. Х. (1802–1829) – замечательный норвежский математик, доказавший

теорему о неразрешимости в радикалах решения алгебраических уравнений степени выше четвертой.

14

Упражнения. Докажите, что:

1) в

R

0!

и в

R

1!



;

2) в

R

!

противоположный элемент;

3) в

R

!

обратный элемент;

4) уравнение

bxa 

в R имеет единственное решение





abx





;

5)

00 

x

R

;

6)



000xy x y



;

7)

R

 x

имеет место равенство





1xx





;

8)



1xxx

   R

;

9)



x

xxxx

   R

;

10)

10 

.

Введем следующие понятия и обозначения. Для каждого числа

x

введем понятие целой степени:

01 2 1

:1, : , : ... :

nn

x

xxx xxxxx



  

.

Для каждого натурального числа

n

символом

!n

(читают:

«

n

-факториал») обозначают произведение чисел

n,,2,1 

, точнее,





nnnn 21!1:!,1:!1 

. При этом

1:!0



.

2.2. Расширенная числовая прямая. Арифметические

операции

Множество





 ;RR

,

состоящее из элементов множества









,-R

и двух символов

«



» и «», называется

расширенной системой действительных

чисел

(

расширенной числовой прямой

), т. е.





 xx

:R

.

Для точек из

R

вводятся

операции сложения и умножения

:

1) если

R

y

x

,

, то операции



,, 0

x

xyxy y

y





имеют в R тот же

смысл, что и в

R

;

15

2)

Rx

считаем, что





 xxxx ;;;

;

3)



,0, ,0,

( )

,0; ,0;

xx

   



   



   



4)





 















 











;0,

,0,

;0,

,0,

x

5)

0











xx

x R

;

6)

;,







7)







))((;))((;))((.

При этом остаются

неопределенными

следующие выражения:

00

,0 , 1,,0,

0

, 



.

2.3. Модуль и знак числа. Выпуклое множество

Определение.

Знаком

элемента

Rx

называется число

xsg

n

,

определяемое следующими условиями:





 











.0 1,

,0 0,

,0 ,1

sgn

x

Определение. Модулем (абсолютной величиной

) элемента

Rx

называется число





 











.0 x,

,0 0,

,0 ,

sgn:

x

xx

xxx

Геометрически

x

означает расстояние на числовой прямой от

нуля до числа

x

. Следовательно,

yx 

– расстояние между точками

x

и

R

y

на числовой прямой.

16

Свойства модуля:

1)

00  xx

;

2)



0,  y

y

x

y

x

yxyx

;

3) ;; yxyxyxyx 

4)

axaax 

;

5)







axaxax 

;

6)

xxxx  :

.

Говорят, что число

R



x

лежит между числами a и b, если

b

x

a  либо b

x

a  . Пусть ba



, тогда

отрезок









bxaxba  ::,

R

. Множества вида













bababa ,\,:, 

называют

интервалами

, а множества вида









bbaba \,:, 

или









ababa \,:, 

–

полуинтервалами

. Множество

R

X

называется

выпуклым множеством

, или

промежутком

, если вместе с любыми

своими точками

a

и b оно содержит отрезок





ba,

, их соеди-

няющий. Так, отрезки, интервалы, полуинтервалы являются выпуклыми множествами (промежутками).

Пример 2.1.

Множество









4,38,5,2,0





X

не является

выпуклым, т. к., например, отрезок





2,0

этому множеству

не принадлежит.

2.4. Верхние и нижние грани числовых множеств Определение

. Непустое множество

R

X

называется

ограниченным сверху

, если

K

xXx

K



:

R

. При этом число

K

называют

верхней гранью

, или

мажорантой

множества

X

.

Определение

. Непустое множество

R

X

называется

ограниченным снизу

, если

x

kXx

k



:

R

. При этом число

k

называют

нижней гранью

, или

минорантой

, множества

X

.

17

Определение

. Непустое множество

R

X

называется

огра-

ниченным

, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. если

KxkXxKk



:,

R

.

Определение

. Элемент

X

m



называется

минимальным

(

наименьшим

) элементом X, если

xmXx



.

Формальная запись определения:





xmXxXmXm





 :min

. (2.1)

Аналогично формуле (2.1)





MxXxXMXM





 :max

(

M

–

максимальный (наибольший

) элемент множества

X

).

Замечание. Не всякое (даже ограниченное) множество имеет

минимальный (максимальный) элемент.

Например, множество





10:R1,0



xxX

имеет макси-

мальный элемент 1



M

и не имеет минимального элемента.

Лемма о единственности минимального (максималь-

ного) элемента

. Если во множестве

R

X

имеется минимальный

(максималь-ный) элемент, то один.

Доказательство. Пусть











11 1

max : ;MXMXxXxM

(2.2)











22 2

max : .MXMXxXxM

(2.3)

Поскольку

X

2

М

, то из выражения (2.1) вытекает

12

М M

.

Так как

X

1

М

, то из выражения (2.3) следует

21

М M



.

Согласно аксиоме

порядка (2)

имеем





211221

MMMMMM







.

Определение

. Число

Rx

называется

точной верхней гранью

(точной верхней границей) множества

R

X

, если

x

–

наименьшее

среди всех чисел, ограничивающих

X

сверху.

Число

x

обозначается

Xsup

или

Xxx

sup

(supremus (лат.) –

высший). Итак,





xxXxxxxxXxXx







 : :sup

. (2.4)

18

Первая скобка справа в формуле (2.4) означает, что x ограничивает множество

X

сверху (справа). Вторая скобка означает, что

x

– мини-

мальное среди чисел, ограничивающих

X

сверху, т. е. любое число,

меньшее

x

,

уже не является верхней гранью множества

X

.

Заметим, что высказывание

xxXxxx







 :

равносильно





 xxXx0

. В самом деле,









 xxxx :

.

Поэтому определение (2.4) можно записать в виде











sup : ε 0 εx X xXxx xXxx

.

При решении задач определение точной верхней грани чаще ис-

пользуется именно в этом виде.

Аналогично вводится понятие точной нижней грани: число

Rx

называется

точной нижней гранью (точной нижней границей

)

множества

R

X

, если

x

– наибольшее среди всех чисел, огра-

ничивающих

X

снизу. Число

x

обозначается

X

inf

или

x

Xx

inf

(infinus (лат.) – нижний).

Упражнение

. Приведите формальную запись точной нижней

грани с помощью логической символики и кванторов.

Таким образом, даны следующие определения:





yxXxyX





 :min:sup

R

, (2.5)





xcXxcX





 :max:inf

R

. (2.6)

Пример 2.2.





1,0

1

X

– отрезок числовой прямой. Ясно, что

1sup

1

X

,

0inf

1



X

. В этом случае обе точные грани принадлежат

множеству и

11

max1sup XX 

,

11

min0inf XX



.

Пример 2.3.

Пусть





1,0

2



X

– полуинтервал, тогда

22

min0inf XX 

, т. е.

2

inf X

входит в множество. Покажем, что

1sup

2

X

. Число

1x

является точной верхней гранью промежутка





1,0

, т. к.





1:1,0  xx

. Более того,





xaax









:1,01

.

Действительно, если

0



x

, то





xaa









:1,0

. Если

0



x

, то на

интервале



1,x



найдется рациональное число a, такое что

1





a

x

19

(о чем далее, в параграфе 3.6), т. е.





xaa









:1,0

. Таким образом,

для числа 1 выполнены оба условия определения точной верхней грани. Следовательно,

2

sup 1X



. Заметим, что найденная точная

верхняя грань не принадлежит множеству, и поэтому множество

2

X

не имеет максимального элемента.

Пример 2.4.

Пусть













 Nn

n

X :

1

3

. Здесь





,,, 321

N

–

множество натуральных чисел

(см. параграф 3.1). Наибольший

элемент в

3

X

– это 1. И, конечно,

1sup

3



X

. Наименьшего элемента

в

3

X

нет. Заметим, что все элементы множества положительны. Бу-

дет ли 0 точной нижней гранью

3

X

? Возьмем число



,

большее 0. По

принципу Архимеда

1

ε 0 Ν: ε,n

n

   

т. е.  уже не является ниж-

ней гранью. Поэтому

0inf

3



X

.

Пример 2.5.

Пусть















 

  





2

1

,

2

1

5

1

,

5

1

4

X

. Здесь

,min

2

1

inf

44

XX 

44

max

2

1

sup XX 

. В самом деле, во-первых,

xxXx :

2

1



и, во-вторых,

0





найдется элемент

 xxXx :

. Этим элементом является число

4

2

1

Xx 

.

Поэтому

2

1

sup

4

X

. Аналогично доказывается, что

2

1

inf

4

X

.

Пример 2.6.

Пусть

















 Nn

n

X :

122

1

5

. Покажем, что

0inf

5

X

,

1sup

5

X

. Из неравенств

11 1

0

212212

n

nn



 



1

2122

nn





вытекает, что все элементы множества

5

X

огра-

ничены снизу числом 0 и сверху – числом 1. Пусть



– произвольное

положительное число. Покажем, что найдется натуральное число

20

N*n

такое, при котором выполнено каждое из неравенств:

1

122

1

1,

122

1

0 









n

. В самом деле, каждое из

неравенств справедливо для всех

12

,

4

n







и поэтому в качестве

*n

можно взять число



















4

21

*n

. Оба условия определения точной

нижней и верхней граней выполнены, и поэтому

0inf

5

X

,

1sup

5



X

.

Заметим, что множество

5

X

не имеет ни наименьшего, ни наи-

большего элемента:

5555

sup,inf XXXX



.

Пример 2.7.

Пусть







,2

6

X

. Здесь

66

min2inf XX 

.

Верхней грани у множества

6

X

нет, т. к.

6

X

не ограничено сверху.

Заметим, что во всех разобранных примерах точная верхняя

грань всегда существует, когда множество ограничено сверху.

Справедлива следующая теорема.

2.5. Теорема о существовании и единственности

верхней (нижней) грани ограниченного числового множества

Теорема

. Если непустое множество

R



X ограничено сверху,

то оно имеет единственную точную верхнюю грань. Точно так же всякое непустое ограниченное снизу множество

R



X имеет

единственную точную нижнюю грань.

Доказательство. Пусть







X

R,

, и

Y









:yxXx

y

 R

– множество верхних границ





Y

X

,

.

В силу аксиомы полноты (см. параграф 2.1)

X

x





и

Y

y





ycxc  :

R

. Таким образом, число c является мажорантой

X

и минорантой Y. Поскольку

c

– верхняя граница множества

X

, то

Yc 

и поэтому

yc



. Следовательно,

XcYc supmin

)4.2(



.

Поскольку

Y

c min



, постольку из леммы о единственности минимального элемента вытекает единственность точной верхней грани

X

sup

.