Начала математического анализа. Учебное пособие для СПО

21

Если множество

R



X не ограничено сверху (снизу), то при-

нято писать









XX inf,sup

.

Пример 2.8.

Пусть





1:

2

 xxX R

.

Ясно, что множество







 ,11,



X

не ограничено ни снизу, ни сверху. Поэтому



X

sup,inf .

Упражнения

1. Пусть YX



– множество чисел вида

y

x



и YX– мно-

жество чисел вида

xy, где

R





X

x

и

R





Y

y

. Проверьте:

а) всегда ли



YXYX supsupsup







;

б) sup(

X·Y) = supX supY.

2.

Пусть

X

есть множество чисел вида

x



,

где

RX

x

.

Покажите, что





XX infsup 

.

3.

Пусть



YXYXYX 





 ,,,

R

. Известно, что мно-

жество

Y ограничено сверху, а множество X – снизу. Докажите, что

множество

Y также ограничено снизу, а множество X

– сверху

и

YXY

Xinfinf

,supsup 

.

4.

Всегда ли

X

supinf



?

5.

Найдите точные грани множества рациональных чисел, удов-

летворяющих неравенству

2



x

.

6.

Найдите точные грани множества всех правильных рацио-

нальных дробей













 nmnm

n

m

N,,:

и покажите, что это множес-

тво не имеет наименьшего и наибольшего элементов.

7.

Для множества





















1

3;

1

n

nn

X

покажите его ограни-

ченность сверху, снизу, найдите мажоранту и миноранту,

X

sup,inf (если они существуют) и выясните, являются ли они

соответственно наибольшим и наименьшим элементом

X .

22

ГЛАВА 3. КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 Индуктивное свойство натурального ряда.  Метод математической индукции.  Целые числа.  Рациональные числа.  Иррациональные числа.  Принцип Архимеда.  Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши–Кантора).

3.1. Индуктивное свойство натурального ряда

Определение

. Множество

R



X называется индуктивным,

если вместе с числом

Rx

ему принадлежит также число

1

x

.

Пересечение





XX

любого семейства индуктивных мно-

жеств





, если оно не пусто, является индуктивным множеством.

Действительно,























индуктивно: ΧΧхΑΧΧх

Α





 



 











ΧΧхΧхΑ

Α

11

.

Определение

. Наименьшее индуктивное множество в

R

,

содержащее 1 (пересечение всех индуктивных множеств, содержащих 1), называется

множеством натуральных чисел и обозначается

символом

N

.

Элементы

N

называются натуральными числами. Ясно, что







3,2,1,



N

.

3.2. Принцип математической индукции

Пусть для каждого натурального числа

n

задано высказывание



nW

и справедливы следующие утверждения:

1) база индукции –



nW

истинно при некотором

N

0

n

;

23

2) шаг индукции – для каждого

N



n

высказывание



1nW

яв-

ляется следствием утверждения (предположения индукции)





nW

  



т. е. 1nW n W n, тогда





nW

истинно для любого числа

0

: nnn 

N

.

Примеры использования метода математической индукции

Пример 3.1.

Разложение бинома Ньютона

*

:

для всякого числа

N

n

и любых

R

ba,

справедлива формула

nnn

n

nn

babCbaCbaCaba 



 1122211

...)(

, (3.1)

где



nk

k

knnn

knk

n

C

k

n









 0

!

)1)...(1(

)!(!

!

.

Числа

k

n

C

называются биномиальными коэффициентами. Для

доказательства формулы (3.1) заметим, что

1







k

n

k

n

k

n

CCC

. (3.2)

Действительно,















)!1(!1

!

)!(!

!

1

knk

n

knk

n

CC

k

n

k

n







k

n

C

knk

n

knk

nn

knk

kknn

1

)!1(!

!1

)!1(!

1!

)!1(!

1!























.

Для краткости выражение (3.1) перепишем в виде

()

n

ab





0

n

knkk

n

k

Ca b







.

Докажем истинность формулы (3.1).

1. База индукции: истинность формулы при

1n

очевидна –

в левой части высказывания





1W

имеем



baba 

1

; в правой

части –

ba 

.

*

Исаак Ньютон (1642–1727) – английский физик, механик, астроном и матема-

тик. Разработал (наряду с Лейбницем) основы дифференциального и интегрального исчисления.

24

2. Шаг индукции: предположим, что









n

k

kknk

n

baCba

0

)(

при некотором

N



n

. Перейдем от n к

1



n

и докажем равенство













1

0

1

)(

n

k

kknk

n

baCba

. (3.3)

Имеем













n

k

kknk

n

k

kknk

n

nnn

baCbaCbabbaaba

0

1

0

11

)()()(



 



 

















1,1

:индексаЗамена

0

1

1010

jkjk

baCbaCbaC

n

k

kknk

n

k

kknk

n















1

11

1

1010

n

j

jjnj

n

k

kknk

n

baCbaCbaC















10

1

11

1

1010 nn

n

j

jjnj

n

k

kknk

n

baCbaCbaCbaC















10

1

11

1

1010 nn

n

k

kknk

n

k

kknk

n

baCbaCbaCbaC



)2.3(

10

1

11010











nn

n

k

kknk

n

k

n

baCbaCCbaC























1

0

1

101

1

010

1

)2.3(

n

k

kknk

n

nn

n

k

kknk

n

baCbaCbaCbaC

.

Таким образом, равенство (3.3) доказано, т. е. формула бинома

Ньютона справедлива и при

1



n

. Поэтому формула (3.1) верна для

всех

N

n

.

Пример 3.2. Докажем неравенство Бернулли

*

:



xnxxn

n

 11:1N,

.

1. База индукции: неравенство при

1



n

очевидно:

x



 11

.

2. Шаг индукции: предположив неравенство справедливым при

n

, покажем, что оно справедливо и при

1



n

. Действительно, т. к.

*

Иоганн Бернулли (1667–1748) – один из представителей знаменитого семей-

ства швейцарских ученых Бернулли; аналитик, геометр, механик. Дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчисления.

25

01  x

,

используя предположение индукции, получим

   

2

1

1111111 nxxnxnxxxx

nn





. Так как

0

2

nx

, то

 

xnx

n

111

1





, т. е. неравенство справедливо

и при

1n

. Поэтому неравенство Бернулли верно при всех

N

n

.

Пример 3.3. Доказать для каждого

N



n

истинность формул:

а)

 

6

121

1

2









nnn

k

n

k

; б)



1!1!

1







nkk

n

k

.

Докажем истинность формулы (а).

1. База индукции: докажем истинность формулы при

1



n

.

В левой части высказывания





1W

имеем 1; в правой части –

1

6

321





.

2. Шаг индукции: предположим, что



 

6

121

1

2









nnn

k

n

k

при

некотором

N

n

. Перейдем от n к

1



n

и докажем равенство

  

6

3221

1

2













nnn

k

n

k

.

Сумма













n

k

n

k

nkk

1

2

1

2

1

. По предположению индукции



 











  

.

6

3221

6

6621

1

6

121

1

2

1

2

















nnn

nnnn

n

nnn

nk

n

k

Итак, истинность





nW

влечет истинность



nnW



1

.

Следовательно, формула





6

121

1

2









nnn

k

n

k

верна при всех

N



n

.

Докажем истинность формулы (б).

1. База индукции: докажем истинность формулы при

1n

. В ле-

вой части высказывания





1W

имеем 1; в правой части –



11!21!11 

.

26

2. Шаг индукции: предположим, что



1!1!

1







nkk

n

k

при

некотором

N

n

. Перейдем от n к

1



n

и докажем равенство



1!2!

1









nkk

n

k

. Сумма



!11!!

1











nnkkkk

n

k

n

k

По пред-

положению индукции

 

1

! 1 1! 1! 1 1 1!

n

k

kk n n n n n





  



   

1!1 1 1 2! 1

nn n n  

N

.

Итак, истинность





nW

влечет истинность



nnW



1

.

Следовательно, формула



1!1!

1







nkk

n

k

верна при всех

N

n

.

Пример 3.4. Применив метод математической индукции,

доказать справедливость следующих неравенств при указанных натуральных

n

:

а)

Ν







 n

n

,

12

1

2

12

4

3

2

1



;

б)

 

1,!2!2

2

 nnn

n

;

в)

1

!,1.

2

n

nn







 

Неравенство (а) при

1



n

очевидно:

3

1

2

1



. Предположив его

справедливым при

n

, покажем, что оно справедливо и при

1n

. Дей-

ствительно, используя предположение индукции, получаем

13 2 12 1 1 2 1 2 1

24 2 2 2 2 2 2 2

21

nn n n

n

  











2123

11

22 2222

23 23

nn

nnn

nn



 





2

1483 1

484

23 23

nn







, т. е. утверждение справедливо и при

1n

. Поэтому неравенство (а) верно для всех

N



n

.

27

Неравенство (б) при

2



n

очевидно:



41624,!22!4

2

4



. Ис-

ходя из справедливости его при

n

покажем, что оно справедливо

и при

1n

. В самом деле,



  

22!2!2122nnnn





 





22 2

22 222

2 !21222 !222222! 1

nn n

nn n nn n nn



2

21

21!

nn



, т. е. утверждение справедливо и при

1n

. Поэтому

неравенство (б) верно для всех

1n

.

Неравенство (в) при

2



n

очевидно:

492,

2

12

!2

2



 

  







. Ис-

ходя из справедливости его при

n

покажем, что оно справедливо

и при

1n

. В самом деле,

  

1

1! ! 1 1

2

n

nnn n







 

 

   







111 1

1

11 1

1

12 12 2 2 2

22

21

11

nnn n

n

nn n

n

nnn n

n

nn

 



 



  





   

 



  



  



  



1

Бином Ньютона

1

111

111 2

11

1

n

nn

n







    

















11

2



 

  







 

  







nn

, т. е. неравенство справедливо и при

1



n

.

Поэтому неравенство (в) верно для всех

N



n

.

Упражнения

Доказать следующие утверждения.

1.

Сумма и произведение натуральных чисел являются числами нату-

ральными.

2.





1

n

nn



 NN

.

3.



1:min  nxnx

N

.

4.



).1()()( nmnmnm







NN

5.

Не существует натуральных чисел x, удовлетворяющих условию

,1 n

x

n

Nn

.

28

6.

Пусть





 EE ,N

и ограничено сверху, тогда

Emax!



.

7.

Множество натуральных чисел N не ограничено сверху.

8.

Каждое непустое подмножество

N



E

содержит наименьший

элемент.

9.

Для любых n положительных чисел

n

xxx ,,,

21



, удовлет-

воряющих условию

1

21



n

xxx 

, имеет место неравенство

nxxx

n

 

21

.

10.

Справедливость неравенства



1412,aa a a  

0a

.

11.

n

xxx

n

xxx



21





при





nkx

k

,,10





(среднее

геометрическое

n

неотрицательных чисел не превосходит их сред-

него арифметического).

3.3. Целые и рациональные числа Определение

.

Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется

множеством целых чисел

и обозначается Z. Итак,



0

NNZ

,





NN



 nn ::

,

или



...,2,1,0 

Z

. Заметим, что Z –

абелева группа

(см. пара-

граф 2.1) в отношении операции сложения. В отношении операции умножения

Z

не является

группой. Пусть

1,0, 





xxx

Z

. Легко

показать, что

Z

1

x .

Определение

.

Числа вида

1

, где ,mn m n





ZN

, называются

рациональными

.

Здесь

0,:,0,

1

:

11





n

m

nmn

n

. Множество рациональ-

ных чисел обозначается

Q

. Итак, множество рациональных чисел

:, , .

m

mn

n













Q ΖΝ

29

Заметим, что



12122121

2

1

,0\ knnkmmkmnnm

n

m

n

m

 Ζ

. Если

2

1

2

1

:

n

m

c

n

m

c

n

m

n

m

 Q

, где, например,



 





 





2

1

2

1

n

m

n

m

c

.

3.4. Иррациональные числа

Иррациональные числа – это числа множества

.\: Q

R

I 

Клас-

сическим примером иррационального числа является

2

, т. е. число

s

R

такое, что

0

s

и

2



s

. Иррациональное число называется

алгебраическим, если оно является корнем алгебраического много- члена с рациональными коэффициентами. Например,

2

– корень

многочлена

2

x

,

32 

– корень многочлена

14

24

 xx

. Остальные иррациональные числа называются трансцендентными. Можно доказать, что трансцендентным является, например, число



.

3.5. Принцип Архимеда

*

Пусть



– произвольное положительное число и

x

– произ-

вольное вещественное число





,

x



R

тогда найдется единственное

целое число

k

такое, что





kxk 1

.

Упражнение 1. Доказать, что



n

1

0:Ν0

.

Упражнение 2

.

Если

0

x

и

n



n

x

1



, то

0



x

.

Упражнение 3

.

1:





kxkkx

Ζ

R

. (



xk :

– целая

часть

x

(функция антье переменной

x

),









10, 





xxxx

,





x

–

дробная часть

x

.)

Упражнение 4.

b

rar

baba 



 :,,, Q

R

.

*

Архимед (287–212 гг. до н.э.) – гениальный греческий ученый.

3.

6

(п

П

у



nn

aI 

довате

л

N

 n

Д

л

послед

о

nm

ba 

точек (

I

О

п

ных



N

Л

е

найдет

с

кроме

т

единст

в

Д

о

как дл

я

*

К

более ак

т

**

К

создате

л

ственны

х

. Лемм

ринци

п

сть

a



n

ab ,,

ьность

(рис. 3

я люб

ы

ватель

н

, то

n

a





nm

I



редел

отрез

к





N

:

мма.

Д

я точк

а

ого, дл

и

енная о

казат

е

a

m





оши Ог

ю

ивных т

в

антор

Г

ь теори

и

поняти

й

а о вло

ж

Коши

*

–

b

,



a

n

b

,

и

вложен

н

.1).

х двух

о

ости

m

a

m

n

ab 





).

ение.

ов

с

 n

N

ля лю

б

Rc

,

ны все

х

бщая то

льств

о

A

и



стен Лу

и

орцов с

о

еорг (1

8

бескон

е

в мате

м

[ [

Р

в

л

енных

Канто

р





x

b

:,

N

 n

ых от

р

трезко

в

n

b

.

Д

m

b

,

т

Будем

тремят

с



 Nn

ой по

с

прина

д

вложе

н

чка все

х

. Пуст

ь

Bb

n



(1789–

1

временн

45, Пете

р

чных м

н

атике.

[ [

ис. 3.1.

П

оженны

х

30

отрезк

а

**

)

a

x

 :R

n

I



1

езков.

Я



m

a

I 

ействи

т

. е. от

р

гово

р

я к



n

a

b

ледова

т

лежащ

а

ных от

р

отрезк

о



 aA

m

:

n

m

ba 

857) – ф

р

ого язык

а

бург –

1

ожеств

и

]

оследо

в

отрезко

в

х



bx



n

I

, т.

е

Я

сно,

ч



mm

b

,

ельно,

е

езки

m

I

ить,

ч

ну

л





n

.

ельност

и

я всем

езков с в.

N

m

,

, то в

с

анцузск

и

и аппар

а

918, Гал

л

родона

ч

]

ательно

с

–

о

.



n

In,

то

n

a 

и



n

I 

сли пр

е

и

n

I

н

то д

л

ю,

е

влож

е

этим

о

тремятс

я



,



B :

илу ак

с

й матем

а

та класс

и

е) – не

м

альник

т

]

ть

трезок.



N

–

n

b

a 

1





nn

ba ,

дполо

ж

е имею

т

ины

в

сли

нных

о

трезка

м

я к нул

ю



nb

n

,

иомы

п

тик, од

и

ического

ецкий м

а

теоретик

]

Пуст

ь

после

-

nn

b



1

наше

й

ить, чт

о

общи

х

ложен

-

0

трезко

в

. Если

,

, то c

–



N

. Та

к

олнот

ы

н из наи

-

анализа. тематик

,

-множе

-