Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Ч.2. Механика вращательного движения твёрдого тела. Колебания и волны. Механика жидкостей и газов. Лабораторный практикум
.pdf
41
сите в таблицу 8.1. Таблицу рассчитывайте не менее чем на 10
Изображение
фигуры Лиссажу
nХ
ny
у
, Гц
X
, Гц
N (деления
шкалы
генератора)
50
строк (фигур Лиссажу).
Таблица 8.1
Фигуры Лиссажу
2. Вычислите неизвестную частоту
и запишите, какому де-
Х
лению шкалы она соответствует.
3. Аналогичным образом пройдите всю шкалу, получив ряд
других фигур, и определите соответствующие частоты.
4. Постройте градуировочный график зависимости частоты от
номера деления шкалы
(N).
X
Контрольные вопросы:
1. Запишите уравнение гармонического колебания и поясните
смысл входящих в него величин.
2. Как движется материальная точка, если складываются два
взаимно перпендикулярных колебания одинаковой частоты,
а разность фаз равна 0, /2, ? Укажите соответствующие траектории на рис. 8.1.
3. Как движется материальная точка, если она одновременно
участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях разных частот? В каком случае получаются фигуры Лиссажу?
4. Как можно определить отношение частот складываемых
колебаний по фигурам Лиссажу?
5. Каково устройство электронно-лучевой трубки.
6. Каково назначение электронного осциллографа, звукового
генератора и роль основных ручек управления?
Литература [1; 2; 4].
42
Лабораторная работа 9
o
tАх
cos
x
A
o
t
2
Т
2
A
max
Aa
2
max
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
Цель работы: измерение динамических и кинематических
параметров пружинного маятника. Изучение зависимости периода
колебаний от начальных условий и свойств колебательной системы. Графическое представление гармонических колебаний.
Оборудование: штатив со шкалой (линейка), вертикальный
пружинный маятник, набор грузов, секундомер, миллиметровая
бумага.
Указания к теоретической подготовке
Колебание пружинного маятника при малых амплитудах про-
исходит по гармоническому закону:
где
– смещение точки от положения равновесия в данный мо-
мент времени,
– амплитуда смещения,
, (9.1)
– фаза коле-
бания,
колебания.
мулой:
времени, уравнение для скорости можно получить, взяв производную от выражения (9.1) по времени. Взяв вторую производную
по времени от выражения (9.1), получим уравнение для ускорения. Амплитуда скорости определяется по формуле:
амплитуды и начальной фазы.
– циклическая частота, t – время,
Циклическая частота связана с линейной частотой
Циклическая частота связана с периодом колебания Т фор-
Скорость и ускорение являются гармоническими функциями
Амплитуда ускорения определяется по формуле:
Смещение х и скорость в любой момент времени зависят от
. (9.2)
. (9.3)
– начальная фаза
о
формулой:
. (9.4)
. (9.5)
43
Начальные условия определяют состояние колебательной
t x x 00,
0
m
k
t
N
2
mgFy
xkF
y
x
mg
k
системы в начальный момент времени, их два: начальное смещение и начальная скорость, т. е. при
чальную фазу находят, подставив начальное смещение в уравнение колебаний.
Циклическая частота пружинного маятника зависит от пара-
метров системы – массы маятника m и коэффициента жесткости
пружины k:
. (9.6)
Её можно определить, не совершая колебания, по формуле
(9.6). Экспериментально её можно определить, заставив маятник
колебаться и измеряя время t нескольких колебаний N:
. (9.7)
Описание установки и метода измерения
Экспериментальная установка представляет собой пружину,
закреплённую в вертикальном положении в штативе. К концу
пружины прикрепляют платформу, на которую можно помещать
грузы разной массы. Масса грузов и платформы указана на них.
Коэффициент жёсткости пружины можно определить из равенства величин силы тяжести и силы упругости, действующих на груз
в состоянии покоя:
. (9.8)
При упругой деформации пружины выполняется закон Гука:
, (9.9)
и
. На-
где
х – удлинение пружины под действием груза массой m.
Из уравнений (9.8) и (9.9) получим:
Отсчёт удлинения пружины производят по шкале миллиметровой линейки, прикреплённой к штативу.
. (9.10)
44
Зная массу груза и жёсткость пружины можно рассчитать
x x x
1 0
№
п/п
Масса
груза
m, кг
Сила
упругости
Fу, Н
Положение
указателя
Удли-
нение
x
, м
Коэффици-
ент жест-
кости
k, Н/м
начальное
х
о
, см
конечное
х
1
, см
циклическую частоту колебаний по формуле (9.6). Затем, заставив
маятник колебаться, измерить время нескольких колебаний
(удобно для расчетов 10 колебаний), определить циклическую
частоту по формуле (9.7) и сравнить её с рассчитанной.
В ходе работы необходимо выяснить экспериментально зави-
симость частоты от массы груза, поэтому измерения делают при
разных массах.
Влияние начальных условий на период и частоту колебаний
маятника выясняют экспериментально.
Выполнение эксперимента
Задание 1. Определение коэффициента жесткости пружины.
1. Закрепите пружину с платформой в штативе. Отметьте по
шкале начальное положение указателя (при отсутствии указателя – положение дна платформы) х0.
2. Прикрепите меньший груз к маятнику и зафиксируйте по-
ложение указателя х1.
3. Вычислите удлинение пружины
. По массе
груза m и удлинению пружины подсчитайте коэффициент жесткости пружины, используя формулу (9.10). Результаты измерений
и расчетов внесите в таблицу 9.1.
Таблица 9.1
Определение коэффициента жесткости
4. Повторите опыты еще с одним-двумя грузами. Определите
среднее значение коэффициента жесткости пружины.
Задание 2. Изучение зависимости периода колебаний от
массы маятника.
1. Рассчитайте теоретическое значение циклической частоты
колебаний пружинного маятника по формуле (9.6). При расчётах
45
следует учитывать массу платформы, так как она колеблется вме-
T
t
N
Параметры
маятника
Теоретические
Число колеб.
Время колеб.
Эксперимен-
тальный период
Начальные
условия
частота
период
смещение
скорость
m,
кг
K,
Н/м
, с-1
Т, с
N
t, с
T, с
х
0
, см
0,
см/с
0
0
00x
0
0
сте с грузом. Рассчитайте период колебаний, используя формулу
(9.3).
2. Отклонив груз от положения равновесия на несколько сан-
тиметров вниз, запишите начальные условия (в начальный момент
груз маятника смещен относительно положения равновесия на х
0
скорость равна нулю). Приведите маятник в движение и измерьте
время 10 колебаний. Вычислите экспериментальное значение периода колебаний:
. (9.11)
Результаты измерений и расчетов занесите в табл. 9.2.
Таблица.9.2
Определение периода колебания маятника
,
риода.
измерение периода колебаний при тех же начальных условиях.
Проанализируйте полученные результаты.
начальных условий и амплитуды колебаний
х0 ≠ 0 и
нии 2), потом при
ния равновесия толчком, сообщившим ему некоторую скорость).
Сравните теоретическое и экспериментальное значение пе-
3. Увеличьте массу маятника в 2, затем в 3 раза. Проведите
Задание 3. Изучение зависимости периода колебаний от
1. Определите период колебаний при m = const сначала при
(можно использовать данные, полученные в зада-
и
(маятник выведен из положе-
46
Проанализируйте результаты, сделайте вывод, зависит ли период
от начальных условий.
2. Увеличьте амплитуду колебаний, сообщив большую началь-
ную скорость или начальное отклонение. Определите период колебаний. Сделайте вывод, зависит ли период от амплитуды колебаний.
Задание 4. Представление графической зависимости сме-
щения, скорости и ускорения колебаний от времени.
Изобразите графически зависимости смещения, скорости
и ускорения от времени в пределах двух-трех периодов при разных начальных условиях. Определите сдвиг фаз между этими
величинами.
Контрольные вопросы:
1. Какие колебания являются гармоническими? Поясните
смысл каждой величины, входящей в уравнение (9.1).
2. Что понимают под начальными условиями колебаний?
3. От чего зависит циклическая частота и период колебаний
пружинного маятника?
4. Как практически определить коэффициент жесткости пру-
жины?
5. Влияют ли начальные условия и амплитуда на период ко-
лебаний?
Литература [1; 2; 4].
Лабораторная работа 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Цель работы: изучить свойства физического маятника и ме-
тоды определения ускорения силы тяжести с помощью такого
маятника.
Оборудование: оборотный маятник, физический маятник
в виде стержня, математический маятник.
Указания к теоретической подготовке
Измерение ускорения силы тяжести g с помощью физическо-
го маятника является наиболее распространённым методом кос-
47
венного определения этой величины. Он основан на зависимости
mgb
mbI
mgb
I
Т
c
2
22
mb
I
L
g
L
Т
2
О
1
О
2
С
b1
b
2
Рис. 10.1. Обо-
ротный маятник
периода колебаний физического маятника от его приведённой
длины L. При малых амплитудах выражение для периода колебаний физического маятника имеет вид:
, (10.1)
где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, I
с –
момент инерции маятника относительно оси вращения, проходящей через центр масс параллельно данной оси, b – расстояние от
оси вращения до центра масс.
Если обозначить
, то формула (10.1) может быть за-
писана в виде:
. (10.2)
Величину L называют приведённой длиной физического ма-
ятника. Математический маятник, имеющий такую же длину,
имеет такой же период. Из формул (10.1) и (10.2) видно, что, найдя приведённую длину маятника и измерив соответствующий ей
период, можно определить ускорение силы тяжести.
Описание установки и метода измерения
В работе рекомендуются два метода опреде-
ления приведённой длины физического маятника и периода, соответствующего этой длине.
Первый метод – с помощью оборотного ма-
ятника. Метод основан на важном свойстве физического маятника – существование сопряженных точек. Это значит, что для каждой
выбранной точки подвеса О
которой маятник колеблется с периодом Т
(рис. 10.1), около
1
,
1
можно найти такую вторую точку О2, центр качания, около которой маятник будет колебаться
с тем же периодом Т2 = Т
. Можно показать, что
1
расстояние между этими точками равно приве-
48
дённой длине маятника. Действительно, для периода колебаний
1
2
1
1
2
mgb
mbI
Т
c
2
2
2
2
2
mgb
mbI
Т
c
g
bb
Т
21
2
Рис. 10.2. Оборот-
ный маятник
около осей О1 и О
из (10.1) получаем:
2
;
Если Т2 = Т1, то при b1 b
находим Ic = mb1b2 и
2
.
. (10.3)
Сравнивая (10.3) и (10.2), видим, что b1 + b2 = L, т. е. приве-
дённая длина равна расстоянию между сопряжёнными точками О
и О2 . Каждой паре сопряжённых точек соответствует пара значений L и Т.
В работе задают значение приведённой длины и экс-
периментально находят соответствующее ей значение периода.
Для этого изменяют положение центра тяжести маятника, перемещая груз вдоль стержня.
В работе используется оборотный маятник, состоящий из
стержня длиной 11,2 м, на который надеты муфты, несущие две
опорные призмы П
и П2 и два груза m1 и m
1
. Их можно закрепить
2
в любом месте стержня, имеющего сантиметровые деления.
Опорные рёбра призм служат осями качания маятника. Перемещая грузы m1 и m
ка и его момент инерции относительно осей качания П
, можно менять положение центра масс маятни-
2
и П
. Пе-
1
2
ред началом измерений нужно разместить
грузы и призмы на стержне, как показано на
рис.10.2. Это нужно делать на столе, сняв маятник с подвеса. Опорные призмы установить
на расстоянии 8090 см друг от друга и в процессе работы не сдвигать. Груз m
(большой)
1
поместить вне интервала П1 П2 на расстоянии 24 см от П1, а m2, – внутри интервала
П1 П2 на расстоянии 2025 см от П2. Прове-
рить прочность закрепления грузов и призм на
стержне. Поместить маятник на подвес на
призму П1. Эксперимент сводится к тому, чтобы найти такое положение грузов, при кото-
1
49
ром приведённая длина будет равна расстоянию П1 П2 . Пра-
Рис. 10.3. Зависимость
периода колебаний физи-
ческого маятника от рас-
стояния центра масс до
точки подвеса
вильность найденного положения грузов определится тем, что
периоды колебаний маятника Т
одинаковы. Рекомендуется в процессе работы положение груза m
не менять, а перемещать только груз m
обоих грузов период будет меняться сложным образом, и добиться совпадения значений Т
Второй метод – с помощью про-
стого физического маятника в виде
стержня. Здесь используют графическую зависимость периода колебаний
маятника от положения центра масс C
(рис.10.1) относительно оси вращения
(точки подвеса) в соответствии с формулой (10.1). Положение центра масс
для маятника в виде стержня легко
определить. По графику (рис.10.3)
можно найти два таких значения b
и b
, при которых период колебаний
2
будет один и тот же. Как и в первом
методе b1 + b2 = L. Найдя, таким образом, L и Т, можно определить g.
Для измерения этим методом надо снять оба груза и одну
призму с оборотного маятника, превратив его, таким образом,
в простой физический маятник. Период колебаний измерять секундомером с сотыми долями секунды.
В работе используется математический маятник. Он пред-
ставляет собой шарик диаметром 1520 мм, подвешенный на нити, длину которой можно менять. Математический маятник,
имеющий длину нити, равную приведённой длине физического
маятника, имеет такой же период колебаний.
Выполнение эксперимента
Задание 1. Определение ускорения свободного падения
с помощью графика Т(b).
1. Уберите со стержня оба груза и одну призму.
2. Снимите зависимость периода колебаний маятника от по-
ложения точки подвеса, перемещая опорную призму от середины
и Т2 около осей П1 и П2 будут
1
1
, так как при перемещении
2
и Т2 будет трудно.
1
1
50
стержня к концу с шагом сначала 5 см, а к концу стержня – 10 см.
35,1
1
2
b
b
Периоды нужно определять из 10 колебаний. Положение центра
масс стержня определяйте, пренебрегая массой опорной призмы.
По полученным данным постройте график зависимости периода
от расстояния Т(b).
3. По графику определите приведённую длину маятника. Рас-
чёт показывает, что точность метода наибольшая при условии:
. Вычислите g, используя формулу (10.3).
Задание 2. Сравнение периодов колебания математиче-
ского и физического маятников.
1. Сделайте длину математического маятника равной длине
физического маятника, использованного в задании 2 (учесть радиус шарика).
2. Измерьте период колебаний математического маятника
(амплитуда не должна превышать 10
о
) из 10 колебаний и сравните
с найденным значением период физического маятника.
Задание 3 (дополнительное). Определение ускорения силы
тяжести методом оборотного маятника.
1. Измерьте время t
ным включением и выключением секундомера). Амплитуда колебаний не должна превышать 10
призмы П
и время t1 в таблицу (таблицу продумайте самостоятельно).
2
десяти колебаний маятника (следить за точ-
1
о
. Запишите расстояние S груза m2 от
2. Перемещайте груз m2 через 23 см, приближая его к призме
П2. при каждом положении измеряйте время, как в пункте 1. Получите зависимость t1(S) (должно быть 810 точек).
3. Осторожно снимите маятник с опоры, переверните его и
подвесьте на призму П2. Проделайте такие же измерения, как в
пунктах 1 и 2, перемещая груз m2 по тем же точкам в обратном
направлении (удаляя его от П
). Получите зависимость t2(S).
2
4. Постройте на одном листе графики t1(S) и t2(S). Точка пере-
сечения этих кривых даст положение груза m
, при котором пе-
2
риоды будут одинаковы. Это значит, что при таком положении
грузов точки П
и П2 будут сопряжёнными; тогда П1 П2 = L.
1
5. Вычислите ускорение силы тяжести g, используя формулу
(10.2).
6. Оцените погрешность определения g.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]