Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Раздел «Кинематика». Практикум
.pdf
№ 4361
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА
Кафедра инжиниринга технологического оборудования
А.М. Бусыгин
МЕХАНИКА
Раздел «Кинематика»
Практикум
Рекомендовано редакционно-издательским
советом университета
Москва 2021
УДК 621.1.011
Б92
Рецензент
д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры горного оборудования,
транспорта и машиностроения, и.о. заведующего кафедрой,
НИТУ «МИСиС» М.Г. Рахутин
Бусыгин А.М.
Б92 Механика. Раздел «Кинематика» : практикум /
А.М. Бусыгин. – М. : Издательский Дом НИТУ «МИСиС»,
2021. – 52 с.
Практикум состоит из четырех заданий по дисциплине «Механика», раздел «Кинематика». Каждое задание имеет 30 вариантов.
В заданиях подробно рассмотрены один или несколько примеров
их выполнения, в конце приведены контрольные вопросы, позволяющие оценить степень усвоения учебного материала, соответствующего данному заданию.
Практикум предназначен для студентов НИТУ «МИСиС», обучающихся по специальности 21.05.04 «Горное дело», но может
быть использован при обучении студентами других специальностей, изучающими дисциплину «Механика» или «Теоретическая
механика».
УДК 621.1.011
Бусыгин А.М., 2021
НИТУ «МИСиС», 2021
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .................................................................. 4
Задание К1. Определение уравнений движения, скорости
и ускорения точки по заданным проекциям ее скорости ....... 6
Задание К2. Определение скорости и ускорения точки
твердого тела при его поступательном или вращательном
движении .................................................................... 16
Задание К3. Определение скоростей и ускорений точек
твердого тела при его плоскопараллельном движении ........ 26
Задание К4. Определение параметров сложного движения
точки .......................................................................... 39
Библиографический список ............................................ 51
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Механика» относится к фундаментальным дисциплинам
и при осуществлении профессиональной подготовки инженеров различного профиля, в частности горных инженеров, имеет
одно из первостепенных значений в перечне дисциплин, изучаемых будущими инженерами. Знания, полученные при изучении механики, служат основой для многих общеинженерных
и специальных дисциплин.
Проектирование, изготовление, испытание и правильная
эксплуатация машин и механизмов, конструкций и сооружений нельзя представить без твердых основательных знаний законов, теорем и принципов механики. Но для хорошего освоения данной дисциплины важно не только глубокое изучение
теории, но и приобретение навыков, необходимых при решении практических задач самостоятельно.
В данном пособии каждое задание состоит из 30 вариантов,
приводятся примеры его выполнения и вопросы, позволяющие
оценить степень усвоения материала студентами.
Следует подчеркнуть, что для самостоятельного решения
представленных задач студент должен обладать на достаточно
хорошем уровне знаниями основ элементарной и высшей математики, изучение которых предваряет данный курс.
Для оформления курсового задания нужно использовать
листы бумаги формата А4 с одной стороны, для замечаний проверяющего преподавателя следует оставлять место. В начале
работы необходимо приводить полный текст задания, рисунок
механической системы с соблюдением стандартного масштаба
и других требований ЕСКД.
При решении каждого задания нужно использовать метод,
указанный в рекомендациях к данному заданию.
В начале решения следует помещать расчетную схему рассматриваемой механической системы, где обязательно показывать оси координат, векторы воздействующих сил и реакций связи, направление движения (если оно указано), векторы
известных скоростей и ускорений и т.д.
Схема не должна изобиловать избыточными параметрами.
Воспрещается одновременно изображать распределенную на-
4
грузку и замещающую ее равнодействующую силу. Если для
упрощения расчета силу раскладывают на составляющие, то
на схеме изображают только составляющие. Если воздействие
силы связи замещают ее реакцией, то показывают или реакцию, или ее составляющие, а связь не изображают.
Решение должно сопровождаться краткими разъяснениями со ссылками на используемые теоремы, принципы, законы
и т.п. Математические зависимости нужно сначала представлять в общем виде, а затем подставлять числовые значения,
при этом последовательность подстановки числовых значений
должна соответствовать порядку величин в математической
зависимости, которым они соответствуют. Вычисления следует производить с точностью до четвертого знака после запятой.
Результаты решения нужно сводить в таблицу, числовые значения – округлять до второго знака после запятой, в конце вычислений – проставлять размерность полученных результатов.
Все указанные преподавателем ошибки и неточности сле-
дует исправить до защиты. Если исправленная работа направляется на повторную проверку, то новое решение представляется вместе с незачтенным.
5
ЗАДАНИЕ К1.
=−+
=−−
x tt
yt=−−
xt=−
33
=−−
33
= +
= +
55xt=−−
Определение уравнений движения,
скорости и ускорения точки
по заданным проекциям ее скорости
Для точки M по заданным параметрическим уравнениям ее
движения установить вид ее траектории и для момента t = t
найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны
траектории.
Исходные данные для решения приведены в таблице К1-1.
Таблица К1-1
(c)
1
Номер
варианта
К1-1
К1-2
К1-3
К1-4
К1-5
К1-6
К1-7
К1-8
К1-9
Уравнение движения
x = x(t), м y = y(t), м
txp
3sin
=
2cos
= −
3cos
=
12 3
=−− −
5
p
5cos 1
x
= −
6
txp
3
txp
6
2
2
t
6
2cos 1
= −
yt
5sin 2
y
= +
xt
4
= −
3xt
+
typ
6
typ
sin 1
3
typ
2sin
6
t
3
2
p
6
3
+
4 12yt
5
+
2
2
t
1yt
1yt
22
= −
= −
t
1,5
0,5
1,5
, с
1
1
1
1
1
1
1
6
Номер
32xt=−−
yt=
=−−
31
2
= +−
22
21
yt= −
31xt=−+
63yt= −
xt=
52
=−−
=−+
yt= −
22
31
= −−
=−−
53
yt=
=−+
варианта
К1-10
Продолжение табл. К1-1
Уравнение движения
x = x(t), м y = y(t), м
2
2
, с
t
1
1
К1-11
К1-12
К1-13
К1-14
К1-15
К1-16
К1-17
К1-18
К1-19
К1-20
К1-21
К1-22
К1-23
2cos 1
2
xt
xt= +
3sin 1
x
= −
2
4cos 1
= +
2
xtt= −+
3sin
=
2
3sin 2
= −
xt= −
2 4sin
x
=−−
txp
6
3
t
2
2
3
2
t
p
3
txp
3
2
2xt
txp
2
3
txp
3
2
t
p
3
= −
ytt= ++
6
2
typ
2sin
5
2
yt= +
2
t
p
3cos 2
y
= +
3
txp
2
4sin 3
3
2
yt
= −
2
typ
2
3cos 1
3
typ
2
3cos
3
t
3
2
2
2
4cos 4
y
2
t
p
3
1
1
0,5
1 / 3
0,5
1
1
1
1
1
1
1 / 4
1
К1-24
К1-25
2
cos 1
= +
p
4sin 1
x
= +
txp
6
2
t
3
y
= −
=
2 4cos
sin
typ
2
6
2
t
p
3
1
1
7
Номер
x tt=−+
4
=−+
52
=−+
yt= −
=−+
( )
=
( ) ( ) ( )
123
; ; .x ft y ft zft= = =
варианта
К1-26
Окончание табл. К1-1
Уравнение движения
x = x(t), м y = y(t), м
2
t
p
3cos
x
=
6
3sin
y
= −
, с
t
1
2
t
p
6
1
К1-27
К1-28
К1-29
К1-30
1 2 cos
x
= +
44
xt
cos 6
x
2
t
p
6
2
2
2
t
p
6
2sin 2
y
= +
yt
sin 2
y
= −
2
t
p
6
t
2
3
3
2
t
p
6
1
1
1
1
Методические указания. Важным в разделе кинематики
точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений
в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.
Существуют всего три способа задания движения точки: век-
торный, координатный, естественный.
Закон движения точки при векторном способе задания дви-
жения определяется уравнением
,r rt
→
r – радиус-вектор движущейся точки относительно рассма-
где
(К1-1)
триваемой системы отсчета.
Закон движения точки при координатном способе задания
движения определяется уравнениями
(К1-2)
Уравнения (К1-2) представляют собой уравнения движе-
ния точки в координатной форме и в то же время соответствуют уравнению траектории точки в параметрической форме, где
параметром является время t. Уравнение траектории в координатной форме из (К1-2) получают исключением параметра t.
8
Закон движения точки при естественном способе задания
( )
,s ft=
,
dr
vdt=
2
2
.
dv d r
a
dt
dt
= =
222
,
xyz
vv v v v== ++
; ; .
x yz
dx dy dz
vvv
dt dt dt
= = =
222
,
xyz
aa a a a== ++
2 22
2 22
; ; .
y
xz
x yz
dv
dv dv
dx dy dz
aaa
dt dt dt
dt dt dt
= = = = = =
.
ds
vdt=
движения определяется уравнением
(К1-3)
где s – криволинейная координата, которая соответствует рас-
стоянию между началом отсчета (точки, выбранной на тра-
ектории) и положением самой точки, измеренному вдоль
дуги траектории и взятому с соответствующим знаком.
При векторном способе задания движения точки вектор ско-
→
рости
v определяется уравнением
а вектор ускорения
→
a определяется уравнением
(К1-4)
(К1-5)
При координатном способе задания движения точки модуль
скорости v определяется уравнением
, vy, vz – проекции вектора →v на оси координат, при этом
где v
x
(К1-6)
(К1-7)
При координатном способе задания движения точки модуль
ускорения a определяется уравнением
, ay, az – проекции вектора →a на оси координат, при этом
где a
x
(К1-8)
(К1-9)
При естественном способе задания движения точки модуль
скорости v определяется уравнением
При естественном способе задания движения точки ускоре-
→
a определяется уравнением
ние
(К1-10)
9
,
n
aa a
t
= +
22
,
n
aa a a
t
= = +
2
2
,
dv d s
a
dt
dt
t
= =
2
,
n
dv v
adt= =
r
22
1
2cos 2; 2sin 3; 0,5.
33
tt
xy t
pp
= −=− + =
22
23
cos ; sin .
2 32 3
x ty t
+ p− p
= =
−
( ) ( )
22
22
22
23
cos ; sin .
4 34 3
xy
tt
+−
pp
= =
( ) ( )
22
23
1
44
xy+−
+=
→
an – нормальное ускорение точки;
где
→
at – тангенциальное ус корение точки.
При естественном способе задания движения точки модуль
полного ускорения
→
a движущейся точки определяется уравне-
(К1-11)
нием
при этом тангенциальное ускорение a
а нормальное ускорение a
n
определяется формулой
(К1-12)
t
определяется формулой
(К1-13)
(К1-14)
где r – радиус кривизны траектории в точке, в которой нахо-
дится в данный момент движущаяся точка.
Пример выполнения задания К1. Исходные данные:
(К1-15)
Решение. Уравнение движения (К1-15) является уравнени-
ем движения точки в параметрической форме. Для получения
уравнения траектории в координатной форме исключим время t из уравнения (К1-15). Для этого сделаем следующие преобразования с уравнениями (К1-15):
(К1-16)
Возведем уравнения (К1-16) в квадрат:
Сложим уравнения (К1-17):
10
(К1-18)
(К1-17)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]