Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Раздел «Кинематика». Практикум
.pdf
или
( ) ( )
22
2 3 4.xy+ +− =
2
2
2sin ;
33
x
dx t t
v
dt
pp
= = −
2
2
2cos .
33
y
dy t t
v
dt
pp
= = −
(К1-19)
Уравнение (К1-19) является уравнением окружности с цен-
тром в точке C (–2, 3) и радиусом R = 2, т.е. траекторией точки
является окружность, показанная на рисунке К1-1.
µ
µ
На рисунке К1-1 векторы →v и →at совпадают.
Определим проекции вектора скорости точки на оси коор-
динат:
µ
Рисунок К1-1
(К1-20)
(К1-21)
11
Зная проекции вектора скорости, определим модуль скорости:
22
22
44
33 33
9 3 33
= − +− =
pp pp
= +=
22
22 2
42
t tt
tt t
==−=
p pp
22
22 2
42
t tt
==−=
p pp
vv v v
== +=
22
xy
16 4
tt tt
pp pp
sin cos
22 2
tt
22
sin cos .
(К1-22)
Определим проекции вектора ускорения точки на оси коор-
динат:
2
dv
a
=− p +p =
3 3 33
=−p +
a
=− p −p =
3 3 33
x
x
dt dt
sin cos
42
3 33 3
y
sin cos ;
dv
y
dt dt
cos sin
4
dt t
pp p
4
dt t
pp
sin
33
t
2
pp
cos
33
t
(К1-23)
(К1-24)
tt t
42
=−p −
3 33 3
pp p
cos sin .
Зная проекции вектора ускорения, определим модуль уско-
рения:
12
2 22
39 3
39 3
tt t
a aa
t tt
tt t
+×
×+ +
= + =−p =
+− ×
44
.
33
dv d
at
dt dt
t
= = p=p
a
av
v
t
=
.
xx yy
va va
a
v
t
+
=
2 2 2 24 2 22
16 4 16 8
1.
9 9 99
n
a aa t t
t
= − = p + p − p= p
n
a
av
v
=
22
xy
2 22
t tt
p pp
2
sin 2sin
3 33
2 24 2
pp p
cos cos
4
3
p pp
2
cos 2sin
3 33
2 24 2
pp p
×+
cos sin
2
4
4
2
2
2
(К1-25)
44
=p +p
24
1.
t
39
Определим модуль тангенциального ускорения
Модуль тангенциального ускорения
также по формуле
(К1-27)
или
(К1-28)
dv / dt выражает проекцию ускорения точки на направление
ее скорости. Знак (+) при dv / dt означает, что движение точки
ускоренное, направления
что движение замедленное.
→
at и →v совпадают, знак (–) означает,
Определим модуль нормального ускорения
по формуле
Модуль нормального ускорения
→
an можно вычислить также
→
at:
(К1-26)
→
at можно вычислить
→
an:
(К1-29)
(К1-30)
13
или
.
xy yx
n
va va
a
v
−
=
2
.
n
v
a
r=
;
xy
i vj
vv
+
=
,
xy
i aj
aa
+
=
(К1-31)
После того как найдено нормальное ускорение, радиус кри-
визны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения
(К1-32)
В нашем случае, так как окружность является кривой по-
стоянной кривизны, r = R = 2.
Векторы скорости и ускорения определяются по формулам
→
i, →j – орты осей x и y.
где
(К1-33)
(К1-34)
Результаты вычислений по формулам (К1-15), (К1-20) –
(К1-26), (К1-29) для заданного момента времени t
= 0,5 с при-
1
ведены в таблице К1-2.
Таблица К1-2
t
a
Радиус
кривиз-
ны, м
r
Координа-
ты, м
x y v
–1 1,27 –3,62 –2,1 4,2 –8 5,5 8,7 2,19 4,19 2
Скорость, м/с Ускорение, м/c
v
x
v a
y
a
y
a a
x
2
n
На рисунке К1-1 показано положение точки M в заданный
момент времени. Вектор
при этом этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор
→
ax и →ay, а затем раскладываем на составляющие →at и →an. Совпа-
t
дение величин a
и an, найденных из чертежа, с их значения-
→
v строим по его составляющим →vx и →vy,
→
a строим по его составляющим
ми, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.
14
Контрольные вопросы
1. Какие способы задания движения точки применяют при
решении задач классической механики?
2. Какой способ задания движения точки применен в дан-
ной задаче?
3. Какими системами координат можно воспользоваться для
задания движения точки?
4. Что называется средней по модулю и направлению ско-
ростью точки за промежуток времени Dt?
5. Чему равен и как направлен вектор скорости точки?
6. Как определяются величина и направление скорости при
координатном способе задания движения точки? А при естественном способе задания движения точки?
7. Чему равен и как направлен вектор ускорения точки?
8. Как определяются величина и направление ускорения при
координатном способе задания движения точки?
9. Какие величины называются тангенциальным и нормальным ускорениями точки? Напишите формулы для их определения.
10. Какое движение называется равномерным? Всегда ли
при равномерном движении ускорение точки равно нулю?
11. Какое движение совершает точка, если ее ускорение
все время равно нулю? Приведите пример такого движения.
12. Какое движение точки называется криволинейным равнопеременным? Всегда ли при равнопеременном движении полное ускорение точки должно быть?
15
ЗАДАНИЕ К2.
1
2,v Ct=
Определение скорости и ускорения точки
твердого тела при его поступательном
или вращательном движении
Скорость тела 1 определяется по формуле
где C – некоторая постоянная величина;
t – время, с.
Заданы радиусы вращающихся тел (барабанов, колес, шкивов); координаты тела 1 x
мент времени t = t
. Определить закон движения тела 1 и ко-
1
эффициент C. Найти координату, скорость и ускорение тела 1,
а также скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорение обозначенной на схеме точки M в момент времени, когда
пройденный путь тела 1 равен s. Гибкие связи (ремни, канаты)
нерастяжимы, проскальзывание отсутствует.
Схемы механизмов представлены на рисунках К2-1 – К2-30,
а исходные данные для расчетов размещены в таблице К2-1.
в момент времени t = t0 = 0 и x1 в мо-
0
Таблица К2-1
дви-
жения
, с
t
1
Путь s,
прой-
ден-
ный
телом
1, м
Радиусы, м
Номер
вари-
анта
К2-1 0,03 0,21 0,25 0,4 – 0,5 – 0,2 5,6 3 1,35
К2-2 0,12 0,27 0,15 0,6 – 0,3 – 1,2 37,5 4 8,8
К2-3 0,18 0,21 0,18 0,5 – 0,3 – 0,3 1,02 0,6 1
К2-4 0,2 0,29 – 0,21 0,11 0,25 – 0,15 0,85 1,5 0,2
К2-5 0,05 0,5 0,04 0,12 – 0,3 – 0,2 10,2 2 3,75
К2-6 – 0,3 – 0,5 0,16 0,44 0,18 1,4 5 6 1,6
К2-7 0,16 0,24 0,09 0,14 – 0,15 – 0,1 6,5 2 1,6
R
r
R
r
r
2
2
3
3
R4R5x0x
4
16
Координа-
ты, м Время
1
Окончание табл. К2-1
Номер
вари-
анта
Радиусы, м
R
r
R
r
r
2
2
3
3
R4R5x0x
4
Координа-
ты, м Время
1
дви-
жения
, с
t
1
Путь s,
прой-
денный
телом
1, м
К2-8 – 0,3 0,05 0,2 0,1 0,25 – 2,8 3,2 1 0,1
К2-9 – 0,3 0,09 0,9 – 0,9 0,25 1,25 7,01 1,2 4
К2-10 – 0,44 – 0,21 – 0,08 0,39 2,6 14,6 2 13
К2-11 0,15 0,2 0,25 0,3 – 0,22 – 0,18 3,58 2 1,6
К2-12 – 0,15 0,08 0,25 0,06 – – 1,2 11,2 √5
3,6
К2-13 0,15 0,3 0,2 0,35 – 0,3 – 0,2 1,8 0,8 1,8
К2-14 0,15 0,24 0,2 0,25 – 0,12 – 0,21 8,11 5 6,8
К2-15 0,11 0,4 – 0,54 – 0,36 – 0,18 0,66 0,4 0,24
К2-16 0,08 0,2 0,08 0,2 – 0,4 – 1,2 9,2 4 6
К2-17 0,15 0,22 – 0,56 – 0,22 – 0,75 2,34 1 0,68
К2-18 – 0,3 0,16 0,26 – 0,16 – 0,95 25,95 6 18,4
К2-19 0,22 0,44 0,3 0,56 – 0,5 – 1,56 7,08 2,8 6
К2-20 0,08 0,12 0,09 0,15 – 0,2 – 2,8 44,4 6 24,5
К2-21 0,18 0,3 – 0,45 – 0,3 – 0,55 11,2 3,5 7,2
К2-22 0,18 0,34 0,12 0,3 – 0,36 – 0,15 3,15 1 1,2
К2-23 0,08 0,17 0,18 0,25 – 0,28 – 0,18 4,35 4 2,4
К2-24 0,34 0,44 0,32 0,48 – 0,88 – 1,35 2,85 0,8 1,2
К2-25 0,22 0,77 0,22 0,28 – 0,45 – 1,55 3 0,8 1,5
К2-26 0,22 0,46 0,22 0,56 – 0,88 – 1,5 50 4 7,75
К2-27 0,3 0,45 0,28 0,65 0,29 – – 0,1 0,6 0,5 0,11
К2-28 0,18 0,37 – 0,27 – 0,37 – 2,8 7,8 1,5 4,5
К2-29 0,1 0,15 – 0,3 – 0,32 – 0,5 25 5 10,4
К2-30 0,15 0,27 0,12 0,37 – 0,35 – 0,09 0,9 0,5 0,68
17
R
R
4
3
R
R
2
2
r
4
R
R
2
R
2
3
r
R
3
R
2
r
3
3
R
r
3
R
r
2
3
r
4
2
r
3
R
r
2
R
4
r
4
R
4
R
5
R
2
R
4
R
3
R
4
4
R
3
R
r
3
4
r
R
4
R
2
r
3
r
3
3
R
5
2
r
2
R
R
2
r
3
R
3
r
R
4
R
2
2
2
R
R
4
5
R
3
R
Рисунки К2-1 – К2-10
18
R
r
3
R
R
4
R
3
3
r
R
2
R
3
r
4
R
R
3
R
2
r
2
R
r
3
2
R
2
r
r
r
3
3
r
3
4
2
R
2
r
4
4
R
4
4
R
R
4
3
R
2
2
r
R
R
3
r
3
3
R
R
2
r
3
R
2
r
2
2
R
r
2
3
R
4
R
3
2
R
r
2
R
2
2
r
3
R
r
3
4
R
Рисунки К2-11 – К2-20
19
3
2
r
R
2
r
2
2
R
R
4
r
R
2
R
R
3
r
3
R
3
3
r
2
4
R
4
R
R
4
r
2
2
R
r
3
R
3
r
2
2
R
r
4
r
3
3
R
R
4
R
3
R
4
R
4
R
3
r
R
3
2
r
R
2
2
r
R
2
r
2
2
3
R
r
2
R
4
3
R
3
r
R
r
2
r
2
2
R
3
3
R
4
R
Рисунки К2-21 – К2-30
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]