Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Раздел «Кинематика». Практикум
.pdf
( )
33
( )
tt
( )
2
s tt
t
w=p
st
( )
( )
s tt
( )
( )
st
( )
r
st
w=p
st
( )
( )
s tt
( )
pp
w= p
st
Окончание табл. К4-1
Номер
вари-
анта
К4-20
К4-21
К4-22
К4-23
К4-24
К4-25
К4-26
Закон изменения угло-
вой скорости переносного движения тела C
= we(t), с
w
e
–1
2,5 – 0,3etw=p
3 4–2
w=
e
3et
0,1 1 –etw= p
1,5 s in 0, 2etw= p
0,1 1 0,3etw= +
1–etw=p 0,2
Уравнение относи-
тельного движения
точки M
AM = s
s
r
r
r
= sr(t), м
r
1
= +
2,6 s i n
p
2 3 –6
= +
2
1,2
=
r
0,09 1 2
= p+
0,2 sin
= p
r
0,03
= p
r
t
p
2
tsp
6
3
= p
R, м b, м t
1 – 0,45
2
– 0,8 0,4
0,6 0,3 0,3
0,5 – 0,6
– 0,6 1,2
0,5 1,2 1,18
– 0,3 0,6
, с
1
К4-27
К4-28
К4-29
К4-30
Примечание. Местоположение точки M на рисунке соответствует
положительному значению s
3et
0,2 1etw= p +
0,04 3 –etw= p
1, 8et
2
2,4
= p
r
0,1 6 – 3
= p
r
=
s
r
.
r
sin
22
0,25 3
=
r
6
2
0,7 0,2 0,2
0,8 – 0,3
2
0,8 – 1,25
t
– 3 1,05
41
s
r
r
s
30°
45°
b
1.6b
r
s
b
R
b
s
r
r
s
60°
s
90°
r
R
30°
r
b
s
r
s
R
r
s
R
b
Рисунки К4-1 – К4-10
42
r
s
R
60°
b
sr
r
s
30°
R
r
s
45°
b
b
r
s
b
r
s
R
s
r
r
s
R
3
2.5
R
b
60°
R
sr
R
r
s
r
b
R
30°
s
R
Рисунки К4-11 – К4-20
43
s
r
sr
120°
b
b
r
s
b
r
s
b
R
2
R
R
r
R
r
s
s
R
R
sr
sr
R
2
b
b
R
sr
Рисунки К4-21 – К4-30
44
b
sr
60°
b
Пример выполнения задания К4. Диск C радиусом R = 0,6 м
,
e
e
ddtj
w
=
ee
jw=
( )
00 0 0 0
21 2 .
e
t t tt
ee
d dt t dt tdt dt
j
j w= + = +
=
∫∫ ∫ ∫∫
совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку O с угловой скоростью w
= we(t) = 2t + 1. Шарик M дви-
e
жется по каналу, расположенному вдоль хорды AB, отстоящей
от точки O на расстоянии a = 0,2 м, по закону s
= sr(t) = 0,8sinpt
r
(рисунок К4-31). Определить уравнение вращения шарика
M – j = j(t), а также абсолютные скорость и ускорение шарика в момент времени t = t
= (1/3) с [j(0) = 0; sr(0) = 0].
1
R
a
r
s
Рисунок К4-31
Сначала определим уравнение вращения диска C вокруг точ-
ки O:
откуда
d dt
Возьмем определенный интеграл от правой и левой частей
уравнения (К4-2):
(К4-1)
.
(К4-2)
(К4-3)
45
В итоге получаем
2
.et
t
j+
=
.
aer
MMM
vvv= +
( )
0,8 sin 0, 8 cos .
r
r
M
ds
d
v tt
dt dt
= = p= p p
,
e
Me
v = rw
22
a Ras a Ra t
→
a
v
Абсолютная скорость
сумме переносной
→
e
v
и относительной →v
M
шарика M равна геометрической
M
Найдем модуль относительной скорости v
(К4-4)
r
скоростей шарика:
M
(К4-5)
r
шарика:
M
(К4-6)
Переносная скорость шарика M соответствует скорости точ-
ки диска, с которой в данный момент совпадает шарик:
(К4-7)
где r – расстояние от точки O до точки M:
2 22
a MK a AK s
r= + = + − =
( )
2
r
2 22 2 22
= + −− = + −− p
(
r
)
(
0,8 sin .
)
Покажем на рисунке К4-32 переносную и относительную
скорости шарика M.
(К4-8)
Рисунок К4-32
46
Вектор →v
(
)
2
2 22
cos .
0,8 sin
aa
a Ra t
a= =
r
+ −− p
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
22
22
22
360 2
2 cos
2
2 cos 180
2 cos .
a e r er
M M M MM
e r er
M M MM
e r er
M M MM
v v v vv
v v vv
v v vv
°− a
= +− =
= + − °−a =
= ++ a
= + − − ° +=
22
дикулярен r. Угол между векторами этих скоростей обозначен
a, причем
r
направлен вдоль хорды AB, а вектор →v
M
e
перпен-
M
По теореме косинусов определим модуль
скорости шарика M. Как видно из векторного параллелограмма (см. рисунок К4-32), сторонами которого являются векто-
→
e
r
v
и →v
ры
M
Определим значения v
t = (1/3) c, используя ранее выведенные формулы:
, а диагональю →v
M
r
0,8 cos 0, 8 cos 60
vt
= p p = p °=
M
0,8 3,14 0,5 1,256 ;
=⋅ ⋅=
e
v a Ra t t
= rw = + − − p + =
Me
2 22
0,2 0,6 0,2 0,8 sin 60 2 1
2 22
= + − − °=
0,2 0,6 0,2 0,8 sin 60 0,237 ;
2 22
(
2 22
r= + − − p =
a Ra t
(
a
:
M
r
e
, v
, r, cosa, sina в момент времени
M
M
(
=
0,3951 ;
(
0,8 sin 2 1
м/c
0,8 sin
м/c
)
2
)
2
2
( )
)
2
)
(К4-9)
→
a
v
– абсолютной
M
(К4-10)
1
3
(К4-11)
м
sin = 1 cos 1 0,8439 0,5365.
cos =
a − a= − =
r
0,2
37
47
0,2
a
a=
0,8439;
=
Подставив полученные значения величин из формул (К4-11)
= + +⋅ ⋅ ⋅ =
aerk
MMMM
aaaa=++
MM M MM
aa a aa
( )
2
2 1 2 .
с
e
e
d
d
t
dt dt
−
w
e = +=
=
( )
2
2
22
1
= 2 1 2 1 0,237 0,6583 ,
3
м/с
en
Me
at
=w r + r= + =
2
= 2 0,237 = 0,474 ,
м/с
e
Me
at=er ⋅
22
a tt
= p p =− p p=
a
в формулу (К4-10), получим значение v
в момент времени
M
t = (1/3) c:
a e r er
v v v vv= + + a=
M M M MM
0,3951 1,256 2 0,3951 1,256 0,8439
22
Определим абсолютное ускорение
22
( ) ( )
=
1,6035 .
2 cos
м/c
→
a
a
M
(К4-12)
шарика M. Так как шарик совершает сложное движение, то абсолютное ускорение
шарика M определяется из уравнения
→
e
e
n
a
где
M
рения шарика M;
→
r
a
M
→
k
a
M
t
и →a
– нормальное и тангенциальное переносные уско-
M
– относительное ускорение шарика M;
– ускорение Кариолиса шарика M.
или ,
a en e r k
= + ++
Найдем переносное угловое ускорение e
t
диска C:
e
(К4-13)
→
a
a
M
Так как e
ние совпадает с направлением w
имеет положительное значение, то его направле-
e
.
e
Определим модули ускорений в правой части уравнения
(К4-13) в момент времени t = (1/3) c:
→
e
направлено ускорение
n
a
от точки M к точке O;
M
→
e
t
a
направлено ускорение
учетом направления e
r
dv
r
M
M
=
dt dt
=− ⋅ °=−
0,8 3,14 sin 60 6,8307 ;
перпендикулярно ускорению →a
M
, т.е. вниз;
e
d
0,8 cos 0,8 sin
( )
48
(К4-14)
(К4-15)
(К4-16)
M
2
(К4-17)
м/с
e
n
с
так как (→a
cos sin
0,6583 0,8439 0,474 0,5365 4,1867 3,8855;
a en e k
Mx M M M
aa a a
t
=− a+ a+ =
=− ⋅ +⋅ + =
e
)t имеет отрицательное значение, то направлено оно
M
противоположно движению шарика, т.е. вдоль хорды AB от точки B к точке A;
krr
22
avvb=
=ww
M eM eM
2 1,667 1,256 sin 90 4,1867 ,
=⋅⋅=⋅ °=
где b – угол между вектором
→
Вектор
ка К4-32 от нас, вектор
we направлен перпендикулярно плоскости рисун-
→
v
M
→
we и вектором →v
r
лежит в плоскости рисунка, т.е.
sin ��
(К4-18)
2
м/с
r
.
M
угол между этими векторами равен 90°. Так как шарик M совершает плоское сложное движение, то направление вектора
→
k
a
можно определить путем поворота вектора →v
M
правлению w
. Получается, что вектор →a
e
k
M
r
на 90° по на-
M
направлен горизон-
тально влево.
На рисунке К4-33 покажем оси координат и все ускорения
уравнения (К4-13). Направление оси x выбрано перпендикулярно хорде AB.
Рисунок К4-33
Спроецируем уравнение (К4-13) на оси координат:
49
(К4-19)
sin cos
0,6583 0,5365 0,474 0,8439 6,8307 6,0775.
a en e r
My M M M
aa a a
t
=− a− a+ =
=− ⋅ −⋅ + =
22 2
Зная проекции ускорения
→
a
a
на оси координат, найдем мо-
M
(К4-20)
дуль этого ускорения:
aaa
aaa= +=
3,8855 6,0775 7,2134 .м/с
= +=
M Mx My
22
(К4-21)
Результаты вычислений сведены в таблицу К4-2.
Таблица К4-2
j
e
t2 + t 1,6 7,21
a
v
, м/c a
M
a
M
, м/c
2
Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятию «сложное движение точки».
2. Из каких движений состоит сложное движение точки?
Дайте определение этим движениям.
3. Напишите формулу, по которой определяется абсолют-
ная скорость точки, совершающей сложное движение.
4. Из каких ускорений состоит абсолютное ускорение точ-
ки, совершающей сложное движение?
5. Напишите формулу, по которой определяется абсолютное
ускорение точки, совершающей сложное движение.
6. Если точка совершает сложное плоское движение и известна ее относительная скорость, как определить направление ускорения Кариолиса?
7. Перечислите все случаи, при которых ускорение Кариолиса равно 0.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]