Механика, молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие

и при постоянном давлении









Ответ:

C

c

 

P

311, 6

c

V

R

558,31 Дж кг

P

μ 2μК

Дж кг

К

24010



,

c

P

3



519,4

Дж кг



.

К

Задача 10. Вычислить удельную теплоемкость при постоянном

объеме

c

смеси гелия (массой

V

Дано:

10 г 10 кгm

1

μ 410 кг/моль



1

50 г 510 кгm

 ,

2

μ 28 10 кг/моль



2

c 

смеси

V

2

3



3



?

Для смеси газов выполняется соотношение

,

тогда теплоемкость смеси

2

для теплоемкости при постоянном объеме

c

смеси

V

10 гm

1

смеси 12 11 22

cm cm

VV



) и азота (массой

()cmmTcmTcmT

  

cm c m

11 2 2

смеси





mm

12

c

2

,

.



mm

12

Заменяя удельные теплоемкости через молярные, получим

mm

12

CC

смеси



c

V



VV

12

μμ

12



mm

12

. (4.4)

Молярные теплоемкости мы знаем, поскольку известно число сте-

пеней свободы для каждого газа

CR

1

V

3

,

CR

2

5

2

V

.

2

Подставляя это выражении в (4.4), получим

50 гm

).

,

mm mm

35

c

V

смеси

12 12

RR

2 μ 2 μμμ



12 12



mm mm

12 12

71

35

R



2

10 50





A



35

8,31 Дж кг

 



428

21050 К



1,13 .

Ответ:

c

V

смеси



1,13

Дж кг

К

.

4.5. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО НАЧАЛА

ТЕРМОДИНАМИКИ К ИЗОПРОЦЕССАМ

Задача

ме на

11. Азот массой

200 КT

. Найти: 1) количество теплоты, сообщенное газу Q ;

2) совершенную газом работу

U

гии

Дано:

μ 28 10 кг/моль

.

2 кгm 

,

3

 ,



200 КT

,

При изохорическом процессе не совершает работы подведенное тепло идет на изменение внутренней энергии

constV 

1) ?Q 

2)

3)

?A 

?U

2 кгm

нагревают при постоянном объе-

; 3) изменение внутренней энер-

constV

0A

. Поэтому все

QUCT  

VV

m

. (4.5)

μ

Азот – двухатомный газ, поэтому его молярная теплоемкость при

постоянном объеме

5

CR

V

.

2

После подстановки этого выражения в (4.5) получим

газ

552

QU RT

     

V

Ответ:

QU 

V

m

2 μ 2

28 10

296,8 кДж

8,31 200 296,8 кДж

3





0A

,

.

Задача 12. Кислород нагревают при постоянном давлении

200 кПаP  , при этом его объем изменился с

72

1 мV  до

1

3

2

3

5 мV  .

Найти: 1) количество теплоты, сообщенное газу

A









газом работу

, 3) изменение внутренней энергии

Q ; 2) совершенную

U

.

Дано:

200 кПа 210 ПаP 

1

2

3

5 мV 

,

constP 

3

1 мV  ,

1) ?Q 

CR

P

?A 

?U

7

– молярная теплоемкость при постоянном давлении для

2

2)

3)

где

двухатомного газа, а

5

m

μ

Работа газа при изобарическом процессе

constP

,

легко вычисляется по формуле

()210(51)810 ДжAPV V

21

Тепло, сообщенное газу при изобарном процессе,

QCTT

PP

()

TT

21

можно найти из уравнения Клапейро-

на–Менделеева

m

PV RT

11

,

μ

PV RT

m

22

μ

m

TT





21

μ

PV V RT T 

,



PV V

21 21



21

R

После подстановки в (4.6) окончательно получим

()

PV V

mR

QCTT PVV

 

PP

() ()

μ 22

21 21

77



21

R

55

m

()

μ

m

, (4.6)

21

,

μ



.

77

A 

55

8 10 = 28 10 Дж.

22

Согласно первому началу термодинамики

Ответ:

UQ A AA A    

P

810 ДжA 

755

222

5

,

20 10 ДжU 

73

810 =2010 Дж

5



P

55

28 10 Дж

Q 

,

P

,

.

5

.

QUA

Задача 13. Азот массой



A









A



γ



температуре

300 КT 

0, 4 кгm

так, что его объем увеличивается в два раза.

расширяется изотермически при

Найти: 1) количество теплоты, сообщенное газу Q ; 2) совершенную газом работу

; 3) изменение внутренней энергии

U

.

Дано:

,

0, 4 кгm 

3

μ 28 10 кг/моль



V

2

V

1



2



,

300 constTK

При изотермических процессах не меняется

0U

внутренняя энергия газа все сообщаемое газу тепло идет на совер-

,

шение работы

QA

.



, поэтому

Работа газа при изотермическом процессе вычисляется по (2.24):

1) ?Q 

2)

3)

?A 

?U

AQ RT

m

    

μ 28

V

2

ln 8,31 300 ln 2 24,7 кДж

V

1

Ответ: 24,7 кДжAQ ,

400

.

0U



.

Задача 14. Водород при нормальных условиях занимал объем

50 лV 

1

, затем адиабатно расширился до объема

150 лV

2

. Найти:

1) количество теплоты, сообщенное газу Q ; 2) совершенную газом работу

; 3) изменение внутренней энергии

Дано:

3

μ 410 кг/моль

1

2



 ,

5

10 ПаP 

50 л 50 10 мV

 ,

150 л 150 10 мV



,

33



33



При адиабатических процессах не происходит теплообмена с окружающей средой 0

Q , поэтому вся работа за-

трачивается на изменение внутренней энергии

UA

Работа газа при адиабатическом процессе вычисляется по (2.35):

U

.



.

1) ?Q 

2)

3)

?A 

?U

AU

 



PV V

11 1

γ 1







1





1

,

V

2

74

для двухатомного газа





A



P





C

7

P

  

5

C

V

1, 4

. Тогда работа



PV V

11 1



AU

    

11



γ 1 1,4 1 150





50 10 1



γ 1

 

V

2



2





 

0,4 3



Ответ: 4,445 кДжAU , 0Q

Задача 15. Азот массой

350 КT 

1

подвергли адиабатическому расширению, в результате ко-

53



10 50 10 50

0,4



1 4,445 кДж.

 



  



.

10 гm

, находящийся при температуре

1,4 1

 





торого его давление уменьшилось в три раза. Затем газ изотермически сжали до первоначального давления. Найти: 1) количество теплоты, сообщенное газу

Q ; 2) совершенную газом работу

внутренней энергии

Дано:

10 г 10 кгm

μ 28 10 кг/моль

 ,

P

1

3



,

P

2

350 KT 

1

2

3



P

,

13

U

.

Изобразим график процесса в осях

,

P

3

1

; 3) изменение

V

.

1) ?Q 

2)

?A 

3)

?U

2

V

Процесс 1–2 – адиабатическое расширение, в котором работа по-

ложительна, а теплообмена с окружающей средой нет:

120Q

,

 

12 12



0AU

.

Процесс 2–3 – изотермическое сжатие, в котором работа отрица-

тельна, а внутренняя энергия не меняется:

75

0U









γ





,

23

23 23



Результирующая теплота

23



изменение внутренней энергии

UU



Работа

AA A



12 23

Вычислим изменение внутренней энергии

0QQ



12

0AQ



.

,

.



7



5

T

2

1γγ 1 γγ

PT P T

11 2 2

Температуру

C

P

γ=1,4

C

V

UU CTT

  

можно найти из уравнения адиабаты (2.32)



 ,

,

TT







21



m

12 2 1



1 γ

P

11,4

P

2

()

V

μ



TT

21

γ

350 3 255,7 К

. (4.7)

1



P

1



P



11,4



,

2

350

0,29

3

Подставим в (4.7), окончательно получим

m

UU CTT

     

12 2 1



( ) 8,31(255,7 350) 699,7 Дж

V

μ 28 2

10 5

Найдем теплоту, отданную газом

QQ A



23 23



.

Работа при изотермическом процессе определяется по формуле

(2.25)

QA RT RT



mm



23 2 2

μμ28 2

PP

22

ln ln 8,31 255,7 ln 526 Дж

PP

31

10 1

76

.

Работу при адиабатическом процессе мы уже нашли:



A



 

12 12



699,7 ДжAU

.

Результирующая работа

  

12 23



Ответ: 173,7 ДжA  ; 526 ДжQ

699,7 526 173,7 ДжAA A

.

 ; 699,7 ДжU .

4.6. ЦИКЛЫ

Примеры вычисления КПД некоторых циклов рассмотрены по-

дробно

в разделе 2.13.

Задача 16. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура

нагревателя

500 КT 

1

, температура холодильника

изотермического расширения газа и тепло

Q

, отданное газом холодильнику при изотермическом сжа-

2

12

2 кДжA

. Найти КПД цикла η

250 КT

2

тии.

Дано:

1

2

12

η ? ,

500 КT 

,

250 КT 

,

2 кДжA

2

Цикл Карно показан на рисунке. Так как процесс 1–2 – изотермический, то полученное теп-

Q

ло

равно работе изотермического расширения

1

12

QA



112

.

газа

?Q 

. Работа

P

1

0Q

4

Цикл Карно

Q

1

2

A

Q

2

77

0Q

3

V

КПД цикла Карно









QQ TT

1212

η



QT

11



,

откуда

QT

22



QT

11

TT

QQ A

21 12

22

 

TT

11

,

500

24 кДж

250

Найдем КПД цикла Карно:

TT

12

η 0,5

 

T

1

500 250

500

Значение КПД, выраженное в процентах, составляет

Ответ: η 50 % ,

η 0,5 100 % 50 %

2

.

4 кДжQ

.

4.7. ЭНТРОПИЯ

Задача

17. Найти приращение энтропии

лорода массой

350 КT 

1

к объему

Дано:

320 гm 

,

3

μ 32 10 кг/моль,



1

2

1

2

12



350 КT 

,

500 КT 

,

5 лV 

,

15 лV 

?S

320 гm

15 лV

2

от объема

при температуре

Изменение энтропии в общем случае определяется формулой (2.41):

SCR

 

12



Для двухатомного газа менение энтропии

S

1



m



V

μ



.

при переходе кис-

12



5 лV

при температуре

500 КT

2

TV

22

ln ln

TV

11

CR

V

.

5

, тогда из-

2

.

78

SCR









12

320 5 500 15

 

32 2 350 5



10 8,31 ln1, 42 ln 3 165,4 Дж/К.

  



μ



8,31 ln 8, 31 ln

5

 

2





m



TV

22

ln ln

V

TV

11



Ответ:

12

165,4 Дж/КS

Задача 18. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на

две равные части. В одной части находится три моля водяного пара при температуре

400 КT

1

лорода при температуре

. В другой части находится два моля кис-

500 КT

2

. Перегородку медленно убирают,

и газы перемешиваются. Найти изменение энтропии в этом случае.

Дано:

m

1

μ

1

VV

12

μ 18 10 кг/моль

1

μ 32 10 кг/моль,

2

1

2

m

2

3



,

2



μ

V

,

2

,

2

3

 ,





3



400 КT 

,

500 КT 

?S

Изменение энтропии в общем случае определяется формулой (2.45):



m

1



SC R





μ

111





m

2

CR



μ

222



Для двухатомного газа

трехатомного

CR

V

TV

ln ln

V

1

TV

ln ln

V

2

TV

6

1

.

2

CR

2

V

.

5

2

, для

Установившаяся температура вычисляется по (2.44):

mm

12

CT C T



11 2 2

VV

μμ

12

T

 

mm

12



CC

12

VV

μμ

12

RR



3 2,5 400 2 3 500



32,5 23

RR

79

7,5 400 6 500









7,5 6



444 К.

Тогда изменение энтропии

 

mm

12

SC R C R

    

 

 

μμ

1112 22

 

 

38,313ln ln2 28,312,5ln ln2

   

TV T V

ln ln ln ln

VV

12

TV T V

444 444

400 500

25,09 6,58 31,67 Дж/К.



Ответ: 31, 67 Дж/КS

5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

5.1. ОПЫТНЫЕ ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. УРАВНЕНИЕ КЛАПЕЙРОНА–МЕНДЕЛЕЕВА

1. Найти температуру кислорода массой

объем

300 лV 

при давлении

8 кПаP

2. Какой объем занимает азот массой

0,5 MПаP 

и температуре

3. Сосуд объемом

2 MПаP 

и температуре

300 КT

15 лV

заполнен водородом при давлении

400 КT

.

. Какая масса водорода находит-

10 гm

, занимающего

10 гm

при давлении

ся в сосуде?

4. Найти массу воздуха, заполняющего аудиторию высотой и площадью

3, 5 мh 

температура 20 C

t .

100 мS 

. Давление воздуха

100 кПаP

,

2

5. Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего помещение

зимой при 20 C помещение летом при 20 C

6. Азот нагревают в закрытом сосуде от температуры

температуры

t   , больше плотности воздуха, заполняющего то же

t

?

20 Ct



до

2

50 Ct 

. Найти отношение давлений газа до и после

1

нагревания.

80