Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика, молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие
.pdf
2.4. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
A
Удельная
теплоемкость – количество теплоты, необходимое для
нагревания 1 кг вещества на 1 К
δQ
c
. (2.8)
mdT
Единицы измерения удельной теплоемкости
c
Дж
кг К
.
Молярная теплоемкость – количество теплоты, необходимое для
нагревания 1 моля вещества на 1 К:
δ
Q
C
m
, (2.9)
m
dT
μ
m
где
– количество молей вещества.
μ
Единицы измерения молярной теплоемкости
C
лярная теплоемкость
связана с удельной теплоемкостью c соот-
m
C
m
Дж
моль К
ношением
Cc
μ
m
. (2.10)
Различают молярные теплоемкости при постоянном объеме
при постоянном давлении
C
.
P
Запишем первое начало термодинамики для одного моля:
. Мо-
C
V
и
δδ
QdU A
mmm
CdT dU PdV
mmm
Если процесс идет при постоянном объеме
PdV
0
и
m
CdT dU
Vm
31
,
. (2.11)
constV
, то
. (2.12)
Согласно (2.2) для 1-го моля
P
P
dU RdT
i
m
, тогда молярная тепло-
2
емкость при постоянном объеме
i
CdT RdT
V
2
i
CR
V
2
,
. (2.13)
Таким образом, можно записать формулу для вычисления изменения внутренней энергии
mi m
dU RdT C dT
μ 2 μ
V
. (2.14)
Молярная теплоемкость при постоянном давлении
Выразим
CdT CdT PdV
PV
dV из уравнения Клапейрона–Менделеева для 1-го моля
dV RdT
. (2.15)
и подставим в (2.15)
CdT CdT RdT
PV
CCR
PV
,
. (2.16)
Выражение (2.16) связывает между собой молярные теплоемкости
при постоянном давлении и при постоянном объеме и называется
уравнением Майера.
C
Теплоемкость при постоянном давлении
емкости при постоянном объеме
C
V
, поскольку при изобарном про-
всегда больше тепло-
P
цессе требуется дополнительное количество теплоты на совершение
газом работы. Если подставить в уравнение Майера выражение (2.13),
C
получим зависимость
от числа степеней свободы газа:
P
2
i
CR
P
32
. (2.17)
2
В термодинамике важную роль играет отношение
C
i
P
γ
Ci
V
2
. (2.18)
Теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме
легко вычислить, зная, сколько атомов содержится в молекуле газа.
Эти данные приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Газ Одноатомный газ Двухатомный газ Трехатомный газ
γ
i
C
V
C
P
C
P
C
V
3 5 6
3
R
2
5
R
2
3
5
5
R
2
7
R
2
5
7
3R
4R
3
4
2.5. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО НАЧАЛА
ТЕРМОДИНАМИКИ К ИЗОПРОЦЕССАМ
Изохорный
процесс
При изохорном процессе не совершается работа
constV
δ 0APdV
, по-
этому первое начало термодинамики запишется в виде
Изобарный процесс
QdU CdT
δ
VV
constP
m
. (2.19)
μ
Для изобарного процесса первое начало термодинамики запишется
в виде
δδ
QdUA
P
mm
CdT CdT PdV
PV
μμ
33
,
. (2.20)
Возьмем дифференциал от правой и левой части уравнения Кла-
A
A
R
пейрона–Менделеева, учитывая, что
constP
и вычислим элементар-
ную работу:
δAPdV
PdV RdT
,
m
,
μ
m
δ
RdT
. (2.21)
μ
Если температура тела меняется от
1
до
, то работа, совершае-
2
T
T
мая газом при изобарном нагревании
m
()
RT T
21
μ
. (2.22)
Из (2.22) понятен физический смысл универсальной газовой постоянной
– это работа изобарного расширения 1-го моля газа при
нагревании его на 1 К.
Изотермический процесс constT
При изотермическом процессе внутренняя энергия газа не меняется
0dU , поэтому все подводимое тепло идет на совершение работы
δδQAPdV
. (2.23)
Воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева, чтобы выразить из него давление
mT
PR
,
μ
V
подставим в (2.23)
mdV
δ
ART
μ
V
и проинтегрируем для нахождения полной работы
VV
22
mdVm dVm
ART RT RT
μμ μ
VV
11
VVV
34
V
2
ln
. (2.24)
1
VP
21
При изотермическом процессе
VP
12
, поэтому работу можно за-
писать еще и в таком виде:
m
ART
μ
P
1
ln
. (2.25)
P
2
Таким образом, чтобы при изотермическом расширении поддерживать постоянной температуру газа, к нему необходимо подводить тепло, равное работе расширения.
2.6. АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
При адиабатическом процессе не происходит теплообмена с окружающей средой, поэтому работа, связанная с изменением объема газа,
сопровождается изменением его внутренней энергии
δdU A
δ 0Q
,
. (2.26)
Знак «–» в (2.26) показывает, что при
адиабатном расширении температура газа
понижается, а при адиабатном сжатии температура газа увеличивается. Последнее
утверждение легко понять, рассмотрев кинематику столкновения молекулы газа с
v
2vu
u
движущимся поршнем. Пусть газ заключен
в сосуд с подвижным поршнем и пусть
происходит расширение газа (рис. 24).
Для простоты рассмотрим молекулу, движущуюся
v
ном направлении со скоростью
рость движения поршня
. После абсолютно упругого удара о поршень молекула полетит
vu
обратно со скоростью
. Скорость молекулы относительно поршня
u
относительно поршня. Однако относи-
vu
относительно стенок сосуда, ско-
тельно стенок сосуда скорость молекулы теперь станет
. Таким образом, после удара о поршень понизилась скорость
2vu
Рис. 2.4
в горизонталь-
vuu
молекулы, следовательно, понизилась ее кинетическая энергия и температура газа. Если поршень будет двигаться в обратном направлении
vu
(сжатие газа), то скорость молекулы до удара будет
ра
2vu
, и температура газа наоборот повысится.
, а после уда-
35
Выведем уравнение, связывающее давление и объем газа при адиа-
R
γ
γ
γ
γ
батическом процессе. Согласно (2.26)
m
CdT PdV
V
μ
. (2.27)
Продифференцируем уравнение Клапейрона – Менделеева
dPV PdV RdT. (2.28)
m
Поделим (2.28) на (2.27)
m
dPV PdV
PdV
,
CC
PV
dPV
PdV
dPV PdV R
PdV C C
dPV
(
VV
11
PdV
m
μ
γ
dT
,
CdT
V
1) 1 γ
dP dV
,
γ
PV
,
. (2.29)
Проинтегрируем (2.29):
где
PV
11
C
P
называется показателем адиабаты.
C
V
,
PV
22
ln γ ln
Уравнение (2.30) называется
PV
ln ln
PV
21
12
,
11 2 2
γ
constPV P V, (2.30)
уравнением Пуассона, или уравнени-
ем адиабатического процесса.
Уравнение адиабатического процесса также можно записать и в
других переменных:
γ 1
constTV
, (2.31)
1 γγ
36
constPT
. (2.32)
P
γ
P
0
Q
Адиабата и изотерма, построенные
в осях
V
, показаны на рис. 2.5.
Адиабата идет круче, чем изотерма.
Чтобы найти работу адиабатного
расширения, надо проинтегрировать
constT
V
1
Рис. 2.5
V
2
V
(2.27):
T
2
mm
A C dT C T T
VV
μμ
T
1
m
()
CT T
V
μ
()
12
21
. (2.33)
Приведем и другие формулы для работы, которые можно получить
с помощью уравнения Пуассона и выражения (2.33):
P
constT
V
1
Рис. 2.6 Рис. 2.7
mR
AT
γ 1
PV V
11 1
A
γ 1
0Q
V
2
V
1
1
1
V
2
1
V
1
V
2
γ 1
, (2.34)
. (2.35)
P
0Q
constT
V
1
V
2
Сравним работы адиабатического расширения и изотермического
расширения от объема
V
до объема
1
V
. Для этого построим графики
2
37
V
изотермического и адиабатического процессов на
P
P
V
-диаграмме
(рис. 2.6). Работа – это площадь под кривой, построенной в указанных
осях. Очевидно, что площадь под изотермой больше площади под
адиабатой, поэтому работа газа, затраченная на адиабатическое расширение, меньше работы, затраченной на изотермическое расширение.
Если построить аналогичные кривые для изотермического и адиабатического сжатия (рис. 2.7), то получим обратный результат, работа
изотермического сжатия меньше работы адиабатического сжатия.
2.7. ЦИКЛЫ
Циклом
(круговым процессом) называется процесс, при котором
система, пройдя через ряд промежуточных состояний, возвращается в
исходное состояние. На диаграммах цикл изображается замкнутой
кривой. Если работа, совершенная за цикл положительная, то цикл
называется
называется
P
Работа – это площадь под кривой, построенной в осях
прямым (рис. 2.8, а), если работа отрицательная, то цикл
обратным (рис. 2.8, б).
0A
V
а б
Рис. 2.8
P
0A
V
V
На рис. 2.8, а положительная работа расширения больше отрицательной
работы сжатия, поэтому результирующая работа положительна и ее величина – площадь фигуры, образованной различными стадиями цикла.
На рис. 2.8, б положительная работа расширения меньше отрицательной
работы сжатия, поэтому результирующая работа отрицательна, и ее модуль – площадь фигуры, образованной различными стадиями цикла.
Прямые циклы
используются в тепловых двигателях, совершающих ра-
38
.
боту за счет полученной извне теплоты. Обратные циклы применяются
A
в холодильных машинах, в которых за счет работы внешних сил теплота
переносится от менее нагретого тела к более нагретому.
Вычислим работу прямого цикла, со-
стоящего из двух изобар и двух изохор.
Объем в пределах цикла меняется от
до
V
2
, давление от
P
P
1
до
(рис. 2.9).
2
P
V
P
1
2
Работа для приведенного прямого
цикла вычисляется достаточно просто –
P
это площадь заштрихованного прямо-
1
угольника на рис. 2.9.
V
()()APPVV
2121
.
В цикле система возвращается в ис-
ходное состояние, поэтому изменение
0U
внутренней энергии
и совершенная работа равна теплу AQ.
V
1
V
Рис. 2.9
2
Однако в процессе цикла система может как получать тепло (обозна-
Q
чим полученное тепло
Q
тепло
), поэтому
2
), так и отдавать его (обозначим отданное
1
QQ Q
. (2.36)
12
Термическим коэффициентом полезного действия для кругового
процесса называется
QQ Q
A
QQ Q
12 2
11 1
1
. (2.37)
Термодинамический процесс называется обратимым, если он может
проходить как в прямом, так и в обратном направлении. Причем, если
пройдя ряд промежуточных состояний система вернулась в исходное, то
в окружающей среде и в самой системе не происходит никаких изменений. Конечно, обратимый процесс является идеализированной моделью,
поскольку в реальных системах всегда
присутствуют силы трения, теплопроводность и т. д. Обратимые процессы являются равновесными,
поскольку в любом состоянии термодинамической системы ей безразлично, идет процесс в прямом или в обратном направлении.
Все остальные процессы, не являющиеся обратимыми, называются
необратимыми.
39
2.8. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНТРОПИИ
Понятие энтропии было введено в 1865 году Р. Клаузиусом, кото-
рый ввел понятие
приведенного количества теплоты
δQ
на беско-
T
нечно малом участке процесса, когда
constT . Теоретический анализ
показывает, что для любого обратимого кругового процесса
δ0Q
. (2.38)
T
С точки зрения математики это означает, что приведенное тепло
является полным дифференциалом некоторой функции состояния, для
которой не важен путь, по которому идет процесс. Эта функция состояния была названа
термодинамической энтропией
δQ
dST
. (2.39)
Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то изменение энтропии
2
SSS
12 2 1
δQ
. (2.40)
T
1
Таким образом, энтропия, так же как и потенциальная энергия,
определяется с точностью до некоторой постоянной, и
физический
смысл имеет разность энтропий.
Воспользуемся первым началом термодинамики, чтобы вычислить
изменение энтропии при различных процессах:
m
CdT PdV
22
dU A
SSS
12 2 1
11
δ
TT
V
. (2.41)
Из уравнения Клапейрона–Менделеева выразим давление
PV RT
m
μ
1μm
PRT
,
V
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]