Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика, молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие
.pdf
1–2 – адиабатическое расширение, при котором не происходит теп-
γ
γ
γ
P
лообмена 0
Q.
2–3 – изохорическое охлаждение газа, газ отдает тепло
1
3–4 – адиабатическое сжатие, при
котором не происходит теплообмена
Q .
0
4–1 – изохорическое нагревание га-
за, газ получает тепло
4
V
Рис. 2.18
nV
2
3
m
QCTT
232
QCTT
114
()0
V
μ
m
() 0
V
μ
. (2.61)
. (2.62)
КПД цикла
mm
() ( )
CT T CT T
14 23
VV
μμ
η
m
()
CT T
14
V
μ
TT T T
142 3
TT
14
. (2.63)
Температуры газа на участках 1–2 и 3–4 (адиабатах) связаны между
собой уравнением Пуассона
1 γ 1
12
11
43
()TV T nV
()TV T nV
TTn
,
12
TTn
,
43
1
, (2.64)
1
. (2.65)
Подставим (2.63) и (2.64) в (2.62):
11 1
Tn Tn T T T T n T T
2 3 23 23 23
( )
11 1
Tn Tn T T n
23 23
1
n
n
()()
1
1
51
1
1.
n
(2.66)
γ
γ
P
P
P
1
2
n
Например, для двухатомного газа
1, 4 и для
η 15 15 0,47
5n
получим
11,4 0,4
Чтобы выразить ответ в процентах,
надо полученный результат умножить
3
4
Рис. 2.19
с показателем адиабаты
причем давление меняется в пределах цикла в
на 100 %.
Воздушно-реактивный двигатель
Рассмотрим цикл воздушно-реак-
тивного двигателя для идеального газа
, состоящего из двух изобар и двух адиабат,
n
раз (рис. 2.19).
КПД цикла
QQ
12
η
.
Q
1
1–2 – изобарическое расширение, при котором температура повы-
шается
()TT
21
:
m
() 0
QCTTQ
12 2 1 1
μ
P
. (2.67)
2–3 – адиабатическое расширение газа, при котором не происходит
теплообмена 0
Q;
3–4 – изобарическое сжатие, при котором температура понижается
()TT
43
:
m
QQ CTT
34 2 4 3
()0
P
μ
; (2.68)
.
4–1 – адиабатическое сжатие газа, при котором не происходит теп-
лообмена 0
Q.
КПД цикла
mm
() ( )
CT T CT T
μμ
η
21 34
PP
m
()
CT T
μ
21
P
52
TTTT
2134
TT
21
. (2.69)
Температуры газа на участках 2–3 и 4–1 (адиабатах) связаны между
γ
γ
γ
собой уравнением Пуассона:
1γγ 1 γγ
()nP T P T
()nP T P T
,
23
TTn
32
1γγ 1 γγ
,
14
TTn
. (2.71)
41
1γγγ
()nT T
1 γ
γ
()nT T
1 γ
,
23
. (2.70)
1γγγ
14
Подставим (2.69) и (2.70) в (2.68):
mm
CT T CT T
() ( )
21 34
PP
μμ
η
m
CT T
μ
()()
TT TTn
()
21
P
21 21
TT
21
Например, для двухатомного газа
11,4 0,4
η 15 15 0,37
TTTn Tn
1 γ
γ
1,4 1,4
1
212 1
1
n
γγ
TT
21
1 γ
γ
1, 4 и для
.
1 γ
. (2.72)
5n
получим
Чтобы выразить ответ в процентах, надо полученный результат
умножить на 100 %.
Цикл, заданный в осях температура–энтропия
()TS
Рассмотрим некоторый цикл, график которого представлен на
()TS
()TS
, если температура ме-
тепло – это площадь под
S
. В изотермиче-
рис. 2.20 в осях температура – энтропия
няется в пределах цикла в
n
раз.
В осях температура – энтропия
кривой. Пусть энтропия изменяется в цикле на
53
ском процессе 1–2 газ получает тепло
процессе 2–3 теплообмена нет 0
газ отдает тепло
QQ
31 2
. Также очевидно, что площадь треугольни-
Q , в неизвестном процессе 3–1
QQ
12 1
ка 1–2–3 – это разница
, в адиабатическом
QQ nTTS TSn
12
T
1
nT
T
Рис. 2.20 Рис. 2.21
Полученное тепло
угольника (рис. 2.21).
КПД
η
11
() (1)
22
T
2
3
S
QnTS
QQ
12
1
QnTSn
1
nT
– площадь заштрихованного прямо-
1
TSn
(1)
2
1
T
n
1
.
.
2
3
S
54
3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
3.1. МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Уравнение Клапейрона–Менделеева хорошо описывает поведение
реальных газов только при высоких температурах и малых давлениях.
При повышении давления и понижении температуры связь между объемом, давлением и температурой газа уже не описывается уравнением
Клапейрона–Менделеева. В этом нет ничего удивительного, поскольку
в молекулярно-кинетической теории мы вводили понятие идеального
газа, в
и мы пренебрегали размерами молекул. В реальных газах атомы состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных
электронов, между которыми действуют силы притяжения и отталкивания. Таким образом, в основе межмолекулярного взаимодействия
лежат электромагнитные силы.
трех типов:
ми молекулами, обладающими дипольными моментами. В полярной
молекуле (HCl, H
тельных зарядов не совпадают, поэтому соседние молекулы ориентируются таким образом, чтобы рядом находилась область с противоположным зарядом (рис. 3.1).
котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия,
Рассмотрим силы притяжения между молекулами. Они бывают
ориентационные, индукционные и дисперсионные.
Ориентационные силы притяжения возникают между полярны-
O, NH3) центры тяжести положительных и отрица-
2
+ =
Рис. 3.1
или
Ориентационные силы убывают с расстоянием по закону
F
ориен
1
(
7
r
– расстояние между молекулами).
r
Индукционные силы притяжения возникают между полярными
молекулами и неполярными молекулами. У неполярной молекулы центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают. Под
действием сил притяжения со стороны полярной молекулы отрицательные и положительные заряды неполярной молекулы смещаются в
55
противоположные стороны, и неполярная молекула превращается в
полярную (рис. 3.2).
+=
Рис. 3.2
Индукционные силы также убывают с расстоянием по закону
инд
1
.
7
r
F
Дисперсионные силы притяжения возникают между неполярны-
ми молекулами. В результате движения электронов по орбитам неполярная молекула на короткое мгновение становится полярной и взаимодействует с соседней молекулой, также превращая ее в полярную
(рис. 3.3).
+=
Рис
. 3.3
Дисперсионные силы также убывают с расстоянием по закону
F
дисп
1
7
r
.
Силы отталкивания действуют между молекулами на очень малых
расстояниях, когда взаимодействуют электронные оболочки соседних
атомов. Сила отталкивания обратно пропорциональна расстоянию
между атомами в 13 степени:
F
оттал
1
.
13
r
Результирующая сила межмолекулярного взаимодействия:
FF F
прит оттал
56
713
rr
, (3.1)
где силы притяжения берутся со знаком «–», а силы отталкивания со
F
F
F
р
F
знаком «+»,
и
– постоянные, учитывающие тип межмолекулярного
взаимодействия. Зависимости сил притяжения, отталкивания и результирующей силы от расстояния между атомами показаны на рис. 3.4.
На расстояниях, равных 2–3 диаметрам молекулы, между молекулами действуют силы притяжения, при увеличении расстояния между
молекулами сила притяжения уменьшается. На расстояниях, сравнимых с размерами молекул, начинают играть роль силы
отталкивания, а
при увеличении расстояния между молекулами силы отталкивания
убывают быстрее, чем силы притяжения.
rr
При
, приближенно равном диаметру молекулы, силы притя-
0
жения уравновешивают силы отталкивания, и результирующая сила
равна 0. Эта точка – положение равновесия. При расстояниях
rr
0
между молекулами действуют силы притяжения, при расстояниях
rr
между молекулами действуют силы отталкивания.
0
Потенциальную энергию взаимодействия молекул можно вычис-
лить, проинтегрировав (3.1):
Ur F dr
()
рез
αβ
612
rr
. (3.2)
Потенциальная энергия, описываемая выражения (3.2), называется
потенциалом Ленарда–Джонса, её график показан на рис. 3.5.
U
ез
от
r
0
пр
Рис. 3.4 Рис. 3.5
r
U
0
57
r
0
r
Проанализируем потенциальную энергию взаимодействия молекул.
r потенциальная энергия
При
друг от друга молекулы не взаимодействуют между собой. При
потенциальная энергия принимает минимальное значение
кулы находятся в состоянии устойчивого равновесия, и чтобы их разъединить, необходимо приложить энергию
стояния между молекулами
рать силы отталкивания.
По величине
состоянии находится вещество. Если
в газообразном состоянии, молекулы легко могут удалиться друг от
друга, так как для этого необходима совсем небольшая энергия.
Наоборот, если
молекулы не могут удалиться друг от друга на большое расстояние и
колеблются около положения равновесия. Если
находится в жидком состоянии, молекулы не удаляются друг от друга
на расстояние, большее
Необходимо отметить, что одно и то же вещество в зависимости от
температуры может находиться в различных агрегатных состояниях.
U
можно условно определить, в каком агрегатном
0
UkT
0
3.2. УЧЕТ ОБЪЕМА МОЛЕКУЛ
rr
существенную роль начинают иг-
0
, то вещество находится в твердом состоянии,
r
.
0
0U
. Действительно, удаленные
U
. При уменьшении рас-
0
UkT
0
, то вещество находится
UkT
0
, то вещество
U
0
rr
, моле-
0
При выводе уравнения Клапейрона–Менделеева мы считали, что
молекулы – это материальные точки, которые не имеют объема. В реальных газах реальные молекулы имеют конечный объем, поэтому
необходимо вводить соответствующие поправки.
V
Пусть в кубическом сосуде объемом
диаметром
лекулы, уменьшится (рис. 3.6), поскольку уменьшится сторона куба, в
котором может двигаться молекула:
Если в сосуд поместить вторую молекулу, то еще появится недоступный дополнительный объем вокруг первой молекулы, в который
не может проникнуть центр второй молекулы (рис. 3.7):
2dr . Тогда объем сосуда, доступный для движения мо-
33
. (3.3)
33
2VVr Vd
58
находится одна молекула,
3
4
3
N
23
3
. (3.4)
π
4
3
. (3.5)
π
3
Для
N молекул
VVd d
3
VVd d
3
r
Размер сосуда все-таки много больше размера молекулы
поэтому (3.5) можно переписать:
Таким образом, поправка на объем, занимаемый молекулами, равна
учетверенному объему всех молекул:
Уравнение, учитывающее объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия, называется
ного моля газа оно имеет вид
r
r
r
Рис. 3.6 Рис. 3.7
VV Nd V Nr V NV
3.3. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА
216
33
ππ4
33
4bNV
мол
уравнением Ван-дер-Ваальса. Для од-
r
. (3.7)
r
r
d
r
мол
3
. (3.6)
Vd
,
a
PVbRT
()
2
V
m
m
59
, (3.8)
V
R
Р
где
мое
– молярный объем; слагае-
m
a
описывает увеличение
2
V
m
давления газа за счет сил межмоле-
b
кулярного взаимодействия;
Р
кр
правка на объем, занимаемый моле-
– по-
кулами. Изотермы Ван-дер-Ваальса
Т
кр
содержат характерные максимумы и
минимумы и показаны на рис. 3.8.
При высоких температурах они пре-
0
V
кр
Рис. 3.8
V
вращаются в изотермы идеального
газа.
При некоторой температуре,
называемой
критической, макси-
мумы и минимумы на изотерме превращаются в точку перегиба, и при
температурах выше критической реальный газ ведет себя как идеальный. Критическую температуру можно найти, приравняв первую производную зависимости давления от объема к нулю:
P
V
m
2
PV
0
,
0
.
2
Выразим давление из (3.8)
P
Vb
m
(3.9)
2
V
m
Ta
и приравняем к нулю производную по молярному объему
PRTa
V
m
()
Vb V
mm
2
23
0
. (3.10)
Найдем температуру из (3.10):
2
2( )
T
aV b
m
3
RV
m
60
. (3.11)
V
:
m
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]