Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика, молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие
.pdf
В точке перегиба вторая производная должна быть равна 0:
R
2
PRTa
VV
mm
26
234
Vb
m
. (3.12)
0
Подставим (3.11) в (3.12):
2
PR a a a
2334 34
VVbRV VVbVV
mm m mmmm
2646
() ()
2( )
aV b
23( )0
2
m
VVb
mm
VbV
m
3
. (3.13)
кр
,
0
,
Выражение (3.13) определяет значение критического объема при
критической температуре. Тогда после подстановки (3.13) в (3.11) получим критическую температуру:
2( )
T
aV b
кр
RV R b R b
2
m
333
m
2(3 ) 24 8
abb b a
22
(3 ) 27
. (3.14)
27
b
Критическое давление можно получить, подставив (3.14) и (3.13) в
(3.9):
RT
кр
P
кр
Vb
кр
aa
22
Vb
кр
. (3.15)
27
3.4. ИЗОТЕРМЫ РЕАЛЬНОГО ГАЗА
Изотермы Ван-дер-Ваальса имеют участок BD (рис. 3.9), на котором рост давления сопровождается увеличением объема. Практика показывает, что в природе такого не происходит никогда, и изотермы
реальных газов имеют горизонтальный участок
Участок изотермы справа от точки
А соответствует газообразному
состоянию вещества, участок изотермы слева от точки
состоянию вещества. На горизонтальном участке изотермы
AC.
С – жидкому
АС наблю-
дается двухфазное состояние: равновесие жидкой и газообразной фаз
вещества. Вещество в газообразном состоянии при температуре ниже
61
критической называется
P
жидкостью, называется
паром. Пар, находящийся в равновесии с
насыщенным паром. Участки AB и CD могут
быть реализованы при некоторых условиях. Это неустойчивые метастабильные состояния, называемые переохлажденным паром (
перегретой жидкостью (
CD).
AB) и
Если через крайние точки горизонтальных участков изотерм провести кривые, то получим колоколообразную кривую, ограничивающую
область двухфазного состояния вещества (рис. 3.10).
Рис. 3.9 Рис. 3.10
Жидкость
К
ЖП
Рис. 3.11
Пар
Газ
V
Колоколообразная кривая делит диаграмму на три части: под колоколообразной кривой находится двухфазное состояние вещества, слева
от нее – жидкое состояние и справа – газообразное (рис. 3.11).
62
4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
4.1. ОПЫТНЫЕ ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
УРАВНЕНИЕ КЛАПЕЙРОНА–МЕНДЕЛЕЕВА
Задача
2 кПаP
его объем стал
1. Азот массой
и температуре
600 лV
2
. Найти: 1) объем газа до расширения
1
2) температуру газа после расширения
Дано:
, 2)
2
3
3
,
?T
2
10 г 10 кгm
μ 28 10 кг/моль,
2 кПа 210 Па,P
300 КT
1
600 л 0,6 мV
2
1)
?V
1
1) Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для начального состояния газа
,
Откуда
3
10 гm
находится под давлением
300 КT
. Газ нагрели изобарно так, что
T
.
2
m
PV RT
RT
m
V
1
1
μ
P
8,31 3
11
10 8,31 300
28 10 2 10
.
μ
2
33
3
0, 45 м
.
28 2
2) Чтобы найти температуру газа после изобарного нагревания
P , запишем еще раз уравнение Клапейрона–Менделеева для
(const)
конечного состояния газа:
PV RT
m
22
,
μ
V
;
1
откуда
3
210 0,6
2
10
28 10
3
404 КT
2
63
8,31
.
404 К
.
Ответ: 1)
PV
T
2
2
m
R
μ
0, 45 мV
1
3
; 2)
Задача 2. В закрытом сосуде емкостью
10 гm
род массой
1
вой смеси, если температура
и гелий массой
350 КT
30 лV
находится кисло-
5 гm
2
. Найти давление газо-
.
Дано:
2
10 г 10 кгm
,
1
μ 32 10 кг/моль
,
1
5 г 510 кгm ,
2
μ 410 кг/моль
2
350 КT
1
30 л 310 мV
3
3
3
,
23
Давление смеси газов по закону Дальтона
(1.14) равно сумме парциальных давлений
газов
Парциальное давление – это давление, ко-
,
торое создавал бы газ, если бы он был в
сосуде один. Его можно найти из уравнения Клапейрона–Менделеева, записанного
для каждого газа в отдельности:
?P
m
RT
1
P
1
μ 32
V
1
Аналогично для второго газа:
m
RT
2
P
2
μ 4
V
2
Давление смеси газов
10 8,31 350
2
310
5 8,31 350
2
310
PP P
.
12
m
PV RT
1
30,3 10 Па
121, 2 10 Па
1
μ
1
3
3
,
.
.
(30,3 121, 2)10 151,5 10 ПаPP P .
3
.
Ответ:
12
151,5 10 ПаP
Задача 3. В закрытом сосуде находится газ массой
давлением
ление стало
4 МПаP
1
2
. Сколько газа выпустили из сосуда, если дав-
2,5 МПаP
. Считать, что температура газа не измени-
33
2 кгm
1
под
лась.
64
Дано:
R
R
1
1
2
2 кгm
,
4 МПа P
,
2,5 МПаP
?m
Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для
начального и конечного состояний газа:
m
PV RT
1
1
μ
Поделим первое уравнение на второе:
m
1
T
PV
1
PV
2
μ
m
2
,
T
Pm
11
Pm
22
μ
откуда можно выразить конечную массу газа
P
2,5
2
mm
21
21,25 кг.
P
4
1
Масса газа, выпущенная из сосуда,
PV RT
,
m
2
2
.
μ
,
2,5 1, 25 1,25 кгmm m
.
Ответ:
21
1, 2 5 кг.m
4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
И БОЛЬЦМАНА
Задача
тичную
4. Вычислить наиболее вероятную
2
v и среднюю арифметическую
находящегося при температуре
Дано:
300 КT
,
3
μ 29 10 кг/моль
вер
2
?v
,
?v ,
Наиболее вероятная скорость молекул вычисляется по (1.7):
v
вер
?v
v
300 КT
.
228,31300
RT
65
v
, среднюю квадра-
вер
скорости молекул воздуха,
29 10
3
414,6 м/с
.
Средняя арифметическая скорость вычисляется по (1.31):
N
N
f
N
f
N
8
RT
vv
1,13 1,13 414,6 468,5 м/с
вер
.
Средняя квадратичная скорость вычисляется по (1.33):
3
2
vv
RT
1, 22 1, 22 414,6 505,8 м/с
вер
.
Ответ:
вер
414,6 м/сv
,
468,5 м/сv
2
,
505,8 м/сv
.
Задача 5. Вычислить относительное количество молекул азота
скорости которых лежат в пределах от
,
при температуре
Дано:
300 КT ,
3
μ 28 10 кг/моль
v
вер
N
?
вер
0,01 м/сv
,
300 КT
.
Относительное количество молекул, скорости которых лежат в пределах от
vdv
,
, определяется выражением (1.23):
где ()
v – функция распределения Макс-
dN
v
вер
()
VdV
до
0, 01 м/сv
вер
,
велла.
Значение функции распределения при наиболее вероятной скоро-
сти определяется выражением (1.29):
m
1
()4
fv e
вер
0
.
2
kT
Тогда относительное количество молекул, скорости которых лежат
в пределах от
до vdv:
v
v
до
dN
4
edv
NkT
m
1
66
0
2
.
Вычислим массу молекулы азота:
N
P
ghR
ghR
3
μ 28 10
m
0
N
6, 02 10
A
23
Тогда
dN
N
44,6510
2,72
23,141,3810 300
4,65 10 кг
26
23
26
.
0,01 1,97 10
5
.
Ответ:
dN
1, 97 10
5
.
Задача 6. На какой высоте h давление воздуха составляет 80 % от
давления над уровнем моря? Считать, что температура по всей высоте
постоянна и равна
Дано:
10 Ct
3
μ 29 10 кг/моль
,
P
P
0
0,8
?h
Отношение
но найти неизвестную высоту
h
10 Ct
.
Давление
нием над уровнем моря
P
на высоте hсвязано с давле-
распределением
0
Больцмана (1.44)
μ
PPe
,
P
P
0
P
известно, поэтому, прологарифмировав (4.1), мож-
P
0
h
:
Pgh
ln
PRT
RT P
ln ln0,8 1846 м
μ
gP
8,31(10 273)
29 10 9,8
0
μ
0
3
,
T
0
μ
T
e
. (4.1)
.
Ответ:
1846 мh
.
67
4.3. ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
а
ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ, ВНУТРЕННЯЯ
ЭНЕРГИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Задача
7. Кислород находится при температуре
400 КT
. Вычис-
лить: 1) среднюю кинетическую энергию поступательного движения
молекулы кислорода
щательного движения молекулы кислорода
ние полной кинетической энергии молекулы
энергию поступательного движения
содержащихся в
10 гm
Дано:
400 КT
,
3
?
?W
2
?
,
10 г 10 кгm
μ 32 10 кг/моль
1)
пост
2)
вращ
3)
4)
?
пост
; 2) среднюю кинетическую энергию вра-
пост
; 3) среднее значе-
вращ
; 4) кинетическую
W
всех молекул кислорода,
пост
.
Кислород – двухатомный газ, облад
щий тремя поступательными и двумя вращательными степенями свободы. На каждую степень свободы, согласно закону равномерного распределения по степеням сво-
kT
боды (2.1), приходится энергия
.
2
ю-
1) На три поступательных степени свободы приходится энергия
33
пост
kT
22
1,38 10 400 8, 28 10 Дж
23 21
.
2) На две вращательных степени свободы приходится энергия
23 21
вращ
1, 38 10 400 5,52 10 ДжkT
.
3) Среднее значение полной кинетической энергии молекулы
вращ пост
21 21
(8,28 5,52)10 13,8 10 Дж
68
3
kT kT
2
.
4) Кинетическая энергия поступательного движения
A
A
а
W
пост
всех
молекул кислорода – произведение средней энергии поступательного
движения одной молекулы
на количество молекул N.
пост
WN
пост пост
. (4.2)
Количество молекул можно посчитать, умножив количество мо-
лей
m
на число Авогадро
N
:
μ
m
NN
.
μ
После подстановки этого выражения в (4.2) получим
WN
пост пост
Ответ: 1)
3)
m
μ 32
пост
13,8 10 Дж
8,28 10 6, 02 10 1,56 кДж
A
21
8,28 10 Дж
21
; 4)
10
21 23
; 2)
вращ
1, 5 6 кДжW
пост
21
5,52 10 Дж
.
Задача 8. Найти внутреннюю энергию водорода, находящегося в
сосуде объемом
Дано:
3 л 310 мV
50 кПа 510 ПаP
3
μ 410 кг/моль
?U
3 лV
33
,
4
под давлением
Водород – двухатомный газ, облад
щий пятью степенями свободы. Внутренняя энергия идеального газа вычис-
,
ляется по формуле (2.2):
где
5i
50 кПаP
URT
mi
.
, (4.3)
μ 2
– число степеней свободы.
.
;
ю-
Температуру газа можно найти из уравнения Клапейрона–
Менделеева:
PV RT
m
,
μ
69
T
μ PV
mR
.
Подставим температуру и число степеней свободы в формулу для
P
внутренней энергии (4.3):
5 μ 55
UR PV
mPV
2 μ 22
mR
34
310 510 375 Дж
.
Ответ: 375 ДжU .
4.4. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
Задача
ном объеме
Дано:
μ 40 10 кг/моль
c
V
9. Вычислить удельную теплоемкость аргона при постоян-
?
c
,
c
и при постоянном давлении
V
Удельная теплоемкость
3
?
P
теплоемкостью
c
.
c
связана с молярной
C
соотношением (2.10)
m
μ
Cc
m
.
Молярные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном
давлении зависят от числа степеней свободы газа (2.13) и (2.17):
CR
V
i
,
CR
2
P
2
i
.
2
Аргон – одноатомный газ, у которого только три поступательные
степени свободы
3i
. Тогда молярная теплоемкость при постоянном
объеме
3
CR
V
,
2
а молярная теплоемкость при постоянном давлении
5
CR
P
.
2
Соответственно удельная теплоемкость при постоянном объеме
C
c
V
R
338,31 Дж кг
V
μ 2μК
24010
70
3
311, 6
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]