Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика, молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие
.pdf
2
E
f
vm
,
dv dE
0
1
, (1.36)
2
Em
0
и подставим в (1.23) и (1.24)
2
3/2
dN
() 4
vdv V e dv
NkT
2
E
m
0
3/2
m
4().
0
kT m
2
E
212
0
n
m
0
2
kT kT
ekTEedE
m
0
2
2
Em
0
а
mv
0
2
kT
2
3/2
n
E
(1.37)
r
r
v
б в
Рис. 1.12
вер
Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теп-
лового движения имеет вид
E
fE kT Ee
() ( )
2
3/2
kT
. (1.38)
21
Вычислим среднюю энергию идеального газа
E
E
Ef E dE E kT Ee dE
() ( )
00
23
kT E e dE kT
() .
2
3/2 3/2
0
3/2
E
kT
E
kT
(1.39)
2
Очевидно, что мы получили результат, выведенный ранее: средняя
kT
кинетическая энергия молекулы составляет 3/2
2
mv
3
kT.
22
1.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ПО СКОРОСТЯМ
И АТМОСФЕРЫ ПЛАНЕТ
Молекулы газов, находящихся в атмосфере Земли, движутся с различными скоростями. Причем есть молекулы, согласно распределению
Максвелла, скорость которых превышает первую космическую ско-
рость
v
, и они движутся вокруг Земли по круговым либо эллиптиче-
1
ским орбитам (рис. 1.13). Есть молекулы, скорость которых превышает
v
вторую космическую скорость
, и они покидают атмосферу Земли, а
2
также существуют молекулы, движущиеся с третьей космической ско-
v
ростью
, способные покинуть пределы Солнечной системы. Наша за-
3
дача – оценить долю молекул, способных покинуть атмосферу Земли.
Между молекулой и Землей действует сила гравитационного притяжения
GmM
где
– масса молекулы; M– масса Земли; r – расстояние от молеку-
m
лы до Земли;
Fr ,
6,6720 10 Нм /кгG
11 2 2
2
– гравитационная постоянная.
Чтобы молекула могла улететь за пределы Земли, ее кинетическая
энергия должна равняться работе гравитационных сил, затраченной на
удаление тела от Земли в бесконечность:
22
2
М
R
R
M
R
mv
2
– радиус Земли. Тогда вторая космическая скорость для Земли
где
2
Gm
2
r
R
dr
GmМ
,
2
vG
2
26,6710 1,1210 м/с
11 4
Наиболее вероятная скорость при
2
v
вер
kT
m
5,98 10
6,37 10
3,94 10
24
6
273 КT
2
м/с.
.
Отношение второй космической скорости к наиболее вероятной
для Земли
v
1,1 2 1 0
2
v
v
3
Рис. 1.13 Рис. 1.14
v
2
v
1
вер
3, 94 10
4
2
.
28
()fv
1
2
v
v
вер
Аналогичное отношение для Луны:
2, 4 10
3
.
6
2
v
v
2
вер
3,94 10
На рис. 1.14 показана зависимость функции распределения от от-
ношения
v
. Очевидно, что максимум функции распределения нахо-
v
вер
23
v
дится при
v
вер
. Из рис. 1.14 также видно, что доля молекул, спо-
1
собных покинуть Землю, ничтожно мала. Доля молекул, способных
покинуть атмосферу Луны, также мала, но значительно больше, чем
для Земли. Поэтому с течением времени все молекулы воздуха покинули Луну, и у Луны нет атмосферы.
1.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Хаотическое движение молекул газа приводит к тому, что они полностью занимают весь объем сосуда, равномерно распределяясь в нем.
Если посчитать в некоторый момент времени количество молекул в
единице объема, находящейся в произвольном месте сосуда, и сравнить с количеством молекул в единице объема, расположенном в другом месте сосуда, то
эти числа будут примерно одинаковые. Однако
если поместить сосуд с газом в некоторое поле сил, например в поле
тяжести Земли, картина распределения молекул в сосуде изменится.
Рассмотрим газ, находящийся в поле тяжести Земли. Если бы не
было теплового движения молекул, то они все бы упали на Землю под
действием силы
тяжести. Если бы не было силы тяжести, то все молекулы разлетелись по всему мировому пространству, и у Земли не было
бы атмосферы. Таким образом, атмосфера Земли – результат действия
теплового движения молекул и сил гравитации, причем молекулы в
атмосфере распределены по вполне определенному закону.
P
Вычислим давление
ет вертикальный столб газа высотой
, которое созда-
h
(рис. 1.15):
ρ
Рис. 1.15
mg ghS
Pgh
SS
где
ного сечения;
– масса газа; S– площадь попереч-
m
ρ
– плотность газа.
С повышением высоты
газа уменьшается на
dP gdh . (1.40)
24
dP
ρ
:
,
ρ
dh
давление
Выразим плотность газа
R
R
g
g
R
ghR
ghR
A
A
R
ρ
из уравнения Клапейрона–Менделеева:
m
PV RT
,
μ
ρ
11
m
PRTRT
μμ
V
μ
P
. (1.41)
ρ
,
T
Подставим (1.41) в (1.40)
μP
dP gdh
T
и разделим переменные
μdP
. (1.42)
dh
PRT
Если считать, что температура не зависит от высоты, то уравнение
(1.42) можно проинтегрировать:
μdP
PRT
,
ln ln const
dh
const
Pe
. (1.43)
μ
P
μ
T
gh
T
,
Постоянная в уравнении (1.43) берется из известного давления
при
0h
:
P
0
μ
Учтем, что
PPe
. (1.44)
mN
и
0
kN
0
T
, где
m
– масса молекулы; k – по-
0
стоянная Больцмана, тогда (1.44) можно переписать в виде
mgh
0
PPe
. (1.45)
Выражения (1.44) и (1.45) называются
с их помощью можно рассчитать давление в зависимости от высоты или
kT
0
барометрической формулой,
25
по известному давлению вычислить высоту. График зависимости дав-
P
P
P
ления от высоты при двух температурах показан на рис. 1.16.
0
0
лением
TT
21
T
T
1
Рис. 1.16
2
Больцмана. Концентрация молекул газа уменьшается с ростом
Если учесть, что концентрация молекул
связана с давлением основным уравнением
молекулярно-кинетической теории
то можно получить формулу зависимости
концентрации от высоты
mgh
0
nne
h
. (1.46)
kT
0
Выражение (1.46) учитывает влияние поля тяжести Земли и его называют
распреде-
nkT
высоты как экспоненциальная функция.
2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ
n
,
В классической модели идеального одноатомного газа молекулы
рассматриваются как материальные точки. В многоатомных молекулах
молекула состоит из 2, 3 или нескольких материальных точек, соединенных между собой жесткой связью (жесткими невесомыми стержнями). Энергия молекулы определяется ее кинетическими энергиями
поступательного движения вдоль взаимно перпендикулярных осей и
кинетическими энергиями вращательного движения вокруг взаимно
перпендикулярных
осей.
Число степеней свободы – количество независимых переменных,
полностью определяющих положение системы в пространстве. В табл. 2.1
показаны модели одно-, двух- и трехатомных молекул с соответствующими степенями свободы.
Молекула одноатомного газа может двигаться вдоль трех взаимно
перпендикулярных осей, поэтому она обладает
26
тремя поступатель-
ными степенями свободы. Вращательные степени свободы для нее
отсутствуют, поскольку момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через нее, равен 0.
Таблица 2.1
Степени
свободы
Модель
Поступательные
степени свободы
Вращательные
степени свободы
Общее число
степеней свободы
Одноатомный газ Двухатомный газ Трехатомный газ
3 3 3
0 2 3
3 5 6
Молекула двухатомного газа – это две материальные точки, со-
единенные между собой жесткой связью (два шарика на тонком невесомом стержне). Она обладает
тремя поступательными степенями
свободы и двумя вращательными (момент инерции молекулы отно-
сительно оси, проходящей через ее жесткую связь, равен 0).
Молекула трехатомного газа – это три материальные точки, со-
единенные между собой жесткими связями. Она обладает
ступательными
степенями свободы и тремя вращательными во-
тремя по-
круг трех взаимно перпендикулярных осей.
Необходимо отметить, что в реальных молекулах жесткая связь
между атомами отсутствует, и в них необходимо дополнительно рассматривать колебательные степени свободы.
В разделе 1.4 мы получили выражение для средней кинетической
энергии одноатомного газа
2
mv
3
.
kT
22
27
В одноатомном газе три степени свободы, следовательно, на каж-
A
kT
дую степень свободы приходится энергия
.
2
Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы
: на каждую поступательную и вращательную степень свободы при-
kT
ходится энергия
, а на каждую колебательную степень свободы
2
kT
приходится энергия
. Средняя энергия одной молекулы
i
, (2.1)
kT
2
где
пост вращ колеб
2ii i i
– число степеней свободы молекулы.
Чтобы вычислить энергию всех молекул
где
UE N NkT RT
m
– количество молей газа.
mmimi
AA
μμ2 μ 2
, (2.2)
μ
Выражение (2.2) определяет
внутреннюю энергию идеального га-
за. Внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой. Внутренняя энергия газа не зависит от способа перехода в
состояние с данной температурой. Такие величины называются
циями
состояния.
функ-
2.2. РАБОТА ГАЗА
Рассмотрим газ, находящийся в сосуде под поршнем (рис. 2.1).
При расширении газ передвинул поршень на расстояние
d и со-
вершил элементарную работу
P
– давление газа; S– площадь поршня; dV– изменение объема
где
газа при расширении. Обозначение
δAFd PSd PdV
, (2.3)
δ
показывает, что элементарная
работа зависит от способа перехода газа из одного состояния в другое,
т. е. работа не является функцией состояния.
28
Чтобы найти полную работу
A
A
P
P
A
A
нии от объема
V
до объема
1
, совершаемую газом при расшире-
V
, необходимо проинтегрировать выра-
2
жение (2.3):
V
2
V
1
. (2.4)
PdV
Рассмотрим геометрический смысл работы. Изобразим некоторый
переход газа из состояния 1 в состояние 2 в осях давление – объем
(на
V диаграмме), рис.2.2.
d
Рис. 2.1 Рис. 2.2
δA
V
1
dV
V
2
Площадь заштрихованного прямоугольника – это элементарная ра-
δ
бота
, таким образом, площадь под всей кривой – это работа, совершаемая газом. Если газ расширяется, то работа положительная, если газ сжимается, то работа отрицательная.
Наиболее просто с точки зрения
геометрии вычисляется работа для
изобарного процесса
constP
P
.
1
P
2
Процесс изобарного расширения от
объема
V
до объема
1
V
показан на
2
()PV V
21
рис. 2.3.
Площадь под кривой – это работа газа
()
SPV V
21
.
V
1
V
Рис. 2.3
V
2
29
2.3. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
A
A
Внутреннюю энергию системы можно изменить двумя путями: совершая работу либо передавая тепло. Если вдвигать поршень в сосуд с
газом (рис. 2.1), то меняется давление и объем газа, следовательно, меняется и температура. Температуру газа можно изменить также за счет
теплообмена с более горячим или более холодным телом, т. е., сооб-
или отбирая тепло у газа. Во всех этих случаях должен выпол-
щая
няться закон сохранения энергии, который в термодинамике носит
название
затем он получил некоторое тепло
них сил
ну сохранения энергии
первого начала термодинамики.
Пусть газ в некотором состоянии обладал внутренней энергией
Q , совершил работу против внеш-
и перешел в состояние с внутренней энергией
UU U
:
21
U
. По зако-
2
U
1
,
UQA
QUA
, (2.5)
. (2.6)
Выражение (2.6) является математическим выражением первого
начала термодинамики: тепло, подведенное к системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы против внешних
сил. В выражении (2.6) тепло берется со знаком «+», если оно подводится к системе, и со знаком «–», если оно отбирается у системы. Работа считается положительной, когда
система совершает ее против
внешних сил.
Для бесконечно малых изменений состояний системы первое начало термодинамики имеет вид
δδ
QdU A
где символы бесконечно малых элементарных работ
, (2.7)
δ
и тепла δQ
подчеркивают, что и тепло, и работа зависят от способа перехода системы из одного состояния в другое.
Если система возвращается в исходное состояние, то изменение ее
0U
внутренней энергии
и QA, т. е. невозможен двигатель, кото-
рый бы совершал большую работу, чем сообщенная ему извне энергия.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]