Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-исследовательских задач в строительстве. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.04.01 «Строительств.pdf
10
1.4 Примеры решения задач линейного программирования
Исходные
Расход ресурсов на 1 тонну готовой
Запас
Шоколад
Конфеты
Сахар 1 1
4 Какао 5 2
10
Прибыль
5 3
Рассмотрим несколько задач, которые можно сформулировать как задачи
линейного программирования. Их решение производится с помощью формул
1.1-1.12.
Пример 1.1 (Построение оптимального плана производства)
Кондитерская фабрика производит продукцию двух видов: конфеты и
шоколад. Для производства продукции каждого вида требуются ресурсы
двух типов: сахар и какао-бобы. Для производства одной тонны продукции
каждого вида требуется по одной тонне сахара. Для производства одной
тонны шоколада требуется 5 тонн какао, а для производства одной тонны
конфет – 2 тонны какао. Суточные запасы ресурсов равны 4 и 10 тонн
соответственно. Прибыль от реализации одной тонны шоколада и конфет
составляет 5 и 3 тысячи рублей соответственно. Написать математическую
модель для нахождения оптимального (т. е. максимизирующего прибыль)
суточного плана производства.
Основные данные задачи можно представить в виде таблицы (таблица
1.1).
Таблица 1.1 – Представление данных задачи в виде таблицы
ресурсы
продукции
ресурса
Определим основные составляющие задачи линейного
программирования.
Переменные:
x1 – суточный объем производства шоколада,
x2 – суточный объем производства конфет.
11
Мука
Кукуруза
Соевая
Белок
0,09
0,6
Клетчатка
0,02
0,06
Стоимость (в долл. за фунт)
0,3
0,9
Целевая функция: общая прибыль от реализации суточного плана x = (x1,
x2) определяется линейной функцией z = 5x
1
+ 3x
.
2
Ограничения: содержательно ограничения на запас ресурсов можно
записать следующим образом
Расход
ресурса
Запас
ресурса
используя данные таблицы, получаем линейные ограничения
• на расход сахара
• на расход какао-бобов
• на знак переменных
5
+ 2
0,
+
4;
10;
0
Окончательно задача принимает вид:
max z = max(5x
+ 3x
1
)
2
при выполнении ограничений
+ x
≤ 4;
2
≤ 10; x
2
≥ 0, x
1
2
≥ 0.
5x
+ 2x
1
x
1
Пример 1.2 (Формирование смеси минимальной стоимости)
Фармацевтическая фабрика ежедневно производит не менее 800 фунтов
пищевой добавки – смеси кукурузной и соевой муки, состав которой
представлен в таблице 1.2 (в фунтах на фунт муки).
Таблица 1.2 – Данные для решения задачи о формировании минимальной
стоимости
Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30 % белка
и не более 5 % клетчатки. Фирма хочет определить рецептуру смеси
12
минимальной стоимости с учетом требований диетологов.
Переменные:
x
– количество кукурузной муки, используемой в дневном производстве
1
пищевой добавки;
x
– количество соевой муки, используемой в дневном производстве
2
пищевой добавки.
Целевая функция: требуется минимизировать общую стоимость
произведенной пищевой добавки, которая может быть вычислена с
помощью линейной функции
Ограничения:
z = 0,3x
+ 0,9x
1
.
2
на количество производимой смеси
x
+ x
1
≥ 800 ;
2
• на количество белка в пищевой добавке
0,09x
+ 0,6x
1
≥ 0,3 (x1 + x
2
;
)
2
• на количество клетчатки в пищевой добавке
0,02x
+ 0,06x
1
≤ 0,05 (x1 + x
2
;
)
2
• на знак переменных
x
≥ 0, x
1
≥ 0.
2
После переноса переменных в левую часть ограничений задача
примет вид:
при ограничениях
min z = min
x
+ x
1
0,21x
0,03x
≥ 0, x
x
1
0,3x1 + 0,9x
(
≥ 800;
2
- 0,3x2 ≤ 0;
1
- 0,01x
1
2
2
≥ 0.
≥ 0;
)
2
13
Пример 1.3 (Поиск оптимального плана производства) Автомобильная
компания производит легковые автомобили и грузовики. Каждое
транспортное средство должно обрабатываться в покрасочном и сборочном
цехах. Если бы в покрасочном цехе обрабатывались только грузовые
автомобили, то можно было бы покрасить 40 машин в день. Если бы
обрабатывались только легковые автомобили, то выпуск составил бы 60
единиц продукции. В сборочном цехе обрабатывается 50 транспортных
средств в день. Прибыль от производства одного легкового автомобиля и
грузовика составляет 200$ и 300$ соответственно. Определить оптимальный
ежедневный выпуск продукции, обеспечивающий максимальную прибыль
компании.
Переменные:
x
– количество грузовиков, производимых ежедневно;
1
x
– количество автомобилей, производимых ежедневно.
2
Ограничения:
• на время использования покрасочного цеха
1
40
1
+
1
60
где
– время (в днях), идущее на покраску одного грузовика;
– время (в днях), идущее на покраску одного автомобиля;
• на время использования сборочного цеха
x
+ x
1
• на знак переменных
≤ 50 ;
2
Целевая функция:
x
≥ 0, x
1
Суммарный доход компании определяется функцией
z = 300x
≥ 0.
2
+ 200x2 .
1
14
Окончательно имеем задачу
Тип кредита
Ставка кредита
Вероятность
безнадежных долгов
Нецелевые кредиты
0,14
0,1
На покупку автомобилей
0,13
0,07
На покупку жилья
0,12
0,03
Сельскохозяйственные
0,125
0,05
Коммерческие
0,1
0,02
max z = max
300x1 + 200x
(
)
2
при ограничениях
3x
+ 2x
1
x
+ x2 ≤ 50;
1
≥ 0, x
x
1
≤ 120;
2
≥ 0.
2
Замечание 1.1 Поскольку переменные задачи характеризуют план
выпуска транспортных средств, они могут принимать только целочисленные
значения, т.е. свойство делимости в данной задаче не выполняется. Однако
отмеченная проблема легко преодолима. Например, если в процессе решения
задачи получим оптимальный план ежедневного
2
, 3
это эквивалентно рекомендации произво
дить 10 грузовиков и 13
выпуска
(x
*
1
, x
*
=
)
2
легковых автомобилей за 4 дня.
Пример 1.4 (Определение кредитной политики банка)
Банк, предоставляющий полный набор банковских услуг, находится в
процессе формирования портфеля кредитов объемом 12 млн. дол. В таблице
представлены возможные типы банковских кредитов.
Таблица 1.3 – Возможные типы банковских кредитов
Конкурентная борьба с другими финансовыми институтами вынуждает
банк не менее 40 % капитала помещать в сельскохозяйственные и
коммерческие кредиты. Для содействия строительной индустрии банк
планирует вложить в кредиты на покупку жилья не менее 50 % от общей
15
суммы нецелевых кредитов, кредитов на покупку автомобилей и жилья.
≤ 0,04
Максимально возможная доля безнадежных долгов в кредитном портфеле
составляет 4 %.
Переменные:
x
– сумма нецелевых кредитов;
1
x
– сумма кредитов на покупку автомобилей;
2
x
– сумма кредитов на покупку жилья;
3
– сумма сельскохозяйственных кредитов;
x
4
x
– сумма коммерческих кредитов.
5
Целевая функция: банк максимизирует прибыль, т. е. разность между
доходом и ожидаемой суммой невозвращенных кредитов, которую можно
вычислить так:
z = 0,14 ∙ 0,9x
+ 0,1 ∙ 0,98x
+ 0,13 ∙ 0,93x2 + 0,12 ∙ 0,97x3 + 0,125 ∙ 0,95x4 +
1
- 0,1x1 - 0,07x2 - 0,03x3 - 0,05x4 - 0,02x5.
5
Ограничения:
• на общую сумму кредитов
x
+ x
+ x
+ x
+ x
1
2
3
4
≤ 12 ;
5
• на сельскохозяйственные и коммерческие кредиты
x
+ x5 ≤ 0,4(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) ;
4
• на покупку жилья
x
≥ 0,5 (x1 + x
3
2
+ x
;
)
3
• на невозвращенные кредиты
0,1x
+ 0,07x2 + 0,03x3 + 0,05x4 + 0,02x
1
x1 + x2 + x3 + x4 + x
5
5
• условия неотрицательности переменных
x
, x2, x3, x4, x5 ≥ 0 .
1
После приведения подобных членов в целевой функции и преобразования
ограничений, получаем задачу
max z = 0,026x
+ 0,0509x2 + 0,0864x
1
+ 0,06875x4 + 0,078x
3
5
16
при ограничениях
0,4x
0,5x
x
+ x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 12;
1
+ 0,4x2 + 0,4x3 - 0,6x4 - 0,6x5 ≥ 0;
1
+ 0,5x2 + 0,5x3 ≤ 0;
1
0,06x
x
+ 0,03x2 - 0,01x3 + 0,01x4 - 0,02x5 ≤ 0;
1
, x2, x3, x4 , x5 ≥ 0.
1
17
Тема 2 Транспортная задача (ТЗ)
Цель: научить распознавать основные проблемные ситуации, которые
могут быть решены в виде транспортной задачи.
Задачи:
• ввести понятие транспортной задачи;
• научить формализовывать проблемы, приводящие к ТЗ;
• проводить математическое решение ТЗ.
2.1. Основные понятия транспортной задачи
Транспортная задача – это математическая задача линейного
программирования специального вида о поиске оптимального распределения
однородных объектов с минимизацией затрат на перемещение.
Сущность задачи заключается в следующем:
− в нескольких пунктах сосредоточены разные количества продукты
(товара, материала и т.д.);
− в ряде других пунктов в этом продукте имеются разные потребности;
− найти наиболее экономическое решение задачи перевозки продукта из
пунктов сосредоточения в пункты потребления.
Решение задачи часто удается выполнить в матричной (табличной)
форме. Ход решения включает выполнение следующих операций:
1. Составление исходного плана (нахождение одного из возможныхбазисных решений), для чего применяются простые приемы
заполнения таблиц или приближенные методы решения.
2. Проверка полученного лана на оптимальность путем вычисления
специальных показателей, по которым можно судить, является ли
данное решение оптимальным;
3. Улучшение плана путем выполнения определенных правил, в
результате чего получается новое решение, более близкое к
оптимальному, которое также проверяется на оптимальность.
18
Многократно повторяя вторую и третью операции удается за конечное
число шагов (итераций) получить оптимальное решение.
Для построения начального плана применяется ряд методов:
диагональный (метод северо-западного угла), метод наименьших
(наибольших) значений, метод двойного предпочтения. Наиболее четкий
алгоритм имеет метод северо-западного угла, хотя и более трудоемок.
19
2.2 Решение транспортной задачи
В1
В2 В3 В
50
100
75
75
А1 100 4 3 5 6
А2 200 8 2 4 7
Существует несколько методов решения транспортной задачи. В данном
пособии будет подробно рассматриваться два из них:
- решение транспортной задачи методом потенциалов;
- решение транспортной задачи с использованием симплекс метода.
Решение задачи методом потенциалов происходит в несколько этапов:
1.
1. Определение опорного решения.
2.
2. Применение к найденному опорному решению самого метода
потенциалов.
3.
3. Проверка единственности решения.
Определение опорного плана, в свою очередь, можно выполнить
несколькими способами. Дальше будет рассмотрено два из них:
1. Метод северо-западного угла.
2. Метод минимальных стоимостей.
У нас есть некоторый груз, который находится на складах: склад 1,
склад 2, ..., склад - это пункты отправления. Этот груз нам необходимо
развести по магазинам: магазин 1, магазин 2, ..., магазин k - это пункты
назначения.
Нам выгоднее как можно эффективнее выполнить работу, т.е. найти
такой вариант перевозки, при котором затраты будут минимальными.
Рассмотрим пример решения транспортной задачи подробно.
Транспортная задача задается следующей таблицей
Таблица 2.1 – Пример построения таблицы-условия транспортной задачи
4