Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-исследовательских задач в строительстве. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.04.01 «Строительств.pdf
50
Тема 4 Применение вариационного исчисления
4.1 Общие сведения и основные понятия вариационного исчисления
Цель: научить студентов решать технические задачи с помощью методов
вариационного исчисления; познакомить с инженерными задачами, решить
которые можно с применением метода вариационного исчисления.
Задачи:
• познакомить студентов с основными понятиями вариационного
исчисления;
• ввести понятие вариационного исчисления;
• научить формулировать проблемы, приводящие к решению задач
методом вариационного исчисления;
• научить вести расчет методом вариационного исчисления.
Вариационное исчисление применяются, главным образом, для расчета
строительных конструкций и решение задач теплопроводности. Основано
оно на вариационном принципе решения систем дифференциальных
уравнений с заданными граничными условиями. Особенностью исчисления
является использование вместо понятия «прирост аргумента Δх» другого
понятия – «вариация функции Δу». Она обусловлена вероятностным
(виртуальным) характером функции у = f (x). При переходе от А в точку В
функция может изменяться разными путями. Разность значений величины (у)
при значении аргумента (х) и называется вариацией (δу).
у (а) = h
δу = у
1
(х) – у (х), при этом δх = 0.
1
у (в) = h
2
51
Рисунок 4.1 –
Пример графического изображения решения задачи с
применением вариационного исчисления
В свою очередь, вариация функции δу влияет на результат решения
дифференциального уравнения, в частности – нахождения функционала. Под
функционалом понимают определенный интеграл, числовые значения
которого зависит от функций, входящих в подинтегральное выражение.
Например, интеграл
=
F[x, y(x), y`(x)]dx
(4.1)
является функционалом, поскольку его числовое значение зависит от
функции у (х). Предметом вариационного исчисления является нахождение
такой функции у (х), при которой функционал приобретает стационарное
(минимальное или максимальное) значение.
При вариации функции δу возникает и вариация функционала δх,
которую называет первой вариацией функционала. В частности, первая
вариация вышеприведенного функционала (1) имеет вид
=
y +
y`dx
`
(4.2)
Условиям стационарности (экстремума) функционала является
равенство нулю его первой вариации, т. е. δχ = 0.
Функцию у (х) можно найти двумя способами:
52
1. решением дифференциальных уравнений, которые исходят из
условия δх = 0;
2. с помощью прямых методов вариационного исчисления, к
которым принадлежат методы Рэлея – Ритца, Бубнова –
Галеркина, колокаций.
При решении по первому способу используется интегрирование по
частям уравнения (4.2)
uv`dx =
`
граничные условия: у (а) = h
δy
|
= 0 и δy|
= 0.Учтем при этом такие, что δy`= d(δy). Тогда
uv
+
δy|
, у (в) = h2 и в этих точках вариаций нет, т. е.
1
u`vdx
, получим
δydx = 0 (4.3)
`
условия стационарности функционала (4.3) приобретает вид
=
F
y
d
dx`
(
F
)ydx = 0
y
x
Данный интеграл может быть равен нулю только при условии, что
`
= 0 (4.4)
Уравнение (4.4) носит название – дифференциальное уравнение Эйлера.
Его решение и есть та самая функция у (х), которая дает функционалу (4.1)
стационарное значение и называется экстремалью. Исходя из этого и можно
сформировать основной вариационный принцип решения
дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями: искомой
функцией дифференциального уравнения может быть та функция, которая
дает функционалу χ стационарное значение относительно вариации δy. На
этом принципе основан процесс решения дифференциальных уравнений
методом конечных элементов.
Для любого функционала, стационарное (постоянное) значение которого
53
является решением задачи, всегда существует соответствующее
∫
V
∫
S
дифференциальное уравнение. В то же время обратное утверждение неверно,
поскольку одному дифференциальному уравнению может соответствовать
бесконечное количество функционалов.
Представим функционал сложной вариационной задачи с одной
зависимой
Т=Т(х,у) и двумя независимыми (х и у) переменными:
=
(
)+
(
)
+
+
() (4.5)
здесь λ – некоторая известная постоянная величина (константа);
V – область, которую занимает тело;
S – граница области;
Tм, ϴ – функции координат х и у точки, размещенной соответственно на
границе S и за нею (в окружающей среде).
Исследование функционала (S) на стационарное значение показывает,
что функция, которая придает ему стационарные значения, должна
удовлетворять двум условиям
λ
λ(
Т
х
Т
+ q + α
х
+
Т
= 0 в области V (внутри тела); (4.6)
у
(
Тм θ)
)
= 0 на границе S. (4.7)
Дифференциальные уравнения (4.6) и граничные условия (4.7)
характеризуют распространение теплоты в двухмерных телах при граничных
условиях второго (α=0) или третьего (q=0) рода соответственно. При этом,
λ – соответствует коэффициенту теплопроводности;
q – тепловому потоку;
α – коэффициенту теплопередачи;
Tм – искомая температура на границе области;
ϴ – известная температура окружающей среды.
В одномерных задачах теплопроводности одна координата
вычеркивается и дифференциальное уравнение (4.6) приобретает вид
54
∫
V
∫
S
Т
λ
х
= 0,
а граничные условия переписываются следующим образом
Т
+ q + (Тм ) = 0
х
Эквивалентное вариационное формулирование одномерной задачи
теплопроводности связано с определением минимума функционала
=
(
)
+
+
Что касается граничных условий, то при вариационной формулировке
задачи граничные условия типа (4.7) выполняются автоматически для
() (4.8)
функции, которая придает стационарное значение функционалу χ
как
1
естественный вывод постановки вариационной задачи. Если на границе
заданы переменные неизвестной функции, то условия плана (4.7) называются
естественными граничными условиями. Если на границе заданы значения
искомой функции, то такие граничные условия называются главными.
В механике твердого деформированного тела под функционалом
понимают определенный интеграл, который выражает полную
потенциальную энергию тела (системы тел). Определенный интеграл можно
выразить через перемещения или напряжения, которые, в свою очередь
являются функциями одной, двух или трех переменных (в зависимости от
типа задачи).
Принцип потенциальной энергии, либо вариационный принцип
Лагранжа, записывается следующим образом:
χ = U – W (4.9)
где U – полная энергия деформации;
W – работа внешних сил
Вариационный принцип Лагранжа имеет следующую формулировку:
«Из множества допустимых кинематических допустимых систем
перемещений, которые отвечают заданным граничным условиям,
потенциальной энергии придают стандартные значения те перемещения,
55
которые отвечают условиям равновесия. В состоянии стойкого равновесия
функционал χ минимальный.
56
4.2 Пример решения задачи теплопроводности стержня
Пусть необходимо выяснить распределение температуры по длине
прямолинейного стержня круглого сечения, если задано: длина стержня L =
7,5 см, радиус r = 1см, площадь поперечного сечения F = см
теплопроводности λ
= 72
Вт
см
.
2
, коэффициент
На левом торце стержня поддерживается температура Т = 150 ; на
правом – задан конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей
температуру
ϴ = 40
, коэффициент теплоотдачи α = 10
Вт
см
.
Рисунок 4.2 – Прямолинейный стержень круглого сечения
Дифференциальное уравнение одномерной теплопроводности имеет вид
Т
= 0 (4.10)
с граничными условиями:
− на левом торце (х=0) Т = 150
− на правом торце (х=L)
= (T
)
= 0
В вариационной постановке решения уравнения (4.10) с указанными
57
граничными условиями при плотности теплового потока q = 0 эквивалентно
∫
V
∫
S
∫
V
∫
S
определению минимума функционала (10)
=
(
)dv +
(T)
ds (4.11)
Граничные условия естественные и поэтому выполняются
автоматически.
Область решения задачи 0 ≤ х ≤ L разбиваем на пять конечных
элементов l
, l2, l3, l4, l5 длинной l = 1,5 см каждый, нумеруем элементы и
1
узлы (в соответствии с рисунком 4.2). Номера элементов – в скобках на
рисунке 4.2.
Производная неизвестной функции Т = Т (х), которая входит в интеграл
(4.11) имеет первый порядок, поэтому аппроксимирующую функцию можно
принимать линейную.
В соответствии с условием непрерывности функционал (4.11) можно
изобразить в виде суммы элементов
где
()
=
=
()
(
+
)
dv
()
+
()
+
()
()
()
+
(T)ds
+
()
()
(4.12)
=
()
(4.13)
Индекс (l) означает, что интеграл (4.13) вычисляется для каждого
элемента.
Аппроксимируем функцию температуры T
в границах каждого
конечного элемента полиномом первой ступени относительно узловых
температур Т
, Т2, Т3…Т6.
1
= N
= N
()
T+ N
()
T+ N
()
()
T
T
…
Здесь функции формы N
()
, N
()
= N
()
T+ N
(i = 1, 2…, 5, j = i+1), они для конечных
()
T (4.14)
элементов одинаковой длины l имеют вид
N
()
=
; N
()
=
; (4.15)
58
Теперь можно вернуться к интегралу (4.14). Производную температуры
∫
V
∫
S
∫
V
∫
V
∫
V
∫
S
Т по координате х, которая входит в первый интеграл найдем путем
дифференцирования каждого ряда зависимостей (4.14). Учитывая
зависимость (4.16) получим
()
Т
Подставим производную
=
()
+
()
(= 1,2,3,4,5; = 1,2,3,4,5; = + 1) (4.16)
()
Т
в интеграл (4.13) и определим взнос
каждого конечного элемента, выраженный через температуры Т1, Т2, Т3…Т6.
()
()
(4.17)
.
()
=
λ
(
()
+
()
)dv +
α
(Tм θ)ds
Рассмотрим процедуру вычисления элементных взносов
Для первого элемента (= 1, = 1, = 2).
()
=
=
2
(T
()
(T
+ T
()
()
+ T
)=
()
)
dv
(T
()
()
=
+ T
2
()
()
(T
)
, = A/ (4.18)
+ T
()
)
dv =
В уравнении (4.18) учтено, что площадь поперечного сечения А
постоянна по длине, поэтому dv =
Интегралы
()
для второго, третьего и четвертого конечного элементов
= .
по форме записи будут аналогичными выражению (4.18) и отличаться только
значениями температуры в узлах конечного элемента. Поэтому для всех
конечных элементов от первого до четвертого выражения (4.18) можно
переписать так
=
()
2
При вычислении интеграла
(
()
+
()
)
(= 1,2,3,4; ; = 1,2,3,4; = + 1)
()
необходимо дополнительно учитывать
условия теплообмена на правом боку (конце) на характер распределения
температуры в стержне. Это влияние определяется другим интегралом и
выражение (4.18) будет иметь следующий вид:
()
=
2
(T
()
+ T
()
)
dv
()
+
(T
)ds
2
()
=
59
=
Суммирую интегралы
2
5
(T
5
()
в соответствии с выражением (4.12) получим
+ T
5
6
)2+
A
2
(T
функционал зависящий от узловых температур:
6
)
2
(4.19)
= (
, , , , ,
)
(4.20)
В свою очередь этот функционал является функцией координат х и
граничных условий на торцах стержня.
Следующий шаг – собственно решение вариационной задачи: значения
узловых температур необходимо дотянуть (отрегулировать) так, чтобы
функционал , заданным определенным интегралом (4.11) имел постоянное
(стационарное) значение.
Условие стационарности функционала имеет вид:
= 0 (= 1,2, … 6) (4.21)
Теперь, если подставить (20) в (21) и учесть (12), то получим:
()
)
(
= 0 (= 1,2, … 6)
(4.22)
=
Суммировать в уравнении (4.22) необходимо выполнять только для тех
элементов, которые содержат узел с номером Р, поскольку элементные
взносы в функционал всех остальных элементов равны нулю. Эта процедур
называется объединением по узлам, поскольку выполняется отдельно для
каждого узла стержня.
Для лучшего понимания приведем детальную расшифровку записи
уравнений (4.22)
= T
= T
= T
= T
= T
()
+ T
()
+ T
()
+ T
()
+ T
= T
()
()
()
()
()
+ T
()
+ T
+ T
+ T
+ T
()
+ T
()
(1
()
+ T
()
+ T
()
+ T
()
+ T
+ (T) = 0
)
= 0
()
()
()
()
(1
(1
(1
(1
)
)
)
)
= 0
= 0
= 0
= 0