Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-исследовательских задач в строительстве. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.04.01 «Строительств.pdf
30
2.6 Решение транспортной задачи методом разрешающих слагаемых
Б1 = 70
Б2 = 130
Б3 = 300
Б4 = 100
1 2 3
4
3 5 7
9
120
6 8 2
4
80 0
1
10 3 12
70
4 7 11
13
Неудовле-
Разность
Рассмотрим пример решения задачи. В таблице 2.26 – исходные
условия. В правом верхнем углу приведена стоимость перевозок.
Решение задачи начинается с просмотра оценок (стоимость перевозок) и
отбора из них минимальных по одному в каждом столбце. Отображенные
оценки заключим в квадратные рамки и клетки с квадратами заполним
поставками. Учитываем при этом мощность поставщика и величину
потребности. Например, спрос потребителя Б
поставщика 250; записываем величину поставок 70. Потребность Б
130 тыс. т., а завод А
Поставщик А
имеет минимальную стоимость перевозок к потребителю Б1, а
4
может поставить только 120, записываем 120.
1
равен 70, а мощность
1
требует
2
его спрос уже удовлетворен, поэтому в четвертой строке нет поставок.
Аналогично А
хватило (130-120) = 10 тыс. т, Б
и Б4. Спрос потребителя Б1 удовлетворен полностью, Б2 не
2
= (300-80) = 220 тыс. т., Б4 = 100 тыс. т.
3
Таблица 2.26 – Решение задачи методом разрешающих слагаемых
(исходный план)
Потребители и их спрос, тыс. т.
Избыток
Заводы –
продук-
поставщики
ции
А1 = 120
А2 = 80
А3 = 250
А4 = 150
творенная
потребность
издержек
-
-
+180
+150
- 10 220 100 330
- 7-5=2 3-2=1 12-4=8
31
Полученный составной план не оптимален, т. к. продукция заводов
полностью не распределена и спрос части потреблений не удовлетворен.
План необходимо улучшить. Для этого определяем «избыточных» и
«недостаточных» поставщиков. К «недостаточным» относим поставщиков А
1
и А2, связанных с неудовлетворенным спросом потребителей Б2, Б3 и Б4.
Поставщикам А
и А4 присваиваем наименование «избыточных».
3
Затем по каждому «недостаточному» поставщику проверяем: не
снабжает ли он какого-либо потребителя, связанного еще и с «избыточными»
поставщиками. В данном случае ни один из «недостаточных» поставщиков
А
и А2 не снабжает потребителей, связанных еще поставками из А3 и А4.
1
Следующий этап решения – определения разностей-издержек. Для
каждого потребителя, снабжаемого «недостаточным» поставщиком,
вычисляем разность между себестоимостью перевозки до него от
ближайшего (по цене) «избыточного» поставщика и недостаточного
поставщика. По первому столбцу Б
разность не определяем, поскольку
1
снабжение его идет от «избыточного» поставщика. По второму потребителю
Б
исчисляем разницу между 7 и 5, она составит 7-5=2. По Б3 разница 3-2=1, а
2
по Б
разность 12-4=8. Полученные разности записываем в последнюю
4
строку таблицы 2.26 и определяем наименьшую из них (min = 1).
Наименьшую разность прибавляем к показателям себестоимости
перевозок от «недостаточных» пунктов (поставщиков). В данном примере в
каждой клетке первой и второй строки (А
и А2) себестоимости увеличиваем
1
на 1. Новые значения себестоимости (4, 6, 8, 10, 7, 9, 3 и 5) будем называть
«условными себестоимостями» и запишем в новую таблицу 2.27. На этой
основе производим новое распределение поставок.
Снова заключаем в квадраты наименьшие значения себестоимости
перевозок в каждом столбце (таблица 2.27) и получим систему допустимых
связей. По измененной системе связей вносим коррективы в предыдущий
вариант плана (таблица 2.26). Добавим поставку из А
в Б3 180 тыс. т.
3
Таблица 2.27 – План с условными себестоимостями (1-я итерация)
32
Заводы –
Потребители и их спрос, тыс. т.
Избыток
Б1 = 70
Б2 = 130
Б3 = 300
Б4 = 100
1 2 3
4
4
6 8 10
120
5
7
9 3 4 -
80 0
1
10 3 12
70
4
7
11
13
Разность издержек
4-1=3
7-6=1
11-3=8
13-5=8
поставщики
продук-
ции
А1
-
А2
А3
А4
-
+150
Неудовлетворенная
- 10 40 100 150
потребность
В новом варианте плана неудовлетворительными потребителями
являются Б
, Б3 и Б4. С ними связаны поставщики А1, А2 и А3. Следовательно,
2
все они являются «недостаточными». Определяем разность издержек.
Минимальная разность будет в столбце Б
(1). Прибавляем эту (1) к
2
себестоимости перевозок ко всем «недостаточным» поставщикам. Затем
составляем уточненную систему квадратов и по ним распределяем перевозки,
т. е. составляем новый вариант плана (таблица 2.28).
Следует отметить, что в каждом следующем варианте плана сохраняется
распределение поставок, бывшее на предыдущей итерации. Лишь в столбце,
где появился новый квадрат изменяется величина неудовлетворенной
потребности. В таблице 2.28 новый квадрат появился у поставщика А
потребителя Б
. В эту клетку помещаем неудовлетворенную потребность Б2,
2
для
4
равную 10.
33
Таблица 2.28 – Вторая итерация
Потребители и их спрос, тыс. т.
Избыток
Б1 = 70
Б2 = 130
Б3 = 300
Б4 = 100
1 2 3
4
5 7 9
10 - 120
5
8
10 4 4 -
80
0
2
11 4 12
70 180
4 7 11
13
10
Неудовле-
Разность
Заводы –
поставщики
А1
А2
А3
А4
творенная
потребность
издержек
продук-
ции
-
+140
- - 40 100 140
4-2=2 7-7=0 9-4=5 11-6=5
Снова рассчитываем неудовлетворенную потребность и проводим
классификацию поставщиков и снова определяем разность издержек.
Минимальная разность находится в первом столбце Б
Прибавляем эту величину к себестоимости перевозок у поставщиков А
и равна (2).
1
и А3
2
и составляем таблицу третьей итерации (таблица 2.29). Новый квадрат
появился в столбце Б
, но у потребителя спрос полностью удовлетворен.
1
Тогда проводим перераспределение поставок, для чего строится ломаная
линия. Она проводится от абсолютно избыточного поставщика А
клетку, где появился новый квадратик (А
поставка до неудовлетворенного потребителя Б
) и где должна появиться
4Б1
(40 тыс. т.). Эта линия
3
через
4
может менять горизонтальное направления на вертикальное в любых клетках
с квадратиками (загруженных и незагруженных), а вертикальное на
горизонтальное – только в загруженных клетках. Для определения величины,
на которую следует произвести перераспределение строительством:
− избыток груза 4 поставщика А
=140 тыс. т.;
4
34
− размеры перевозок в клетках, где ломаная линия меняет
Потребители и их спрос, тыс. т.
Б1 = 70
Б2 = 130
Б3 = 300
Б4 = 100
5 7 9
11 - 120
5
10
12
6
8
80
4
13
6
15
70-40=
180+40=
4 7 11
13
Неудовле-
Разность
направление с вертикального на горизонтальное (А
− неудовлетворенный спрос потребителя Б
Таблица 2.29 – Третья итерация
Заводы –
поставщики
1 2 3 4
А1=120
А2=80
А3=250
30
220
=40.
3
=70);
3Б1
Избыток
продук-
ции
-
-
100
=150
А
4
творенная
40 10
- - - 100 100
потребность
- - 9-6=3 11-8=3
издержек
Из этих чисел выбирается наименьше (40) и проводится
перераспределение на эту величину – добавим в клетку А
40 тыс. т. После
3Б3
указанного перераспределения нераспределенный остаток уменьшился до
100 тыс. т. Снова проводим классификацию поставщиков и итерацию, в
результате перераспределений остаток ликвидируется (таблица 2.30).
После составления таблицы 2.30, проверяем план на оптимальность:
− число загруженных клеток должно быть (m+n-1), имеем (4+4-1)=7
и действительно загружены 7 клеток: А
А
, А4Б2;
4Б1
− невязки должны равняться нулю – все грузы распределены и спрос
полностью удовлетворен.
, А2Б3, А2Б4, А3Б3, А3Б3,
1Б2
35
Таблица 2.30 – Четвертая итерация (оптимальный план)
Потребители и их спрос, тыс. т.
Б1 = 70
Б2 = 130
Б3 = 300
Б4 = 100
1 2 3
4
5 7 9
11 - 50 70
5
13
15 9 11 -
50
30
7
16 9 16
250
4 7 11
13
70
80
Неудовле-
Заводы –
поставщики
Избыток
продукции
А1
А2
А3
А4
творенная
- - - - -
потребность
С каждым шагом перераспределений остаток уменьшался. В исходном
-
-
плане он был равен 330, в следующем 150, в третьем – 130, четвертом – 100 и
в 5 нулю.
Общая сумма затрат на перевозки, учитывая, что цены на перевозки
берутся из исходного плана, составит:
С
= C12 X12+ C14 X14+ C23 X23+ C24 X24+ C33 X33+ C41 X41+ C42 X42 =
0
=5∙50+9∙70+2∙80+2∙80+4∙30+3∙250+4∙70+7∙80=250+630+160+120+750+280+56
0= =2 750 000 руб.
Эта сумма намного меньше, чем в исходном плане, составленном по
методу северо-западного угла (3 700 000 руб.). Дополнительно план может
быть проверен на оптимальность методом потенциалов (см. книгу Е.Д.
Сырцова Математические методы в планировании и управлении
строительным производством. – М.: Высшая школа, 1972. – 336 с.).
Задача оптимального размещения строительной базы решается
подобным транспортной задаче методом. Основное условие – стоимость
перевозок должна быть минимальной.
Распределительная задача линейного программирования касается
36
распределения ресурсов (материалов, машин, трудовых ресурсов) таким
образом, чтобы при полном удовлетворении потребителей всех организаций
общая сумма расходов была бы минимальной. Ход решения также близок
ходу решения транспортной задачи.
37
Тема 3 Метод конечных элементов
Цель: научить распознавать основные проблемные ситуации, которые
могут быть решены с помощью метода конечных элементов; познакомить с
инженерными задачами, решить которые можно с применением метода
конечных элементов.
Задачи:
• ввести понятие метода конечных элементов;
• научить формализовывать проблемы, приводящие к решению задач
методом конечных элементов ЛП;
• научить вести расчет методом конечных элементов.
3.1 Основные понятия и определения метода конечных элементов.
Общая схема метода конечных элементов. Основные этапы решения
задач
Метод конечных элементов (МКЭ) – основной метод современной
вычислительной механики, лежащий в основе подавляющего
большинства со- временных программных комплексов, предназначенных
для выполнения расчетов инженерных конструкций на ЭВМ. МКЭ
используется для решения разнообразных задач как в области
прочностных расчетов, так и во многих других сферах: гидродинамике,
электромагнетизме, теплопроводности и др.
Метод конечных элементов позволяет практически полностью
автоматизировать расчет механических систем, хотя, как правило,
требует выполнения значительно большего числа вычислительных
операций по сравнению с классическими методами механики
деформируемого твердого тела. Современный уровень развития
вычислительной техники открывает широкие возможности для
внедрения МКЭ в инженерную практику. Поэтому знание основ метода
конечных элементов и современных программных средств,
38
позволяющих на его основе решать разнообразные задачи, в наше время
для инженера является абсолютно необходимым.
В МКЭ исследуемая конструкция мысленно разбивается на
отдельные части – конечные элементы, соединяющиеся между собой в
узлах. Совокупность соединенных между собой и прикрепленных к
основанию конечных элементов образует расчетную схему, называемую
конечноэлементной схемой
или конечноэлементной моделью.
Каждый отдельно конечный элемент должен быть достаточно
простым, чтобы имелась возможность легко определить перемещения и
напряжения в любой его части по заданным перемещениям узлов. Связь
между перемещениями узлов элемента и силами, действующими на них,
задается при помощи матрицы жесткости элемента. Количество
перемещений узлов элемента, которые однозначно определяют
положение данного элемента, называют числом степеней свободы
элемента.
Аналогично, для всей конечноэлементной схемы вводятся матрица
жесткости системы
, или глобальная матрица жесткости,
устанавливающая связь между перемещениями узлов системы и силами,
действующими на них, а также
число степеней свободы системы, или
глобальное число степеней свободы – количество координат узлов
системы, которые достаточно знать, чтобы однозначно определить
положение всей системы. Обычно, все степени свободы представляются
в виде вектора U, называемого
вектором узловых перемещений.
Матрица жесткости системы формируется из матриц жесткости
элементов. В программных комплексах, реализующих алгоритм метода
конечных элементов, эти матрицы для элементов различных типов
хранятся в готовом виде. Матрицы жесткости элементов могут
формироваться и храниться в памяти ЭВМ в своих локальных системах
осей координат. Матрица жесткости системы формируется в единой
системе координат, называемой глобальной системой осей координат.
39
Так как матрица жесткости системы устанавливает связь между
Область применения
U F
Механика деформируемого
твердого тела
Перемещение
Сила
Теплоперенос
Теплопроводность
Тепловой поток
Гидромеханика
Скорость
Поток
Электростатика
Электрический
потенциал
Плотность заряда
Магнитостатика
Магнитный
потенциал
Интенсивность
магнитного поля
силами, приложенными к ее узлам, и перемещениями ее узлов, то, имея
построенную матрицу жесткости системы и зная узловую нагрузку
можно найти перемещения всех узлов конечноэлементной схемы. Для
этого требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
вида
Здесь
F
– вектор внешних сил, а
M
KU = F
F
M
+
F
(3.1)
0
есть узловой вектор начальных
0
сил, который имеет место, например, при учете начальных
температурных напряжений.
Порядок этой системы равен глобальному числу степеней свободы
системы. По вычисленным таким образом перемещениям определяются
напряжения и деформации.
Физический смысл векторов U и
определяются областью
F
,
применения МКЭ в соответствии с таблицей 3.1.
Таблица 3.1 – Физический смысл векторов U и F в различных
конечноэлементных приложениях
Первая стадия – геометрическое моделирование включает создание
геометрии модели конструкции, пригодной для МКЭ, с учетом всех
параметров, которые могут оказать существенное влияние на
результаты расчетов. На этой стадии помимо ввода геометрических
параметров конструкции задаются физические свойства материалов, из
которых она изготовлена.