Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-исследовательских задач в строительстве. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.04.01 «Строительств.pdf
70
Эта система уравнений имеет ленточную структуру матрицы
коэффициентов при неизвестных и сохраняет симметрию относительно
основной диагонали. Для учета главных граничных условий матрицу
коэффициентов системы (4.49) необходимо откорректировать. Из рисунка 4.1
видно, что такими условиями являются
Т
=100, Т2=50, Т3=0, Т10=0, Т11=50, Т12=100.
1
Коррекция матрицы выполняется следующим образом. В уравнениях,
составленных для узлов с известными температурами (в примере это узлы 1,
2, 3, 10, 11, 12) заменяют диагональные элементы соответствующих рядов на
единицу, а оставшиеся элементы приравнивают к нулю. В свободные члены
соответствующих уравнений вносятся заданные значения температуры.
Тогда преобразованная система уравнений (4.49) приобретает вид
100
=
100
50
50
0
0
0
0
(4.50)
0
0
0
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,5 0 0 2 1 0 0,5 0 0 0 0 0
0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0,5 0 1 2 0 0 0,5 0 0 0
0 0 0 0,5 0 0 2 1 0 0,5 0 0
0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0,5 0 1 2 0 0 0,5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
или в общей форме
[]{}={}
, (4.51)
где [K] – глобальная матрица теплопроводности;
{T} – вектор неизвестных температур;
{R} – вектор правой части.
Решением системы уравнений (27) являются
T
=100, T2=50, T3=0, T4=60, T5=50, T6=40, T7=40, T8=50, T9=60, T10=0,
1
T
=50, T12=100.
11
71
Тема 5 Интерполяция и экстраполяция
5.1 Постановка задачи про приближение функций
Цель: изучить методы аппроксимации функций при решении задач
техники и строительства, рассмотреть наиболее распространённые методы
интерполяции.
Задачи:
• научиться находить значения таблично заданной функции в тех
точках внутри данного интервала, где она не задана;
• приобрести навыки построения интерполяционного полинома и
применение его для вычисления значений интерполируемой функции;
• научиться решать задачи строительства при помощи интерполяции и
экстраполяции
В инженерной практике связь между зависимыми величинами часто
устанавливают экспериментально. В этом случае значение функции
(зависимой величины) в зависимости от значений аргумента (независимой
величины) подают в виде таблицы для конечного набора значений аргумента.
Иногда бывает целесообразно искомую функцию f(x), заданную таблично,
заменить некоторой аналитической функцией F(x), которая была бы в
некоторой мере близкой к f(x) и вместе с этим вычислялась достаточно легко.
Аналитическую функцию F(x), которая заменяет исходную функцию
f(x), называют аппроксимирующей. Она, как правило, заранее неизвестна, но
с помощью специальных методов приближения функций ее можно
построить. Построенная аналитическая функция F(x) даёт возможность при
этом выслять значения f(x) в точках x, отличных от значений аргумента,
зафиксимрованных в таблице, дифференцировать и интегрирровать функцию
f(x), а также выполнять над ней другие математические операции.
К аппроксимирующей функции F(x) могут предъявляться различные
требования, которые определяют её вид и выделяют из бесконечного
72
множества различных функций. Напрактиче чаще всего используют
следующие виду аппроксимирующих функций.
1. Алгебраические полиномы степени n
()=
+ + + +
. (5.1)
Полиномы имеют очевидные преимущества – они простые, их легко
вычислять, складывать, отнимать, умножать, удобно дифференцировать,
интегрировать и т.д.
2. Тригонометрические ряды вида
F
()
=
+
( + )
(5.2)
Аппроксимация тригонометрическим рядом особенно удобно тогда,
когда аппроксимируемая функция f(x) периодическая.
3. Дробно-рациональные функции
. (5.3)
(
)
=
Этот вид функций часто используют для аппроксимации результатов
исследований, полученных статистическим путем.
Параметры a={a
, a1, a2, …, an} и b={b0, b1, b2, …, bn} в уравнениях (5.1)-
0
(5.3) подбирают одним из стандартных методов аппроксимации в
зависимости от условий, которые влияют на поведение аппроксимирующей
функции.
На практике решение задач строительства для аппроксимации фкнкций
чаще всего используются методы интерполяции и наименьших квадратов.
73
5.2 Интерполяция
Задача интерполяции состоит в том, чтобы построить некоторую
аналитическую функцию F(x), которая совпадает со значениями таблично
заданной функции f(x) в конечном количестве табличных значений
аргумента:
)
(
= (
где n+1 – количество таблично заданных значений функции y
)
(= 0, 1, 2, … , )
=
в точках xi.
i
Рассмотрим задачу интерполяции для функции одной переменной.
Пусть на отрезке [a, b] задана функция y=f(x) её n+1 значениями y
y
=f(x1), …, yn=f(xn) в точках x0, x1, x2, …, xn. Нужно найти такое
1
аналитическое выражение F(x), чтобы в точках x
F(x
)=y0, F(x1)=y1, …, F(xn)=yn.
0
, x1, x2, …, xn
0
=f(x0),
0
Геометрически задача интерполяции для функции одной переменной
означает, что необходимо найти некоторую кривую F(x), которая бы
проходила через систему точек с координатами (x
, yi) (i=0, 1, 2, …, n). Из
i
рисунка 1 видно, что в такой постановке сформулированна задача может
иметь бесконечное множество решений, то есть через заданную систему
точек можно проложить бесконечное множество кривых F(x), которые
удовлетворяют требованию
(
)
= (
)
=
.
Известно, что для функции f(x), заданной n+1 значениями, можно
построить единый интерполяционный полином F
степень которого не выше n, причем F
Полином F
интерполяционным, точки х
(x), удовлетворяющий этим требованиям, называется
n
, х1, …, xn – узлами интерполяции, а
0
) = y0, Fn(x1)=y1, …, Fn(xn)=yn.
n(x0
(x) = a0+a1x+a2x2+…+anxn,
n
интерполяция с помощью алгебраических полиномов – параболической
интерполяцией.
74
Рисунок 5.1 – Пример построения интерполяционных функций для f(x)
Геометрический смысл параболической интерполяции состоит в том,
что график функции y=f(x) (рисунок 5.2) заменяют графиком полинома
= () = () степени n, причем эти 2 графика имеют n+1 общую
точку. Следовательно, интерполяционный полином – это приблизительное
аналитическое выражение данной функции; он используется потом для
вычисления значений функции, которых нет в таблице, а также для операций
дифференцирования, интегрирования и т.д.
Рисунок 5.2 – Параболическая интерполяция функции f(x) полиномом
степени n
75
5.3 Линейная интерполяция
Наиболее простой интерполяцией является линейная. В этом случае для
функции f(x), заданной в точках f(x
полином записывается в виде линейной функции F
Неизвестные коэффициенты а
0
)=y0 и f(x1)=y1, интерполяционный
0
(x)=a0+a1x.
1
и а1 полинома F1(x) определяются при
решении системы уравнений
= +
= +
, (5.4)
,
составленной с допущением, что значения исходной функции f(x) равны
значениям аппроксимирующей функции F
(x) в узлах интерполяции.
1
Решая систему (4) и подставляя найденные коэффициенты а
выражение для F
(x), получаем такое приближенное выражение для функции
1
f(x)
()
()
=
. (5.5)
+
и а1 в
0
Линейные функции от х в выражении (5) часто называют функциями
формы или интерполяционными функциями. Функции формы обозначают
()
, где i – номер узла, для которого её записывают; n – порядок
интерполяционного полинома.
В выражение (5) входят такие функции
формы:
()
=
;
()
=
.
Выражение (5.5) можно записать в матричном виде
()
+
где
[]
= [
{y}={y
()
()
()
}T – вектор-столбец.
0y1
] – матрица-ряд;
Как видно из выражения (5) функция
()
[]{}
=
()
= 1 в узле с номером 0 и
, (5.6)
()
= 0 в узле с номером 1. Аналогично функция
()
1 и
= 0 в узле с номером 0. Эти значения характерны для функций
()
= 1 в узле с номером
формы. Они равняются единице в одном определенном узле и нулю во всех
76
остальных узлах.
В общем виде
()
= 0 для i-го узла и
()
= 1 для i-го узла и
()
= 1 для j-го узла.
()
= 0 для j-го узла, и наоборот
77
5.4 Квадратичная интерполяция
При квадратичной интерполяции исходную функцию f(x) заменяют
параболой, которая проходит через три точки с координатами (х
(х
, у2). В этом случае интерполяционный полином записывают в виде
2
. (5.7)
Коэффициенты а
()
, а1, а2 полинома F2(x) определяют, решая систему
0
=
+ +
, у0), (х1, у1),
0
линейных уравнений третьего порядка:
= + +
= + +
= + +
,
, (5.8)
.
Эта система составлена при условии, что значения исходной функции
f(x) равняются значениям аппроксимирующей функции F
(x) в узлах
2
интерполяции.
По аналогии с линейной интерполяцией приблизительное выражение
функции f(x) при квадратичной интерполяции можно записать через функции
формы:
где
[]
=
{y} = {
()
()
y0, y1, y2}T – вектор-столбец:
()
()
()
– матрица-ряд;
()
=
()
=
()
=
Интерполяционные функции
()
=
+
()(
(
()(
(
()(
(
)(
)(
)(
()
+
)
=
)
)
=
)
)
=
)
()
(i=0, 1, 2) в выражении (5.9) дают
()
[]{}
=
1 =
0
1 =
0
1 =
0
, (5.9)
,
;
,
(5.10)
;
,
.
возможность вычислить значение функции f(x) в промежуточных точках
, для чего в функции формы вместо x подставляют значение и
вычисляют соответствующее значение ().
78
5.5 Интерполяционная формула Лагранжа
Рассмотрим построение интерполяционной формулы в самом общем
виде, когда интерполированная функция f(x) задана её значениями в n+1 узле
интерполяции: f(x
)=yi (i=0, 1, 2, …, n). В качестве интерполяционной
i
функции возьмем полином степени n:
= + +
= + +
+ +
+ +
,
, (5.11)
… … … … … … … … … … … … … … … … …
= + +
+ +
Решим систему (5.11) относительно коэффициентов a
.
(i=0, 1, 2, …, n) и
i
подставим их в выражение (5.10), вследствие чего получим
интерполяционный полином степени n, который по аналогии с линейной и
квадратичной интерполяциями можно изобразить в виде
где
=
()
+
()
()
(= 0, 1, 2, … , ) – функции формы, которые равняются единице в
()
+
()
+ +
()
, (5.12)
узлах интерполяции и нулю в остальных узлах.
()
1 =
=
0
,
.
Рисунок 5.3 – Пример построения интерполяционного полинома Лагранжа
79
Легко установить, что функции формы, которые удовлетворяют этим
условиям, будут иметь вид
()
()
=
=
(
(
(
(
)(
)(
)(
)(
)
…(
)
…(
)
…(
)
…(
)
)
;
)
;
)
… … … … … … … … … … … … … …
()
=
(
(
)(
)(
)
…(
)
…(
)
.
)
Полином Fn(x) степени n, интерполирующий функцию f(x),
записысанный в виде
()
()
=
(
(
)(
)(
)…(
)…(
)
)
+
(
(
)(
)(
)…(
)…(
)
+
)
+ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … + (5.13)
(
+
(
)(
)(
)
…(
)
…(
)
=
)
()
+
()
+ +
()
[]{}
=
,
называется интерполяционным полиномом Лагранжа. Он даёт возможность
найти аппроксимирующие функции F
(x) при любых . Так, при k=1 или
k
k=2 получаются соответственно формулы линейной или квадратичной
интерполяции.
Следует отметить, что функция f(x) может быть аппроксимирована на
всем интервале, где она определена через одну единственную функцию F(x),
например квадратичную или кубическую, записанную на этом интервале.
Она может быть также аппроксимирована разными функциями в разных
частях интервала, на котором она определена. На рисунке 4 показана,
например, аппроксимация функции f(x) на интервале [x
линейных функций, а на интервале [x
, x6] – системой квадратичных
2
, x2] системой
0
функций.