Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-исследовательских задач в строительстве. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.04.01 «Строительств.pdf
60
В матричной форме эта система имеет вид
(4.23)
(4.25)
=
Или в более общей записи
Матрицу коэффициентов
матрицей теплопроводности, вектор-столбец
[]{}={}
[]
в уравнении (3 называют глобальной
(4.24)
{}
– глобальным вектором
нагрузки.
Следующим шагом в решении задачи является коррекция матрицы
вектора
{}
для учета главных граничных условий, т. е.
=150 при х = 0.
[]
и
Заменим буквенные обозначения на числовые значения: А = ;
С = λА/l = = 75/1,5 = 48; α=10 Вт/(см ), ϴ = 40
. Матрица системы
уравнений получает вид:
=
61
Множитель сокращен, поскольку он входит в обе части равенства.
Решение системы дает искомые значения температур
, , , , , , :
Т
}
{Т
={150,0; 138,78; 127,55; 116,33; 105,10; 93,878}.
62
4.3 Пример решения задачи теплопроводности пластины
Рассмотрим двумерную задачу теплопроводности для прямоугольной
пластины единичной толщины.
Рисунок 4.3 – Прямоугольная пластина единичной толщины, через которую
проходит тепловой поток
На левом торце пластины температура изменяется по закону T(y)=100-
25y, а на правом торце Т(у)=25у. Верхний и нижний торцы пластины
идеально теплоизолированы (
= 0).
Распределение температур в пластине, если нет внутренних источников
теплоты, можно найти, решая дифференциальное уравнение
+
= 0 (4.26)
c граничными условиями первого рода на части контура
()= 100 25 = 0, 0 < < , (4.27)
()= 25 = , 0 < < .
и граничными условиями второго рода на остатке контура
= 0 = 0, 0 < < , (4.28)
63
= 0 = , 0 < < .
Решение Т (х, у) в уравнении (1) с граничными условиями (4.27) и (4.28)
совпадает с функцией, которая придаёт функционалу стационарное значение
=
+
. (4.29)
Здесь и далее условное принято, что коэффициент теплопроводности
λ=1.
Область решений задачи разбивается на 12 треугольных конечных
элементов – e
, e2, …, e12. Номера элементов на рисунке 4.4 обведены
1
кружками.
Рисунок 4.4 – Разбивка пластины на 12 равновеликих конечных элементов
Функционал χ можно изобразить в виде суммы функционалов
отдельных конечных элементов
=
()
+
()
+ +
()
=
()
.
(4.30)
()
64
Аналогично (4) функционал
записать так
()
для конечного элемента можно
()
=
+
Аппроксимируем функцию температуры T
()
. (4.31)
(l)
в границах каждого
конечного элемента полиномом относительно узловых температур:
()
T
Функции формы
=
()
()
,
+
()
,
()
+
()
для конечного элемента, площадь
()
. (4.32)
которого А, определяются соотношением
()
()
=
(+ + )
=
(+ +
=
()
=
=
=
()
)
=
=
,
,
;
,
,
(4.33)
;
()
=
(+ + )
=
()
=
=
,
,
.
Производные, входящие в функционал (4.31), можно получить,
продифференцировав полином (4.32) с учетом формул (4.33)
()
()
=
=
()
()
+
+
()
()
()
+
+
()
=
()
=
+ +
+ +
()
()
.
После подстановки (4.34) в выражение функционала (4.31) для
конечного элемента получается следующее выражение
()
)
. (4.35)
()
=
+ + + (+ +
Этот функционал является функцией узловых температур T
; (4.34)
, Tj, Tk
i
элемента l.
Учитывая, что подынтегральное выражение не зависит от координат х и
у, а =
=
, уравнение (4.35) можно переписать так
65
()
Номер элемента
1 1 0 0 4 2 0 2 0 2 -2 2 0
-2 0 2
2 5 2 2 2 0 2 4 2 0 2
-2 0 2 0 -2 3 2 0 2 5 2 2 3 0 4
-2 2 0
-2 0 2
)
. (4.36)
()
=
+ + + (+ +
Выражение такого вида можно получить для каждого конечного элемента.
()
Просуммировав элементы
по формуле (4.30), можно превратить в
функцию всех температур Т
, Т2, …, Т12, то есть
1
= (
, , …,
)
. (4.36)
Необходимые условия минимума функционала (4.36) будут выполнены,
если
=
()
= 0
(
= 1, 2, … ,12
)
.
(4.37)
Эти условия в развернутом виде являются системой решаемых
уравнений относительно узловых температур Т1, Т2,…, Т12 пластины.
Как и в предыдущей задаче, суммирование в (4.37) выполняется только
для тех элементов, которые содержат узел с номером р. С учетом этого,
выражение (4.35) после дифференцирования по температуре Т
приобретает
р
вид
()
=
+ + + + +
()
. (4.38)
Где номера узлов p, q, r содержатся в множестве узлов i, j, k конечного
элемента e. Из рисунка 4.4 видно, что площади А всех элементов одинаковые
и равняются 2 см
2
.
Таблица 4.1 – Геометрические параметры каждого конечного элемента
i
k
-y
-y
j
Номер узла i
x
i
i
y
Номер узла j
j
x
j
y
Номер узла k
k
x
y
=y
k
i
β
-y
k
=y
=y
j
β
β
j
j
-x
i
k
=x
k
i
γ
k
-x
i
=x
j
γ
i
-x
j
=x
k
γ
66
Продолжение таблицы 4.1
4 6 2 4 3 0 4 5 2 2 2
-2 0 2 0 -2
5 4 2 0 7 4 0 5 2 2 -2 2 0
-2 0 2
6 8 4 2 5 2 2 7 4 0 2
-2 0 2 0 -2 7 5 2 2 8 4 2 6 2 4
-2 2 0
-2 0 2
8 9 4 4 6 2 4 8 4 2 2
-2 0 2 0 -2
9 7 4 0 10 6 0 8 4 2 -2 2 0
-2 0 2
10
11 6 2 8 4 2 10 6 0 2 -2 0 2 0 -2
11 8 4 2 11 6 2 9 4 4 -2 2 0
-2 0 2
12
12 6 4 9 4 4 11 6 2 2 -2 0 2 0 -2
Формирование системы уравнений (4.37) для определения узловых
температур в пластине рассматривается ниже. Элементные вложения
()
в
системе (4.37) определяются по формуле (4.38), записанной для каждого
конечного элемента, содержащего узел с номером р.
Для удобства вычислений все геометрические параметры каждого
конечного элемента сведены в таблице 1. В ней также даны номера конечных
элементов l, номера и координаты узлов i, j, k каждого конечного элемента, а
также параметры β
, βj, βk, γi, γj, γk, вычисленные по формулам (4.33).
i
Для лучшего понимания процедуры формирования системы уравнений
(4.37), следует детально рассмотреть процедуру составления первых трех
уравнений.
Первое уравнение системы (4.37) можно вывести, если просуммировать
()
производные
по температуре Т1 в узле 1 (р=1). Из рисунка 1 видно, что
узел 1 принадлежит только элементу 1, поэтому внесение в (4.37) дает только
функционал χ
(l)
, то есть
()
=
= 0. (4.39)
Внесения остальных элементов в (4.37) равны нулю. Беря во внимание,
что при р=1 во множестве узлов элемента 1 содержатся узлы с номерами 4 и
67
2, уравнения (4.39) с учетом (4.38) для первого конечного элемента
приобретает вид
Параметры β
[
=
(
+ +
, β2, β4, γ1, γ2, γ4 для этого конечного элемента взяты из
1
)
+
(
+ +
()
)]
= 0. (4.40)
таблицы 1. После подстановки их в уравнение (4.40) его можно переписать
так
Беря во внимание, что площадь элемента А=2 см
[
=
2(2+ 2+ 0
)
2(2
+ 0+ 2
2
, и объединив в 4.41
()
)]
= 0. (4.41)
подобные члены, уравнение (4.41) можно записать следующим образом
0,50,5
= 0. (4.42)
Чтобы вывести второе уравнение, необходимо, согласно (4.37),
()
просуммировать производные
по температуре Т2 в узле 2 (р=2). Из
рисунка 2 видно, что узел 2 принадлежит конечным элементам 1, 2 и 3,
поэтому, вычисляя производную условия (4.37), следует учитывать
элементные внесения
()
()
,
()
,
. В результате получается следующее
выражение
()
=
+
()
+
()
= 0. (4.43)
Учитывая, что при р=2 во множестве узлов q и r конечных элементов 1,
2 и 3 для элемента 1 содержатся узлы 1 и 4, для элемента 2 – узлы 4 и 5, а для
элемента 3 – узлы 3 и 5. Уравнение (4.43) с учетом формулы (4.38) будет
иметь вид
()
)]
+
()
)]
)]
= 0.(4.44)
+
()
=
Параметры β
+
[
+
(
[
(
[
+ +
(
+ +
+ +
, β2, β3, β4, β5, γ1, γ2, γ3, γ4, γ5 также берутся из таблицы 1.
1
)
+
)
+
)
+
(
(
+ +
+ +
(
+ +
После подстановки их в (4.44) и объединения подобных членов получается
второе уравнение системы
0,5
+ 20,5
= 0. (4.45)
68
Третье уравнение получается после суммирования в выражении (4.37)
Запись уравнения в
(p=1, 2, …, 12)
Номера элементов,
узел р
()
()
()
()
()
производные
по температуре Т3 в узле 3 (р=3). Этот узел принадлежит
элементам 3 и 4, поэтому вклад в выражение (4.37) дадут только эти
конечные элементы. В результате получается
()
=
+
()
= 0. (4.46)
При р=3 во множестве узлов q и r для элемента 3 содержатся узлы 2 и 5,
а для элемента 4 – узлы 5 и 6. Учитывая формулу (4.38), уравнение (4.46)
записывается в виде
=
Параметры β
[
(
[
+
+ +
(
+ +
, β3, β5, β6, γ2, γ3, γ5, γ6 берем из таблицы 1 по номеру
2
)
+
)
+
(
+ +
(
+ +
()
)]
+
= 0. (4.47)
()
)]
элемента. Подставив их в (4.37) и объединив подобные члены, можно
получить следующее уравнение
0,5
+ 80,5
= 0. (4.48)
Аналогично составляется остаток уравнений. Эти уравнения приведены
в таблице 4.2 без детализации процедуры их формирования.
Таблица 4.2 – Система решаемых уравнений относительно узловых
температур пластины
= 0
1
2
Запись уравнения через элементные внесения
(p=1, 2, …, 12)
Номер уравнения
форме (13)
= 0
= 0
1
1, 2, 3
которые содержат
= 0
+
+
= 0
()
69
3
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
= 0
3, 4
+
= 0
4
5
6
7
8
9
= 0
= 0
= 0
= 0 5, 6, 9
= 0
= 0
1, 2, 5
2, 3, 4, 5,
6, 7
4, 7, 8
6, 7, 8, 9,
10, 11
8, 11, 12
+
+
+
+
+
+
= 0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= 0
= 0
= 0
+
= 0
+
= 0
=
10
11
12
= 0
= 0
= 0
9, 10
10, 11,
12
12
+
+
+
= 0
Система уравнений в матричной форме изображается следующим
образом
1 0,5 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0
0,5 2 0,5 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0,5 1 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0
0,5 0 0 2 1 0 0,5 0 0 0 0 0
0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0,5 0 1 2 0 0 0,5 0 0 0
0 0 0 0,5 0 0 2 1 0 0,5 0 0
0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0,5 0 1 2 0 0 0,5
0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 1 0,5 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,5 2 0,5
0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0,5 1
= 0
= 0
=
0
0
0
0
0
0
(4.49)
0
0
0
0
0
0