Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-исследовательских задач в строительстве. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.04.01 «Строительств.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ»
А.Я. Найманов, Г.С. Турчина, А.О. Шацков
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ
В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
учебно-методическое пособие
Макеевка 2020
2
УДК 51-74:69
ББК 38.6В6
Н20
Рекомендовано к изданию советом факультета
инженерных и экологических систем в строительстве
Государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры»
29.01.2020 г., протокол №5
Рецензенты:
Н.Г. Насонкина, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры городского
строительства и хозяйства Государственного образовательного учреждения высшего
профессионального образования «Донбасская национальная академия строительства и
архитектуры»;
А.В. Лукьянов, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой
теплотехники, теплогазоснабжения и вентиляции Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Донбасская национальная академия строительства и
архитектуры»;
Н 20 Найманов, А.Я. Методы решения научно-исследовательских задач в строительстве :
учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 08.04.01 «Строительство»
магистерские программы «Техническая эксплуатация объектов жилищно-коммунального
хозяйства», «Повышение эффективности теплогазоснабжения и вентиляции»/ А.Я. Найманов, Г.С.
Турчина, А.О. Шацков. – Макеевка: ГОУ ВПО «ДОННАСА», 2020. – 84 с.
Учебно-методическое пособие содержит необходимый методический материал для
выполнения практических работ по решению научно-исследовательских и инженерных задач с
помощью методов математического моделирования различных процессов и физических объектов.
Приведены основные теоретические сведения, индивидуальные задания и примеры выполнения
работ.
Учебно-методическое пособие ориентировано на подготовку высококвалифицированных
специалистов уровня «магистр», владеющих современными вычислительными методами и
позволяющих решать наиболее распространенные научно-исследовательские и инженерные
задачи. Пособие позволяет овладеть базовыми знаниями решения инженерных задач с помощью
методов линейного программирования, конечных элементов, вариационного исчисления, а также
расчета транспортной задачи для применения в научных исследованиях и практической
деятельности.
УДК 51-74:69
ББК 38.6В6
© А.Я. Найманов, Г.С. Турчина, А.О.
Шацков, 2020
© ГОУ ВПО «ДОННАСА, 2020
2
Содержание
Введение
3
1. Введение в линейное программирование
4
1.1 Правила построения математической модели. Примеры задач
4
1.2. Задача линейного программирования.
6
1.3. Геометрическая структура множества допустимых решений
8
1.4. Примеры решения задач линейного программирования
10
2. Транспортная задача
17
2.1. Основные понятия транспортной задачи
17
2.2. Решение транспортной задачи
19
2.3. Методы определения первоначального плана транспортной
23
2.4. Метод минимальных стоимостей получения опорного плана
26
2.5. Проверка правильности вычисления первоначального плана
28
2.6. Пример решения транспортной задачи
30
3. Метод конечных элементов
37
3.1. Основные понятия и определения метода конечных
37
3.2. Атрибуты конечных элементов и построение сетки
42
3.3. Типовая схема реализации метода конечных элементов
45
3.4. Одномерный линейный конечный элемент
48
4. Применение вариационного исчисления
50
4.1. Общие сведения и основные понятия вариационного исчисления
50
4.2. Пример решения задачи теплопроводности стержня
56
4.3. Пример решения задачи теплопроводности пластины
62
Тема 5. Интерполяция и экстраполяция
71
5.1. Постановка задачи про приближение функций
71
5.2. Интерполяция
73
5.3. Линейная интерполяция
75
5.4. Квадратичная интерполяция
77
5.5. Интерполяционная формула Лагранжа
78
Литература
83
линейного программирования.
задачи линейного программирования.
задачи
элементов. Общая схема метода конечных элементов. Основные
этапы решения задач
3
Введение
Создание новой техники и технологий является двигателем технического
прогресса. Этот прогресс невозможен без проведения научных исследований и
умения проводить оценку полученных результатов, создания математической
модели исследуемого объекта. Современный инженер должен обладать
необходимым базисом знаний для решения научно-исследовательских задач
различного характера. Это позволит ему всегда быть готовым к проведению новых
разработок и внедрению их в производство.
С этой целью были разработаны данное учебно-методическое пособие, в нем содержится краткий курс описания возможного применения различных математических методов, необходимых для решения инженерных задач.
4
Тема 1 Введение в линейное программирование (ЛП)
Цель: научить распознавать основные проблемные ситуации, которые могут
быть формализованы в виде задачи линейного программирования, познакомить с
геометрическим методом нахождения оптимально- го решения и анализом
оптимального решения на чувствительность.
Задачи:
• ввести понятие задачи линейного программирования (задачи ЛП);
• научить формализовывать проблемы, приводящие к задачам ЛП;
• ввести понятия допустимого и оптимального решений, значения задачи ЛП;
• научить находить оптимальное решение задачи ЛП геометрическим
методом;
• дать представление об анализе оптимального решения ЛП на
чувствительность.
1.1 Правила построения математической модели. Примеры
задач линейного программирования
Линейное программирование или сокращенно ЛП (Linear Programming, LP) –
это раздел более общей теории математического программирования (Mathematical
Programming, MP). Математическое программирование занимается изучением
проблем принятия решений, которые могут быть математически сформулированы
как задачи нахождения максимума (минимума) некоторой, вообще говоря,
нелинейной функции (целевой функции) многих переменных, при заданной
системе ограничений на основные переменные задачи.
Формализация проблемы как задачи ЛП подразумевает следующие этапы:
• понять проблему, составить описательную модель задачи;
• идентифицировать основные переменные задачи;
• выбрать некоторую количественную меру эффективности для целевой
функции;
• представить эту меру эффективности как линейную функцию
5
относительно основных переменных;
• идентифицировать и представить все ограничения как линейные
уравнения или неравенства относительно основных переменных;
• собрать количественные данные или сделать соответствующие оценки для
всех параметров модели.
Основные математические предположения для задачи ЛП (основные
ограничения на применение):
• определенность (детерминированность) – предполагается, что все
параметры модели известны точно или могут быть оценены;
• линейность (эквивалентна пропорциональности и аддитивности) –
предполагается, что все функциональные соотношения модели линейны
относительно основных переменных;
o пропорциональность – предполагается, что эффект влияния основной
переменной задачи пропорционален значению этой переменной;
o аддитивность – предполагается, что эффект влияния нескольких
основных переменных задачи равен сумме эффектов от каждой переменной;
• делимость – предполагается, что все основные переменные задачи могут
принимать произвольные вещественные значения в определенном диапазоне
(бесконечно делимы).
6
1
n
1.2 Задача линейного программирования (задача ЛП)
Математически задача ЛП – задача нахождения наибольшего
(наименьшего) значения линейной функции многих переменных при линейных
ограничениях типа равенств (неравенств), когда на переменные задачи есть (нет)
ограничений на знак.
В общем случае задача линейного программирования может быть записана
следующим образом:
• задача максимизации
max z = max(c1x1 + … + cn xn )
при ограничениях
ai1x1 + … + a
x
≥ 0, j = 1,
j
in xn
.
• задача минимизации
min z = min(c1x1 + … + cn xn )
при ограничениях
ai1x
+… + a
1
x
≥ 0, j = 1,n.
j
inxn
Здесь
x j , j = 1,n – переменные модели,
z = c1x
+ … + cn xn – целевая функция,
1
≤ b
, i = 1,
i
≥ bi,i=1,m,
(1.1)
, (1.2)
(1.3)
(1.4)
ai1x
x
с j ,a
+ … + a
1
≥ 0 – условие неотрицательности переменной j, j = 1,n ,
j
ij ,bi
заданные параметры , i= 1,m , j= 1,n .
Вектор X= (x
≤ bi – ограничение с номером i, i = 1,m ,
in x n
1
,…, x
) , удовлетворяющий ограничениям задачи,
n
называется допустимым решением задачи ЛП.
Допустимым множеством решений задачи ЛП называется множество
векторов X= (x1 ,…, xn) удовлетворяющих всем ограничениям задачи.
X*=(x
*
1
,…,x
*
) , доставляющий максимум (минимум) функции z при заданных
n
Вектор
ограничениях, называется оптимальным решением задачи ЛП. Соответственно,
7
1
n
∗
наибольшее z*=z(X
*
(наименьшее z = z (X
)
называется значением задачи ЛП.
*
) значение целевой функции
)
Решить задачу ЛП означает найти оптимальное решение X
и соответствующее значение целевой функции z
(x
*
, т. е.
)
*
= (x
*
…
, x
,
1
значение задачи ЛП.
*
)
2
8
1.3 Геометрическая структура множества допустимых решений в задаче
линейного программирования
Приведем некоторые понятия из теории выпуклых множеств и
сформулируем теорему о геометрической структуре множества допусти- мых
решений в задаче ЛП.
Напомним, что элементы пространства Rn называются как точками, так и
векторами.
Множество M
X 2 ϵ M и любого
Rn называется выпуклым, если для двух любых то
λ
ϵ (0,1)
выполняется условие:
λ
X 1 + (1-
λ
)
X
2
M . (1.5)
ϵ
чек
X 1,
Другими словами, множество называется выпуклым, если с любыми двумя
точками из этого множества ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий эти
точки.
Пусть
M Rn – выпуклое множество. Точка X 0 ϵ M называется крайней
(экстремальной) точкой множества M, если из условия
X 0 =
λ
X 1 + (1-
X 2,
λ
)
X 1, X 2 ϵ M , λ ϵ
(0,1
)
(1.6)
следует, что
0
X
= X 1 = X 2 .
(1.7)
Выпуклой линейной комбинацией
точек
X 1,…, X r ϵ
Rn
называется точка,
которую можно представить в виде
=
; 0; = 1,
;
= 1.
(1.8)
Выпуклым многогранником M, порожденным точками X 1,…, X r ϵ Rn ,
называется множество всевозможных выпуклых линейных комбинаций точек
X 1,…, X r
=
|
=
; 0; = 1, ;
= 1
(1.9)
Конечным конусом K , порожденным векторами A1,…, Ar ϵ Rn ,
называется множество всех векторов X ϵ Rn , удовлетворяющих условию
9
=
; 0; = 1,
;
= 1
(1.10)
Рассмотрим систему нестрогих линейных неравенств (1.2) или (1.4).
Каждое линейное ограничение типа неравенства задает в R
отрицательное (положительное) полупространство
(
{
=
|+ +
{
=
|+ +
Ограниченное гиперплоскостью
{
=
|+ +
}
(1.11)
})
,
}
Множество векторов, удовлетворяющих системе (1.2) или (1.4), можно
представить как пересечение m + n полупространств: =
(
Такое множество M называется многогранным множеством.
Теорема 2.3.1 (о геометрической структуре множества допустимых
решений в задаче ЛП).
Множество M допустимых решений задачи линейного программи- рования
можно представить в виде:
.
n
)
.
M = M
0
+ K , (1.12)
где M 0 – выпуклый многогранник, порожденный крайними точками
множества M;
K – конечный конус.