Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Решение. Характеристическое уравнение для однородного уравнения, соответствующего (2.57), имеет вид
и решение
= ±i. Тогда общее решение однородного уравнения имеет
1,2
вид
Искать частное решение уравнения (2.57) методом неопределенных коэффициентов нельзя, так как его правая часть имеет структуру,
не подходящую для данного метода. Воспользуемся методом вариации
произвольных постоянных. Будем искать решение в виде
Тогда для определения функций C1(x) и C2(x) будем иметь систему
уравнений согласно (2.39):
из которой найдем
Проинтегрировав эти выражения, будем иметь
′
′
′
′
′
′
81
Тогда
Определим константы A и B из краевых условий (2.58). Будем
иметь следующую систему уравнений:
из которой получим
Таким образом, решение краевой задачи (2.57), (2.58) имеет вид
82
2.10. Ура внение Э йлера
Уравнением Эйлера называется линейное дифференциальное
уравнение с переменными коэффициентами особого вида. В общем
случае оно может быть представлено в форме
′
(2.59)
где a
,…, an – константы. Важным частным случаем (2.59) является
1, a2
уравнение вида
′ (2.60)
С помощью замены переменных уравнения (2.59) и (2.60) могут
быть преобразованы в линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Для уравнения (2.59) замена имеет вид
(2.61)
а для уравнения (2.60) – вид
(2.62)
Пример 2.24. Решить уравнение
″′ (2.63)
Решение. Данное уравнение относится к виду (2.60) с коэффициентами a1 = –1 и a2 = 1. Воспользуемся заменой (2.62):
83
Тогда производные от y (с учетом правила дифференцирования
сложной функции) примут следующий вид (с помощью точек обозначено дифференцирование по t):
″
′
В результате подстановки в исходное уравнение замены (2.62)
и найденных выше производных оно преобразуется следующим образом:
или после упрощения выражения:
(2.64)
Мы получили линейное неоднородное уравнение с постоянными
коэффициентами. Решим его методом неопределенных коэффициентов
(форма правой части позволяет это сделать).
Характеристическое уравнение однородного уравнения, соответствующего (2.64), имеет вид
Его корнями являются 1 = 2 = 1, т. е. фактически имеем здесь
один действительный корень с кратностью 2.
84
Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде
Частное решение неоднородного уравнения (2.64) следует искать
в виде
Подставим u в левую часть (2.64):
Приравняем полученную функцию правой части (2.64) и определим коэффициенты A и B, а также функцию u:
и общее решение уравнения (2.64) примет вид
Сделаем в последнем равенстве обратную замену переменных
и получим общее решение уравнения (2.63):
85
Пример 2.25. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение имеет форму (2.59) со следующими
коэффициентами:
Выполним замену (2.61)
Получим
″′ (2.65)
′
″
Тогда исходное уравнение примет следующий вид:
или после упрощения выражения:
(2.66)
Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид
86
и корни
Отсюда следует, что уравнение (2.66) имеет общее решение
Делая обратную замену, окончательно будем иметь
87
З АК Л Ю Ч ЕН ИЕ
Дифференциальные уравнения возникают при решении широкого
спектра задач, поэтому теоретические и практические аспекты этой области высшей математики играют ключевую роль в изучении окружающего мира. Несмотря на то что современные компьютерные технологии позволяют с высокой точностью выполнять приближенные вычисления для множества прикладных задач, способность самостоятельно
формулировать, классифицировать и решать проблемы остается важным навыком квалифицированного специалиста.
Данное учебное пособие не стремится охватить все многообразие
видов обыкновенных дифференциальных уравнений и методов их решения. Однако, используя его в качестве руководства, учащиеся смогут
освоить ряд основных практических приемов и заложить фундамент
для дальнейших самостоятельных исследований.
88
Сп исок литера тур ы
1. Абанина, Т. И. Математика: справочник для студентов вузов,
техникумов, колледжей / Т. И. Абанина. – Ростов-н/Д: Феникс, 2014. –
376 с.
2. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
В. И. Арнольд. – Москва: МЦНМО, 2014. – 341 с.
3. Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – Москва: Наука, 1967. – 736 с.
4. Битнер, Г. Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
учебное пособие / Г. Г. Биттнер. – Ростов-н/Д.: Феникс, 2012. – 205 с.
5. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике /
М. Я. Выгодский. – Москва: ACT: Астрель, 2006. – 991 с.
6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах:
учебное пособие для студентов втузов. В 2 ч. Ч. 2 / П. Е. Данко,
А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. – Mосква: Высшая школа, 2003. – 416 с.
7. Егоров, Д. Л. Дифференциальные уравнения: учебное пособие /
Д. Л. Егоров. – Казань: Изд-во КНИТУ, 2020. – 108 с.
8. Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. – Минск: Наука и техника, 1979. –
744 с.
9. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям / Э. Камке. – Москва: Наука, 1971. – 576 с.
10. Карташев, А. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения
и основы вариационного исчисления / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский. – Москва: Наука, 1980. – 288 с.
11. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. – Москва:
Наука, 1968. – 431 с.
12. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу,
В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко. – Москва: Айриспресс, 2004. – 592 с.
13. Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. – Москва: Высшая школа,
1967. – 565 с.
14. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мыш-
кис. – Санкт-Петербург: Лань, 2007. – 688 с.
89
15. Незбайло, Т. Г. Теория интегрирования линейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений / Т. Г. Незбайло. – Санкт-Петербург: ИП Генкин А. Д., 2007. – 160 с.
16. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. – Москва: Наука, 1974. – 331 с.
17. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. – Москва: ГИФМЛ, 1959. – 468 с.
18. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения / А. Н. Тихонов,
А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. – Москва: Наука, Физматлит, 1980. –
213 с.
19. Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений / А. Ф. Филиппов. – Москва: КомКнига, 2007. – 240 с.
20. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
Ф. Хартман. – Москва: Мир, 1970. – 719 с.
21. Шерстнев, А. Н. Конспект лекций по математическому анализу / А. Н. Шерстнев. – Казань: Казанское математическое общество,
2009. – 374 с.
22. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариацион-
ное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – Москва: Наука, 1969. – 424 с.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]