Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах нагляднее продемонстрировать на конкретных примерах, чем описывать его
в общем виде. Поэтому сразу перейдем к примерам.
Пример 1.6. Определить, является ли данное уравнение уравне-
нием в полных дифференциалах, и решить его:
(1.26)
Решение. В этом уравнении
(1.27)
Проверим выполнение условия (1.23):
Условие (1.23) выполнено, а значит, уравнение (1.26) является
уравнением в полных дифференциалах. Решим его.
Поскольку левая часть уравнения (1.26) представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y), должны выполняться
следующие равенства:
откуда ясно, что
(1.28)
21
Возьмем, например, первое из равенств (1.28) и проинтегрируем
его по x:
В последнем равенстве в результате интегрирования мы получили
вместо произвольной константы C произвольную функцию C(y). Это
обусловлено тем, что функция U зависит от двух переменных – x и y,
а мы провели интегрирование ее частной производной лишь по одной
переменной – x. Таким образом, в (1.29) мы получили лишь часть требуемого нам решения. Для того чтобы восстановить его полностью, нам
необходимо определить функцию C(y). Для этого продифференцируем
(1.29)
найденную в (1.29) функцию U по y:
Очевидно, что, поскольку мы везде имеем дело с одной и той же
функцией U(x, y), производная из последнего равенства не может отличаться от производной по y из (1.28):
Мы получили уравнение для определения функции C(y). Решим его:
′
′
′
Подставим эту функцию в (1.29) и получим окончательный вид
U(x, y):
22
Таким образом, общее решение уравнения (1.26) запишется так:
где C – произвольная константа.
Пример 1.7. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Перепишем это уравнение в дифференциалах:
Здесь
Тогда
′
(1.30)
(1.31)
Таким образом, условие (1.23) не выполняется. Попробуем свести
уравнение (1.31) к уравнению в полных дифференциалах, отыскав интегрирующий множитель. Для начала поищем интегрирующий множитель, зависящий только от y согласно формуле (1.25):
23
Нетрудно увидеть, что полученное выражение не может привести
к функции, зависящей только от y.
Попробуем отыскать интегрирующий множитель, зависящий
только от x. Согласно формуле (1.24), будем иметь
Таким образом, нам удалось построить интегрирующий множитель, зависящий только от x:
Умножим на него уравнение (1.31):
(1.32)
Для него
откуда следует, что
24
Таким образом, условие (1.23) для новых функций P1(x, y)
и Q1(x, y) выполняется, и уравнение (1.32) является уравнением в полных дифференциалах. Решим его.
Поскольку левая часть (1.32) является полным дифференциалом
некоторой функции U(x, y), то справедливы равенства
(1.33)
Проинтегрируем первое из равенств (1.33) по y:
Первое слагаемое в скобках приводит к табличному интегралу,
а второе слагаемое – к интегралу, который легко вычисляется по частям, если принять
Тогда
и
Следует обратить внимание на то, что, в отличие от предыдущего
примера, где интегрирование велось по x, а неизвестная функция C, соответственно, зависела от y, здесь C зависит от x.
25
Продифференцируем полученное выражение и сравним его со
вторым из равенств (1.33):
′
′
′
Отсюда находим C(x):
′
С
Таким образом, функция U(x, y) принимает вид
а общее решение уравнения (1.30) – вид
1. 5. Л инейные ди ффер енци альные ура внен ия
Уравнение вида
′ (1.34)
называется линейным дифференциальным уравнением. В таком уравнении неизвестная функция и ее производная имеют первую степень и не
перемножаются между собой.
26
Уравнение вида (1.34) называется неоднородным. Если Q(x) = 0,
то получившееся уравнение
′ (1.35)
называется однородным.
Для решения линейных дифференциальных уравнений можно выделить два основных метода – метод Лагранжа и метод Бернулли.
Вначале продемонстрируем первый из них, называемый также мето-
дом вариации произвольной постоянной.
В первую очередь уравнение (1.34) приводится к виду (1.35),
т. е. полагается Q(x) = 0, и далее решается линейное однородное диф-
ференциальное уравнение, соответствующее исходному неоднородному уравнению. Очевидно, что (1.35) представляет собой уравнение
с разделяющимися переменными, которое легко интегрируется:
откуда получаем общее решение (1.35):
(1.36)
В равенстве (1.36) C – это произвольная константа. Для того чтобы
отыскать решение исходного неоднородного уравнения (1.35), применим следующий прием. Будем теперь считать C не константой, а функцией, которую следует отыскать, т. е. положим C = C(x). Тогда равенство (1.36) примет вид
27
(1.37)
Подставим (1.37) в уравнение (1.34):
′
′
′
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение для
определения функции C(x). Проинтегрируем обе его части:
где C0 – произвольная константа. Теперь остается только подставить
C(x) в (1.37):
(1.38)
Равенство (1.38) представляет собой общее решение линейного
неоднородного дифференциального уравнения (1.34).
Получим теперь это решение с помощью метода Бернулли.
Для этого представим неизвестную функцию y(x) в виде произведения
двух неизвестных функций u(x) и v(x):
(1.39)
Подставим (1.39) в уравнение (1.34):
′′
28
В полученном уравнении вынесем за скобки функцию u:
′′
(1.40)
Здесь следует отметить важную особенность замены (1.39). Дело
в том, что требование удовлетворять уравнению (1.34) накладывается
на произведение uv, а не на каждую из этих функций по отдельности.
Поэтому одну из них можно выбрать произвольно. Выберем, например,
в качестве v любое частное решение уравнения
′ (1.41)
Это уравнение является линейным и однородным. Интегрирование таких уравнений мы рассматривали ранее. Общее решение (1.41)
получается в соответствии с формулой (1.36). Однако для наших целей
подойдет любое частное решение уравнения (1.41), в том числе и такое,
которое соответствует значению константы C = 1:
(1.42)
Подставим (1.42) в (1.40). Поскольку (1.42) представляет собой решение уравнения (1.41), выражение в скобках обращается в 0, и мы получаем следующее уравнение для определения функции u(x):
′
Отсюда получаем
′
29
Тогда общее решение уравнения (1.34) запишется следующим образом:
Разумеется, данное выражение полностью совпадает с решением
(1.38), полученным по методу Лагранжа.
Отметим, что можно выделить класс нелинейных уравнений, сводящихся к линейным. Это уравнения Бернулли. Они имеют вид
′ (1.43)
Легко показать, что с помощью замены
данное уравнение преобразуется в линейное дифференциальное уравнение
′
Однако на практике на самом деле нет необходимости проводить указанное преобразование, а можно сразу решать уравнение (1.43) теми же
методами, что и уравнение (1.34).
Пример 1.8. Решить уравнение
′ (1.44)
при начальном условии
(1.45)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]