Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Решение. Пусть
тогда вторая производная от y:
и уравнение принимает вид
′
″
Мы получили уравнение первого порядка относительно z с разделяющимися переменными. Решим его:
Вернемся теперь к переменной y и найдем общее решение:
′
51
откуда окончательно находим:
Пример 2.6. Решить уравнение
″
′
(2.11)
Решение. Выполним необходимые замены:
′ ″
и преобразуем исходное уравнение к виду
или
52
Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем
его:
Вернемся теперь к переменной y:
Вновь получаем уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
′
Для вычисления интеграла по y воспользуемся заменой переменной:
Тогда
Таким образом, общее решение уравнения (2.11) запишется в виде
53
2.5. Уравне ния, одн ородные относи тельно
не изве стной ф унк ции и ее произв одны х
В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на еди-
ницу. Для этого необходимо ввести новую неизвестную функцию:
′
(2.12)
Пример 2.7. Решить уравнение
′
″
Решение. Разделим обе части уравнения на y2:
′
″
Выполним замену (2.12) и, продифференцировав, определим соответствующее выражение для второй производной:
′
′
′
″
откуда будем иметь
″
′ (2.13)
Тогда получим следующее уравнение относительно z:
′
54
или после упрощения
′
Это уравнение с разделяющимися переменными, которое легко решается:
Выразим отсюда z:
Вернемся в последнем выражении к переменной y:
′
Вновь имеем уравнение с разделяющимися переменными:
В результате интегрирования получаем общее решение исходного уравнения:
55
Пример 2.8. Решить уравнение
″
′
Решение. Разделим данное уравнение на y2:
′
″
Если воспользоваться заменой (2.12), то нетрудно заметить, что левая
часть получившегося уравнения совпадает с выражением (2.13). Тогда
′
Возвращаясь к переменной y, будем иметь
′
Таким образом, общее решение исходного уравнения примет вид
56
2.6. Лин ейн ые дифф еренциальны е уравн ения
по рядк а n
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называ-
ется уравнение вида
′
(2.14)
Функции a1(x), a2(x),…, an(x) и f (x) заданы и непрерывны на неко-
тором отрезке [a, b].
Уравнение вида (2.14) является линейным неоднородным. Если
f (x) = 0, то получившееся уравнение будет называться линейным одно-
родным.
Порядок уравнения (2.14), в том числе для случая f (x) = 0, можно
понизить на единицу, если известно какое-либо частное решение соответствующего ему линейного однородного уравнения (т. е. линейного
однородного уравнения с такой же левой частью). Пусть это частное
решение обозначено как y1. Тогда вводится новая неизвестная функция
z и выполняется замена
Полученное в результате данной замены уравнение (n – 1)-порядка
относительно z также будет линейным.
Пример 2.9. Решить уравнение
″
′ (2.16)
если известно его частное решение
57
(2.15)
Решение. Произведем замену (2.15):
(2.17)
и определим первую и вторую производные от y:
′
″
′
′
′
Подставим полученные выражения в уравнение (2.16):
′
′
58
′
Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение:
откуда окончательно имеем
Тогда, согласно формуле (2.17), определим y:
Пример 2.10. Решить уравнение
″
обладающее частным решением
Решение. Выполним замену (2.15) и найдем необходимые производные:
(2.18)
′
′
″′′
59
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
′
′
′
Таким образом, мы пришли к простому уравнению с разделяющимися переменными. Получим его общее решение:
Подставим теперь найденную функцию z в формулу (2.18) и опре-
делим y:
2.7. Лин ейн ые одно род ные ура внен ия п орядка n
Если y1, y2,…, yn – линейно независимые частные решения уравнения
′
(2.19)
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]