Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Чтобы определить y, воспользуемся (1.65):
Подставим сюда (1.66) и получим
(1.67)
Выражения (1.66), (1.67) дают общее решение уравнения (1.64)
в параметрической форме.
Исключим теперь параметр p и получим общее решение в явном
виде. Разделим, согласно равенствам (1.66) и (1.67), y на x + 1:
Тогда, выразив p, получим
откуда
Подставим последнее равенство в (1.66):
откуда окончательно получим
(1.68)
41
Во время решения данного уравнения мы производили деление на
p, что могло привести к потере решений. Проверим это. Пусть
тогда из уравнения (1.67)
Это решение является особым. Оно не может быть получено из общего
решения (1.68) ни при каких значениях константы C.
42
2. О БЫ КН О В Е Н Н Ы Е Д И Ф Ф Е Р Е НЦ И АЛ Ь Н Ы Е
УР АВ Н Е Н И Я ВЫ СШ ИХ П ОР Я ДК О В
2. 1. П оня тие диф ференци альн ого ура внен ия
по рядк а n
Уравнение вида
′″
(2.1)
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го по-
рядка. Дифференцируемая n раз функция
которая обращает это уравнение в тождество, называется его общим ре-
шением.
Задача Коши для уравнения (2.1) состоит в отыскании его решения, удовлетворяющего начальным условиям
′
′
при x = x0. Такое решение называется частным.
Отметим, что кроме начальных условий существуют также крае-
вые условия, которые задаются не в одной точке, а на концах некоторого
промежутка.
Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков
в общем случае существенно сложнее интегрирования уравнений первого порядка и в точном аналитическом виде возможно лишь в ряде
частных случаев, некоторые из которых мы и рассмотрим далее.
43
Пусть дано уравнение вида
Решение такого уравнения получается простым n-кратным интегрированием:
2. 2. У равнени я в ида y
(2.2)
(n)
= f(x)
Пример 2.1. Найти решение уравнения
″
(2.3)
с начальными условиями
′ (2.4)
Решение. Уравнение (2.3) имеет второй порядок, поэтому его об-
щее решение будет содержать две произвольные константы. Для их
определения, соответственно, нужно два начальных условия. Они
и даны нам в (2.4).
Последовательно дважды интегрируем (2.3):
′
Таким образом, общее решение (2.3) примет вид
(2.6)
44
(2.5)
Воспользуемся теперь начальными условиями (2.4) для отыскания
констант C1 и C2. Первое условие в соответствии с (2.6) приводит к следующему результату:
Второе условие позволяет определить C1. Для этого применим
данное условие к (2.5):
Таким образом, частное решение задачи (2.3), (2.4) имеет вид
Пример 2.2. Решить уравнение
Решение. Прежде всего, преобразуем sin 2x в правой части по из-
вестной формуле
Тогда
‴ ‴
‴
Теперь нам нужно трижды проинтегрировать функцию в правой
части получившегося уравнения. Первый интеграл легко вычисляется,
если мы внесем cos x под знак дифференциала:
45
″
Полученную функцию вновь интегрируем:
′
откуда окончательно получим общее решение исходного уравнения:
2. 3. У равнени я, не с одержащие иск омую функци ю
Рассмотрим уравнение вида
Оно не содержит искомую функцию y, а только ее производные от
k до n. Чтобы решить данное уравнение, можно понизить его порядок,
взяв за новую неизвестную функцию низшую из входящих в него производных:
Тогда получается уравнение, имеющее порядок, на k меньший,
чем исходное:
′
46
Пример 2.3. Решить уравнение
′
″′
(2.7)
Решение. Это уравнение второго порядка, и оно не содержит в яв-
ном виде y. Низшая производная имеет первый порядок. Выполним замену
′
Тогда будем иметь
′
а после деления на x
′
(2.8)
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка. Нетрудно заметить, что его вид соответствует (1.15), т. е. уравнение (2.8)
является однородным. Решим его стандартным методом, сделав замену
Тогда уравнение (2.8) преобразуется следующим образом:
′
47
Проведем интегрирование и преобразуем полученный результат:
Вернемся теперь последовательно к старым переменным:
′
Остается проинтегрировать последнее равенство:
Данное выражение представляет собой общее решение уравнения (2.7).
Пример 2.4. Решить уравнение
‴″
″
(2.9)
Решение. Низшая производная здесь имеет порядок 2. Делаем за-
мену
″
и получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
′ (2.10)
48
Интеграл в левой части легко берется, если внести z под знак дифференциала:
Таким образом, будем иметь
и решение уравнения (2.10) окончательно принимает вид
Вернемся теперь к переменной y:
″
Мы получили уравнение вида (2.2). Для получения y нам необходимо дважды проинтегрировать функцию в его правой части:
′
49
Последнее равенство представляет собой общее решение исходного уравнения (2.9).
2.4. Уравне ния, не содержащи е неза виси мую
Пусть дано уравнение n-го порядка, не содержащее в явном виде
независимую переменную:
пе ременную
′″
Такое уравнение допускает понижение порядка, если положить
′
а в качестве нового аргумента принять y. Тогда производные от y
должны выразиться через z и производные от z по y. Соответствующие
формулы получаются с помощью правила дифференцирования сложной функции:
‴
″
″
′
Пример 2.5. Решить уравнение
′
50
″
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]