Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
(2.35)
=
++
+
=
++
+
=
++
+
=
++
+
−−−
−−−
).()(...)()(
,0)(...)()(
,0)(...)()(
,0)(...)()(
)1()1(
22
)1(
11
)2()2(
22
)2(
11
2211
2211
xfyxCyxCyxC
yxCyxCyxC
yxCyxCyxC
yxCyxCyxC
n
nn
nn
n
nn
nn
nn
nn
Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения n-го порядка. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
(2.36)
Для определения функций C1(x), C2(x),…, Cn(x) строится и реша-
ется следующая система уравнений:
Рассмотрим применение метода вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка
″′ (2.38)
Система (2.37) для него имеет вид
′
′
′
′
′
′
(2.37)
(2.39)
второе уравнение:
Решим ее. Выразим из первого уравнения C'1(x) и подставим во
71
′
(2.40)
′
′
′
′
′
Выразим из получившегося равенства C'2(x):
′
′
Нетрудно видеть, что в знаменателе правой части данного равенства находится определительь Вронского:
′
′
Следовательно,
′
′
′
′
(2.41)
Подставим (2.41) в (2.40) и определим C'1(x):
′
(2.42)
Интегрируя (2.41) и (2.42), получим функции C1(x) и C2(x):
(2.43)
72
Тогда
(2.44)
(2.45)
Рассмотрим другой метод решения линейных неоднородных уравнений n-го порядка – метод неопределенных коэффициентов. Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет особую
структуру, которая в общем виде может быть представлена следующей
формулой:
(2.46)
где и – константы; Pk(x) и Qm(x) – многочлены соответственно
k-й и m-й степеней. Отметим, что указанный метод может быть исполь-
зован и в том случае, если правая часть уравнения представляет собой
сумму функций вида (2.46).
Частное решение уравнения
′ (2.47)
с действительными постоянными коэффициентами a1, a2,…, an ищется
в виде
(2.48)
Рассмотрим использованные в (2.48) обозначения. С помощью r
обозначен показатель кратности корня + i характеристического
уравнения
73
(2.49)
Если уравнение (2.49) не имеет такого корня, то r = 0.
Pl(x) и Ql(x) – это полные (содержащие все степени x от 0 до l) мно-
гочлены от x степени l с неопределенными коэффициентами:
причем
Если в выражение функции f(x) входит хотя бы одна из функций
cos x или sin x, то в u(x) надо вводить обе эти функции.
Построенную таким образом функцию (2.48) подставляют в исходное уравнение и приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях (при правильных вычислениях структуры
этих частей должны соответствовать друг другу). Так получается система линейных алгебраических уравнений, из которой определяются
неопределенные коэффициенты.
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких
различных функций вида (2.46), то нужно найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части. Их сумма и будет
искомым частным решением исходного уравнения.
Ниже представлены некоторые частные случаи функции (2.46):
74
Пример 2.20. Решить уравнение
″
′
(2.50)
Решение. Вначале следует определить частные решения однородного уравнения, соответствующего (2.50):
″
′
В примере 2.14 мы уже решали эту задачу и установили, что частными решениями этого уравнения являются функции
Составим и вычислим вронскиан для них:
Теперь по формуле (2.45) мы можем вычислить частное решение
неоднородного уравнения:
75
Общее решение (2.50) получается как сумма его частного решения
и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:
Пример 2.21. Найти решение уравнения
″′ (2.51)
удовлетворяющее краевым условиям
(2.52)
76
Решение. Будем решать уравнение (2.51) методом неопределенных коэффициентов. Однородное уравнение, соответствующее (2.51),
имеет вид
″′ (2.53)
Составим и решим для него характеристическое уравнение:
Следовательно, общее решение (22.53) имеет вид
Рассмотрим теперь структуру правой части уравнения (2.51). Она
содержит только экспоненту. При x в показателе степени у нее нахо-
дится коэффициент 4. Однако = 4, как мы видим, не является корнем
характеристического уравнения, а значит, в формуле (2.48) мы должны
положить r = 0. Далее, синус и косинус в правой части отсутствуют,
следовательно, коэффициентом при экспоненте служит многочлен нулевой степени, т. е. в формуле (2.48) l = 0. Таким образом, частное решение исходного уравнения следует искать в виде
Подставим эту функцию в левую часть уравнения (2.51):
″′
Получившаяся функция, очевидно, должна совпадать с правой частью уравнения (2.51), поэтому приравняем их:
77
Из этого равенства находим A = 1/5. Следовательно, общее решение уравнения (2.51) запишется в виде
Для нахождения констант воспользуемся краевыми условиями.
Будем иметь следующую систему уравнений:
откуда
(2.54)
и решение краевой задачи (2.51), (2.52) запишется в виде
Пример 2.22. Найти решение уравнения
″′
(2.55)
удовлетворяющее начальным условиям
′ (2.56)
78
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
Его корнями являются
1
= 1,
= – 2. Следовательно, общее ре-
2
шение однородного уравнения, соответствующего (2.55), имеет общее
решение
Для правой части уравнения (2.55) справедливо = 0, = 1, следовательно,
Такого корня у характеристического уравнения нет, а значит, r = 0. Коэффициентами при синусе и косинусе являются константы, следовательно, k = m = 0 и l = 0. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
Подставим эту функцию вместо y в левую часть исходного уравнения. Будем иметь
Приравняем получившуюся функцию к правой части уравнения (2.55):
79
80
Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений
для определения коэффициентов A и B:
Тогда
и общее решение уравнения (2.55) запишется в виде
Воспользуемся теперь начальными условиями (2.56) и определим
константы C1 и C2. Будем иметь следующую систему уравнений:
откуда C1 = 0, C2 = 1. Таким образом, частное решение уравнения (2.55)
при заданных начальных условиях (2.56) имеет вид
Пример 2.23. Решить уравнение
″ (2.57)
при краевых условиях
(2.58)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]