Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
тогда
является общим решением этого уравнения. При этом C1, C2,…, Cn –
произвольные постоянные.
Напомним определение линейной независимости функций. Функции y1(x), y2(x),…, yn(x) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация
(2.20)
обращается в 0 только в том случае, если все константы 1, 2,…, n
равны 0.
Если найдется хотя бы одна константа i, которая не равна 0, и при
этом (2.20) обращается в 0, то указанные функции являются линейно за-
висимыми.
Для случая двух функций условие линейной зависимости запишется следующим образом:
Поэтому для проверки линейной независимости двух функций можно разделить одну на другую и убедиться, что результат не будет константой.
Например, если
то отношение этих функций:
что означает линейную независимость этих двух функций.
61
В то же время функции
.0
)(...)()(
............
)(...)()(
)(...)()(
)1()1(
2
)1(
1
21
21
=
−−−
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
W
n
n
nn
n
n
являются линейно зависимыми:
Достаточным условием линейной независимости n функций, непрерывных вместе со своими производными до (n – 1)-го порядка в про-
межутке [a, b], является отличие от 0 определителя Вронского (вронски-
ана) во всех точках [a, b]:
(2.21)
Отметим, что если функции y1(x), y2(x),…, yn(x) представляют собой частные решения линейного однородного дифференциального
уравнения n-го порядка, то (2.21) является не только достаточным, но
и необходимым условием линейной независимости этих решений.
Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, определенных на
промежутке [a, b], называется фундаментальной системой решений
данного уравнения.
Для n решений линейного однородного уравнения n-го порядка
(2.19) справедлива формула Лиувилля–Остроградского
62
. (2.22)
63
Для линейного однородного уравнения второго порядка
″′ (2.23)
из формулы (2.22) может быть получено следующее выражение:
(2.24)
где y1(x) и y2(x) – фундаментальная система решений уравнения (2.23).
Таким образом, зная одно частное решение уравнения (2.23), можно по
формуле (2.24) вычислить его второе частное решение, после чего общее решение уравнения (2.23) запишется в виде
(2.25)
Пример 2.11. Дано дифференциальное уравнение
″ (2.26)
Является ли функция
(2.27)
его общим решением?
Решение. Проверим, удовлетворяют ли уравнению (2.26) функции
(2.28)
Для этого поочередно подставим их в исходное уравнение:
Теперь убедимся, что функции (2.28) линейно независимы:
Таким образом, функции (2.28) составляют фундаментальную систему
решений, а (2.27) действительно представляет собой общее решение
уравнения (2.26).
Пример 2.12. Проверить, являются ли линейно независимыми
функции
Решение. Построим и вычислим определитель Вронского:
′
″
′
″
′
″
Таким образом, указанные функции являются линейно зависимыми.
Пример 2.13. Проверить, являются ли линейно независимыми
функции
64
65
Решение. Как и в предыдущем примере, построим и вычислим
определитель Вронского:
.
Определитель Вронского не равен 0, следовательно, указанные
функции являются линейно независимыми.
Пример 2.14. Решим задачу из примера 2.9 с помощью формулы
Лиувилля (2.24). Итак, требуется решить уравнение
″
′
если известно его частное решение
Решение. Согласно формуле (2.24), будем иметь
Таким образом, общее решение может быть построено в виде
Нетрудно увидеть, что оно совпадает с полученным в примере 2.9
решением.
Пример 2.15. Решить уравнение
имеющее частное решение
″
′
Решение. С этой задачей мы встречались ранее, в примере 2.10.
Решим ее теперь с помощью формулы Лиувилля:
Тогда решение можно записать в виде
2.8. Лин ейн ые одно род ные ура внен ия п орядка n
с постоян ными коэффи циентами
Уравнение вида
′ (2.29)
где a1, a2,…, an – действительные константы, называется линейным однородным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.
66
Для решения уравнения (2.29) прежде всего строится характеристическое уравнение:
(2.30)
которое получается из (2.29) в результате замены в нем каждой производной k-го порядка y
(k)
на неизвестную переменную в k-й степени – k.
Таким образом, получается алгебраическое уравнение n-й степени.
От характера его корней зависит вид общего решения уравнения (2.29).
Возможны следующие случаи.
1. Каждому действительному простому корню в общем решении
соответствует слагаемое вида Cex.
2. Каждому действительному корню кратности m в общем реше-
нии соответствует слагаемое вида
3. Каждой паре комплексных сопряженных простых корней
в общем решении соответствует слагаемое вида
4. Каждой паре комплексно сопряженных корней
кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида
67
Пример 2.16. Решить уравнение
″′ (2.31)
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Это квадратное уравнение, которое имеет два корня:
Данная ситуация соответствует первому случаю, и, следовательно,
уравнение (2.31) имеет два линейно независимых частных решения –
e6x и ex, а его общее решение, таким образом, имеет вид
Пример 2.17. Решить уравнение четвертого порядка
″ (2.32)
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет
вид
Это уравнение 4-й степени. Выполним замену переменной:
и получим квадратное уравнение относительно z:
откуда z1= 4, z2 = 9.
68
Возвращаясь к переменной , будем иметь
откуда окончательно находим корни характеристического уравнения:
Таким образом, получаем следующую фундаментальную систему
решений уравнения (2.32):
а его общее решение принимает вид
Пример 2.18. Решить уравнение
‴″′ (2.33)
Решение. Характеристическое уравнение для (2.33) имеет вид
Это уравнение третьей степени легко решается, если вынести за
скобки:
откуда 1 = 0, а уравнение
69
70
приводит к корню двойной кратности 2 = 3 = 1. Корень 1 соответствует случаю 1, а корни 2 и 3 – случаю 2. Следовательно, общее ре-
шение уравнения (2.34) принимает вид
Пример 2.19. Решить уравнение
″′ (2.34)
Решение. Характеристическое уравнение для (2.34) имеет вид
У него два комплексно-сопряженных корня:
Следовательно, согласно случаю 3, общее решение уравнения (2.34)
имеет вид
2.9. Лин ейн ые неодн ородные уравне ния поря дка n
Перейдем теперь к решению задач более общего типа. Будем рассматривать уравнения вида (2.14), в которых правая часть не равна 0.
Если u = u(x) – частное решение неоднородного уравнения, а y1, y2,…,
yn представляет собой фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного
уравнения представляет собой сумму его частного решения и общего
решения соответствующего однородного уравнения:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]