Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
(1.10)
Ради эксперимента проверим правильность наших рассуждений
о допустимости упрощения вида произвольной константы и, представив общее решение (1.8) в интуитивно более понятном виде
найдем из него частное решение при условии (1.9):
откуда C = 2. Разумеется, константа C теперь принимает другое значение, однако легко убедиться, что частное решение осталось тем же самым и соответствует виду (1.10):
Пример 1.3. Найти общее решение уравнения
(1.11)
Решение. Разделим обе его части на (y2 – 4), тем самым разделив
переменные:
11
Интеграл по x берется элементарно:
Интеграл по y вычислим, сделав замену переменных:
откуда дифференциал
Таким образом, после замены переменных для интеграла по y имеем
следующую цепочку равенств:
Итак, интеграл уравнения (1.11) принимает вид
Для того чтобы записать решение более компактно, можно воспользоваться произвольностью константы C и представить ее в виде
12
Тогда общее решение примет вид
или
откуда, согласно свойству логарифмов,
и окончательно имеем
(1.12)
Это и есть общее решение уравнения (1.11). Однако мы должны проверить, не потеряли ли мы еще какие-нибудь решения, осуществив в самом начале деление всего уравнения на y2 – 4.
Пусть
отсюда y = ±2. Непосредственной подстановкой в исходное уравнение
убеждаемся, что это действительно решение (1.11). При этом нетрудно
видеть, что оно в точности получается из общего решения (1.12) при
C = 0. Таким образом, y = ±2 не является особым решением.
13
1.3. Одн оро дные диффер енци альные ур а внения
Пусть дано дифференциальное уравнение, записанное в дифференциалах:
(1.13)
Уравнение (1.13) называется однородным, если функции P(x, y)
и Q(x, y) представляют собой однородные функции одного и того же
измерения. Поясним это определение.
Функция f (x, y) называется однородной измерения m, если для лю-
бых x и y, а также любой константы > 0 выполняется условие
(1.14)
Приведем пример. Пусть дана функция
Проверим, является ли она однородной. Для этого вместо x подставим
в нее x, а вместо y подставим y и преобразуем полученное выраже-
ние:
Таким образом, функция P(x, y) = ax2 + bxy является однородной
с измерением 2. Также легко убедиться в однородности следующих
функций:
14
15
Отметим, что последняя из представленных функций имеет степень однородности m = −1.
А вот функция
однородной не является:
Итак, для того чтобы проверить, относится ли заданное дифференциальное уравнение к классу однородных уравнений, нужно проверить,
являются ли однородными входящие в него функции P(x, y) и Q(x, y)
с помощью условия (1.14). При этом ключевым является требование равенства измерений, с которыми эти функции однородны. То есть если
для обеих функций выполняется условие (1.14), но, например, для первой из них m = 1, а для второй m = 2, то данное уравнение уже нельзя
считать однородным.
Однородные дифференциальные уравнения обладают еще одной
формой представления:
′
(1.15)
Нетрудно увидеть, что любая функция такого вида, как правая
часть (1.15), удовлетворяет условию (1.14) с измерением m = 0.
Основной метод решения однородных дифференциальных уравнений – это выполнение подстановки
(1.16)
Замена (1.16) приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 1.4. Решить уравнение
(1.17)
Решение. Уравнение (1.17) записано в дифференциалах, и в соот-
ветствии с формой (1.13)
Проверим, являются ли эти функции однородными:
Таким образом, функции P(x, y) и Q(x, y) являются однородными,
причем одного и того же измерения 2. Следовательно, уравнение (1.17)
действительно является однородным.
Выполним подстановку (1.16). Тогда
и уравнение (1.17) принимает вид
Разделим получившееся уравнение на x2 и преобразуем его:
16
При дифференциале dx, очевидно, находится квадрат суммы:
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными:
(1.18)
Проинтегрируем его.
Интеграл по x является табличным и не представляет труда.
Для взятия интеграла по t в числителе прибавим и вычтем 1. Это приведет к сумме двух простых интегралов:
Таким образом, общий интеграл уравнения (1.18) запишется в виде
(1.19)
Для того чтобы получить решение исходного уравнения (1.17),
остается только вернуться к переменной y:
Тогда для левой части (1.19) будем иметь
17
и решение уравнения (1.17) окончательно запишется в виде
Пример 1.5. Решить задачу Коши, состоящую из уравнения
′
(1.20)
и начального условия
(1.21)
Решение. Нетрудно видеть, что уравнение (1.20) в точности соот-
ветствует форме (1.15) и, соответственно, является однородным. Представим его в виде (1.13):
и применим замену (1.16):
18
Отсюда, разделив переменные, получим два табличных интеграла:
Решив их, приходим к общему решению:
или, выразив t,
Выполнив обратную замену, будем иметь
Это общее решение уравнения (1.20). Найдем частное решение,
удовлетворяющее условию (1.21):
откуда C = 1. Таким образом, частное решение задачи Коши (1.20),
(1.21) имеет вид
19
1. 4. У равнени я в пол ных диффер енци алах
Дифференциальное уравнение называется уравнением в полных
дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный диф-
ференциал некоторой функции:
(1.22)
Соответственно, общее решение такого уравнения:
где C – произвольная константа.
Для того чтобы убедиться, что уравнение (1.22) действительно является уравнением в полных дифференциалах, необходимо проверить
выполнение условия
(1.23)
Если условие (1.23) не выполнено, можно попытаться отыскать
интегрирующий множитель – функцию, умножение на которую всего
уравнения приводит его к уравнению в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель, зависящий от x, ищется по формуле
(1.24)
а интегрирующий множитель, зависящий от y, – по формуле
(1.25)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]