Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения дифференциальных уравнений. Учебное пособие
.pdf
Решение. Уравнение (1.44) является линейным. В самом деле, раз-
делив обе его части на cos2 x, мы получим выражение, идентичное по
форме (1.34):
′
Правда, в таком преобразовании нет необходимости, и мы можем
сразу применять методы решения линейных дифференциальных уравнений. Решим (1.44) методом Лагранжа.
Вначале построим линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (1.44). Для этого
отбросим правую часть:
′ (1.46)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
В последнем равенстве положим теперь C = C(x):
(1.47)
Подставим полученное равенство в исходное уравнение (1.44):
′
′
31
откуда получим уравнение для определения неизвестной функции C(x):
′
(1.48)
Нам нужно проинтегрировать обе его части. Функция в правой части может показаться сложной для интегрирования. Однако можно заметить, что она содержит функцию cos
–2
x, которая является производ-
ной от tg x. Внесем ее под знак дифференциала и получим известный по
структуре интеграл, который легко вычисляется:
Отсюда
и остается подставить это выражение в (1.47) для получения общего решения исходного уравнения:
Теперь нам нужно удовлетворить начальному условию (1.45):
Таким образом, задача Коши (1.44), (1.45) имеет частное решение
32
Продемонстрируем теперь на этом же примере метод Бернулли
и найдем с его помощью общее решение уравнения (1.44). Положим
в (1.44) y = uv и преобразуем получившееся уравнение:
′′
(1.49)
′′
Выберем функцию v как частное решение уравнения
′
Будем иметь
Исходя из описанных ранее соображений, произвольную константу мы здесь не вводим. Подставим найденную функцию v в уравнение (1.49):
′
′
Нетрудно видеть, что здесь мы пришли к уже знакомому нам из
выражения (1.48) интегралу. Таким образом, функция u принимает вид
а общее решение уравнения (1.44) дается как произведение функций
u и v:
33
Разумеется, оно полностью совпадает с общим решением, полученным по методу Лагранжа.
Пример 1.9. Решить уравнение
′′ (1.50)
Решение. Это уравнение нельзя отнести к линейным. Однако мы
можем сделать его таковым, если поменяем ролями x и y. То есть будем
смотреть на x как на неизвестную функцию, а на y – как на ее аргумент.
Для этого воспользуемся формулой дифференцирования обратной
функции:
′
′
Тогда уравнение (1.50) приводится к виду
′ (1.51)
Это уравнение является линейным относительно x. Решим его методом
Лагранжа.
Линейное однородное уравнение, соответствующее (1.51), имеет
вид
′ (1.52)
Отсюда
Пусть теперь C = C(y) (в предыдущем примере неизвестная функция зависела от x, поэтому от x зависела и C; здесь же неизвестная функ-
ция x = x(y), поэтому C зависит от y):
34
Подставим (1.53) в уравнение (1.51):
Тогда
Интеграл в правой части последнего равенства можно взять по частям, положив
(1.53)
′
′ ′
Тогда
Таким образом,
и по формуле (1.53) общее решение исходного уравнения приобретает
вид
35
1. 6. У равнени я Лагра нжа и К леро
Дифференциальное уравнение вида
′′′ (1.54)
называется уравнением Лагранжа. Нетрудно видеть, что оно линейно
относительно x и y, а его коэффициентами служат функции от y'. Решается оно следующим образом.
Выразим в (1.54) y. В неявной форме уравнение примет следующий вид:
′′ (1.55)
где
′
′
′
Положим теперь
Тогда выражение (1.55) принимает вид
(1.57)
′
′ (1.56)
′
′
Продифференцируем уравнение (1.57) с учетом того, что dy = pdx:
′′
36
Если решением данного уравнения является функция
то в параметрической форме общее решение уравнения Лагранжа с учетом (1.57) может быть представлено в виде
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа
и имеет следующий вид:
′′ (1.58)
Алгоритм его решения аналогичен представленному выше: вводится замена (1.56), производится дифференцирование получившегося
уравнения и его решение. Общее решение уравнения Клеро имеет вид
При этом уравнение Клеро также всегда имеет особое решение,
которое в параметрической форме принимает вид
′
′
Отметим, что уравнение Лагранжа также может иметь особые решения.
Пример 1.10. Решить уравнение
′
37
′
(1.59)
Решение. Нетрудно видеть, что уравнение (1.59) представляет со-
бой уравнение Клеро. Пусть
Тогда будем иметь
Продифференцируем это уравнение и упростим получившееся выражение:
′
(1.60)
Последнее равенство возможно, если либо
(1.61)
либо выражение в скобках
(1.62)
Пусть выполняется (1.61). Тогда p = C, и, подставляя это равенство
в (1.60), получаем общее решение уравнения (1.59):
38
Рассмотрим теперь случай (1.62). Будем иметь
откуда, согласно (1.60),
или
Таким образом, мы получаем особое решение уравнения (1.59)
в параметрической форме:
Параметр p здесь можно легко исключить и записать особое реше-
.
(1.63)
ние в явном виде. Из первого равенства в (1.63) выразим p:
Подставим его во второе равенство (1.63) и получим
Это и будет особое решение уравнения (1.59), записанное в явном виде.
Пример 1.11. Решить уравнение
′
′
(1.64)
39
Решение. Здесь при x находится функция
′
′
а значит, (1.64) – это уравнение Лагранжа. Так же как и в предыдущем
примере, выполняем замену (1.56):
и дифференцируем получившееся уравнение:
Разделим обе части последнего выражения на p:
откуда получаем уравнение с разделяющимися переменными:
(1.65)
Проинтегрируем его:
с учетом свойств логарифмов
40
(1.66)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]