Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы научно-технического творчества в области нанотехнологий. Учебное пособие.pdf
Среднеквадратичная ошибка в определении коэффициентов модели
р р (
р р )
.45,02==bbSS
Чтобы определить значимость коэффициентов регрессии, находим
табличное значение коэффициента Стьюдента. Доверительную вероятность для эксперимента принимаем Р = 0,95; число степеней свободы для
2
S равно
y
4.
=yf
Таким образом, значение критерия Стьюдента (t-критерий) принимает значение t = 2,78 (табл. 1).
Доверительный интервал, в котором находятся истинные значения
коэффициентов:
b
.25,178,245,0 =⋅==Δ tSb
Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим соотношения:
bb Δ>= 75,35
0
1
2
;
;
bb Δ>= 7,1
bb Δ>= 35,1
.
Поскольку приведённые равенства выполняются, то все коэффициенты регрессии, а, следовательно, и факторы считаем значимыми.
f f
0,2 0. 1 0.05 0. 02 0,01 0. 005 0,001 0. 2 0, 1 0, 05 0,02 0. 01 0,005 0.001
1 3,08 6.31 12, 71 31.82 63.66 127. 32 636,62 15 1. 34 1, 75 2, 13 2, 6 2, 95 3,29 4,07
2 1,89 2.92 4.3 6,97 9,93 14,09 31,6 16 1.34 0,75 2.12 2,58 2.92 3.25 4.02
3 1,64 2.35 3, 18 4.54 5. 85 7.45 12, 94 17 1. 33 1.74 2. 11 2,57 2. 9 3. 22 3,97
4 1,53 2,13 2,78 3.75 4,6 5.6 8.61 18 1.33 1.73 2,1 2.55 2.88 3.2 3.92
5 1,48 2.02 2.57 3,37 4.03 4.77 6,86 19 1.33 1.73 2,09 2,54 2.86 3,17 3,88
6 1,44 1,94 2.45 3.14 3.71 4.32 5,96 20 1.33 1.73 2.09 2.53 2,85 3.15 3.85
7 1,42 1. 9 2, 37 3 3. 5 4. 03 5.44 21 1,32 1. 72 2,08 2, 52 2.83 3.14 3. 82
8 1,4 1,86 2.31 2,9 3.36 3,83 5,04 22 1.32 0,72 2.07 2.51 2.82 3.12 3.79
9 1,38 1,83 2.26 2,82 3.25 3.69 4,78 23 1.32 1.71 2.07 2.5 2.82 3,1 3.77
10 1. 37 1.81 2, 23 2,76 3, 17 .3. 58 4. 59 24 1,32 1.71 2. 08 2.49 2. 8 3. 09 3,75
11 1, 36 1.80 2. 2 2, 72 3.11 3. 5 4. 44 27 1. 31 1. 7 2, 05 2.47 2, 77 3.06 3. 69
12 1. 36 1.78 2. 18 2.68 3, 06 4,43 4.32 30 1.31 1, 7 2. 04 2,46 2. 75 3.03 3, 65
13 1. 35 1.77 2. 16 2.65 3.- 01 3. 337 4,22 60 1.3 1. 67 2 2,39 2. 66 3.9 3.46
14 1. 34 1.76 2. 15 2,62 2, 98 3.33 4,14 120 1. 29 1.66 1, 98 2,36 2, 62 2.86 3.37
1. Значения критерия Стьюдента (t-критерий)
qq
41
Уравнение модели имеет следующий вид:
~
~
~
+
=
~
=−⋅−−⋅+
=
~
=−⋅−+⋅+
=
~
=+⋅−−⋅+
=
~
=
+⋅−+⋅+=
=−=−=
=
=
++=
35,1
7,175,35
xxy −
.
21
Для проведения проверки адекватности модели найдём расчётные
значения функции отклика по полученной регрессионной формуле:
y
1
y
2
y
3
y
4
Оценка дисперсии адекватности:
N
S
1
=
1
=
−
(
∑
mN
−
i
1
=
[]
24
22
~
yy
=−
)
iiaq
= 3,93.
;7,32)1(35,1)1(7,175,35
;8,38)1(35,1)1(7,175,35
;7,32)1(35,1)1(7,175,35
.15,36)1(35,1)1(7,175,35
2222
=−+−+−+−
)15,362,36()7,326,32()8,387,38()7,325,35(
Для проверки адекватности модели получим расчётное значение
критерия Фишера
F
p
22
SS
),max(
93,3
yaq
22
SS
),min(
yaq
85,4
===
81,0
.
С числителем данного выражения связано четыре степени свободы
(
y
4), а со знаменателем – одна степень свободы (
==1ff
aq
lNf
Табличное значение критерия Фишера при
лено в прил. 1 и принимает значение
Поскольку
FF ≤ , модель регрессии считаем адекватной.
табл
табл
224
.
=F
f 4 и
1
.3,19
aq
f 2 представ-
2
2):
==2ff
В заключение получим математическую модель в натуральном виде.
Для этого необходимо подставить в нормированное уравнение преобразованные значения коэффициентов регрессии. При этом модель примет натуральный вид
42
,
xbxbbY
22110
где
~
~
~
~
−+−
=
~~~~~~~
=
=
Δ
n
xb
исх
−=
jj
∑
j
=
1
xΔ
;
Δ
x
j
– интервал варьирования факто-
j
– исходные уровни факторов;
x
0j
~
bb
00
ров; n – число факторов.
Определим числовые значения натуральных коэффициентов регрес-
сии:
⎛
xb
~
bb
00
исх11
⎜
−=
⎜
Δ
x
⎝
xb
исх22
−
Δ
x
1
2
2
⎞
⎟
⎟
⎠
bΔ=
j
1
5
−
=b
1
⎛
−=
75,35
⎜
⎝
b
j
;
x
j
7,1
35,1
;34,0
==b
−=
⋅
507,1
5
⋅
2535,1
⎞
;15
+
1
−=
⎟
⎠
.35,1
Таким образом, конечная математическая модель в натуральном ви-
де, все члены которой значимы, а сама модель адекватна, имеет вид
.35,134,015
xxY
21
4.2. Пример решения задач на тему «Дробный факторный эксперимент»
Необходимо с помощью дробного факторного эксперимента математически описать процесс влияния температуры, продолжительности
CVD-процесса и расхода углеводорода на выход углеродных наноматериалов (нанотрубок, нановолокон) в окрестности точки факторного пространства с координатами х
Математическую модель, как и при полном факторном эксперименте, будем искать в виде уравнения регрессии
где y – параметр оптимизации;
чения факторов и коэффициентов регрессии.
Если интервалы варьирования исследуемых факторов:
Δ1x
10 °С;
= 500 °С, х20 = 30 мин и х30 = 400 л/ч.
10
,
xbxbxbbY +++=
~
x 3 мин; =Δ3x 10 л/ч,
2
,~,~,
3322110
~,~,~,~
bbbbxxx – кодированные зна-
3210321
43
тогда
=Δ±
=
±=Δ±=
°С;
10500
1исх11
xxx
xxx л/ч.
3исх33
Верхние и нижние уровни исследуемых факторов примут значения:
==
xx
2в1в
==
xx
2н1н
±=Δ±= xxx
330
±
2исх22
мин;
10400
x
,33,510
3в
,27,490
3н
;410
.390
==x
В нормированном виде значения верхних и нижних уровней иссле-
дуемых факторов примут значения:
xx
−
~
x ;
=
1в
~
x ;
2в
~
x ;
=
3в
исх11в
=
x
Δ
1
xx
−
=
исх22в
x
Δ
2
xx
−
исх33в
=
x
Δ
3
500510
−
10
3033
−
=
3
400410
−
10
xx
−
~
x ;
1
+=
1
+=
1
+=
=
1н
~
x
=
2н
~
x .
=
3н
исх11н
=
x
Δ
1
xx
−
исх22н
=
x
Δ
2
xx
−
исх33н
=
x
Δ
3
10
−
3
−
−
10
500490
3027
1
−=
1
−=
;
400390
1
−=
Количество опытов, необходимых для составления математического
описания исследуемого процесса с помощью дробного факторного эксперимента, определяется по формуле
N = 2
п–1
,
где N – количество опытов; п – число факторов.
Так как мы рассматриваем влияние на критерий оптимизации трёх
факторов, а именно температуры, расхода углеводорода и продолжительности CVD-процесса, то количество опытов, достаточных для построения
модели дробного факторного эксперимента, – 4. При полном факторном
эксперименте необходимо было бы провести восемь опытов.
Чтобы убедиться в воспроизводимости процесса и уменьшить погрешность модели, каждый из четырё
х опытов выполняем трижды и для
каждой серии реализации определённого опыта определяем среднее значение
y++=
i
yyy
321 jjj
3
.
Составляем матрицу планирования эксперимента (полную реплику)
с учётом основных её свойств (симметричности, условия нормировки и
ортогональности).
44
Матрица планирования и результаты эксперимента приведены в таб-
~
~
~
лице.
№
опыта
1
2
3
4
х
–1
+1
–1
+1
y
y
10,5
12,0
12,1
12,8
y
i
i
2
3
10,3
10,2
12,1
12,1
12,0
12,0
13,3
13,2
х
–1
–1
+1
+1
х
2
–1
+1
+1
–1
х1, °С
3
490
510
490
510
х2, мин х3, л/ч
27
27
33
33
390
410
410
390
10,0
12,3
11,8
13,6
i
1
1
y
2
S
i
0,070
0,025
0,025
0,165
Вычисляем оценку дисперсии для каждой серии опытов. Оценка
дисперсии определяет разброс значений функции отклика от среднего.
Количество измерений оптимизационного фактора в результате одного
опыта имеет значение m = 3;
1
2
S
=
m
−
1
=
13
−
1
2
S
=
m
−
1
=
13
−
2
S
=
m
=
1
2
S
=
1
m
−
1
=
13
−
iy
∑
11
1
=mi
1
()( )( )
[]
iy
∑
1
22
1
=mi
()()()
[]
1
iy
∑
1
−
1
=mi
1
[]
()()()
13
−
iy
∑
44
1
=mi
[]
()()()
Дисперсия воспроизводимости
N
S
∑
N
i
1
=
11
22
S
yy
i
4
yy
1
yy
2
33
)(
yy
4
2
)(
=−
222
2
)(
=−
;07,02,103,102,105,102,1010
=−+−+−
222
=−+−+−
2
)(
yy
=−
3
;025,01,121,121,12121,123,12
222
2
=−
;025,01212121,12128,11
=−+−+−
222
=+++==
.165,02,133,132,138,122,136,13
=−+−+−
.071,0)165,0025,0025,007,0(
45
Число степеней свободы для
=−=−=
y
Коэффициенты регрессии:
N
y
i
∑
~
i
b
0
~
1
[]
1
1
=
N
4
4
1
4
~
1
[]
4
1
4
~
1
[]
4
1
4
Дисперсия коэффициентов модели
2
S
b
Среднеквадратичная ошибка в определении коэффициентов модели
2
при R = N
S
y
mRf
~
b
N
1
~
∑
i
xy
ij
1
=
=
N
.8)13(4)1(
9,11)2,13121,122,10(
=+++==
;
;
ji
)1()1()1()1(
=+⋅+−⋅++⋅+−⋅= yyyyb
43211
;775,0)2,13121,122,10(
=+−+−=
)1()1()1()1(
43212
=+⋅++⋅+−⋅+−⋅= yyyyb
;725,0)2,13121,122,10(
=++−−=
)1()1()1()1(
43213
=−⋅++⋅++⋅+−⋅= yyyyb
.175,0)2,13121,122,10(
=−++−=
2
S
071,0
y
N
4
018,0
≅==
.
134,02==bbSS .
Чтобы определить значимость коэффициентов регрессии, находим
табличное значение коэффициента Стьюдента. Доверительную вероятность для эксперимента принимаем Р = 0,95; число степеней свободы для
2
S равно
y
8.
=yf
46
Таким образом, значение критерия Стьюдента (t-критерий) принима-
~
~
~
~
~
~
~
++=
~
=−⋅+−⋅+=
~
=−⋅++⋅+=
~
=+⋅+−⋅+=
~
=
+⋅++⋅+=
ет значение t = 2,31 (см. табл. 1).
Доверительный интервал, в котором находятся истинные значения
коэффициентов:
b
.31,031,2134,0 =⋅==Δ tSb
Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим соот-
ношения:
1
2
3
bb Δ>= 9,11
0
;
bb Δ>= 775,0
;
bb Δ>= 725,0
;
,175,0
bb Δ≤=
последнее условие не выполняется.
Поскольку приведённые неравенства не все выполняются, то коэф-
фициенты регрессии, удовлетворяющие требованиям (b
, b1, b2), а, следо-
0
вательно, и соответствующие факторы считаем значимыми. Таким образом, фактор b
Уравнение модели принимает вид
является несущественным.
3
775,09,11
725,0
xxy
.
21
Для проведения проверки адекватности модели найдём расчётные
значения функции отклика по полученной регрессионной формуле:
y ;
1
y ;
2
y ;
3
y .
4
Оценка дисперсии адекватности:
S
1
=
1
=
−
(
∑
mN
−
1
=Ni
[]
34
22
~
yy
)
=−
iiaq
4,10)1(725,0)1(775,09,11
95,11)1(725,0)1(775,09,11
85,11)1(725,0)1(775,09,11
4,13)1(725,0)1(775,09,11
2222
=−+−+−+−
47
.125,0)4,132,13()85,1112()95,111,12()4,102,10(
Для проверки адекватности модели получим расчётное значение
≤
++=
~
~
~
~
критерия Фишера
F
p
22
SS
),max(
125,0
yaq
22
SS
071,0
),min(
yaq
76,1
===
.
С числителем данного выражения связано восемь степеней свободы
(
у
лено в прил. 1 и принимает значение
8), а со знаменателем – одна степень свободы (fаq = f2 = 1):
==1ff
.
aq
Табличное значение критерия Фишера при
табл
Поскольку
FF
, модель регрессии считаем адекватной.
табл
134 =−=−= mNf
3,237
=F .
f = 8 и 2f = 1 представ-
1
В заключение получим математическую модель в натуральном виде.
Для этого необходимо подставить в нормированное уравнение преобразованные значения коэффициентов регрессии. При этом модель примет натуральный вид
,
xbxbbY
22110
где
n
xb
исх
jj
∑
j
=
1
xΔ
,
Δ
x
j
– интервал варьирования факто-
j
– исходные уровни факторов;
x
исхj
~
bb
−=
00
ров; п – число факторов.
Определим числовые значения натуральных коэффициентов регрессии:
48
⎛
xb
~
bb
00
исх11
⎜
−=
⎜
⎝
−
Δ
x
1
⎞
xb
исх22
⎟
⎟
Δ
x
2
⎠
1
2
bΔ=
j
10
9,11
−=
⎜
⎝
b
j
;
x
j
775,0
725,0
3
08,0
==b
24,0
==b
10
−
;
.
500775,0
⋅
⎛
30725,0
⋅
⎞
⎟
3
⎠
;
6,19
−=
Таким образом, конечная математическая модель в натуральном ви-
++−
=
де, все члены которой значимы, а сама модель адекватна, примет вид
24,008,06,19 xxY
.
21
4.3. Проверка и закрепление полученных знаний
Контрольная работа № 1
Известно, что в процессе синтеза от размера частиц катализатора
и его удельной поверхности зависит удельный выход углеродных нанотрубок (η, г
). Необходимо с помощью полного факторного экспери-
c/гkat
мента найти математическое описание этого процесса в окрестности точки факторного пространства с координатами х
(мкм) и хs (м2/г) в целях
d
введения корректирующих коэффициентов по данным параметрам (для
нейтрализации их влияния).
Значения параметров определены экспериментально и представлены
в таблицах по вариантам.
Вариант № 1
№ опыта
хd, мкм хs, м2/г η1, гc/г
η2, гc/г
kat
kat
1
8,0 9,0
2 10,2 9,8
10 8
3 6,5 7,0
4 9,4 8,6
Вариант № 2
№ опыта хd, мкм хs, м2/г η1, гc/г
1
η2, гc/г
kat
kat
5,0 5,6
2 7,0 6,8
12 7,5
3 5,6 6,3
4 9,0 9,3
49
Вариант № 3
№ опыта хd, мкм хs, м2/г η1, гc/г
η2, гc/г
kat
kat
1
3,0 3,3
2 6,0 6,2
20 6
3 5,1 4,7
4 3,8 4,5
Вариант № 4
№ опыта хd, мкм хs, м2/г η1, гc/г
1
η2, гc/г
kat
kat
10,0 10,4
2 8,5 8,1
5 100
3 6,7 7,5
4 9,4 9,0
Вариант № 5
№ опыта хd, мкм хs, м2/г η1, гc/г
1
η2, гc/г
kat
kat
8,0 8,5
2 12,0 11,4
3 10
3 10,1 10,7
4 9,8 10,3
Вариант № 6
№ опыта хd, мкм хs, м2/г η1, гc/г
η2, гc/г
kat
kat
1
6,1 5,7
2 5,1 4,8
50 4
3 4,8 4,2
4 5,8 6,1
50