3.3. Матрица планирования эксперимента

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы научно-технического творчества в области нанотехнологий. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

YYYΔ±

tYYσ

±=Δ

где Y − среднее арифметическое значение случайной величины; σ − средняя квадратичная ошибка измерений; n − число повторных измерений; t − табличное значение критерия Стьюдента для n – количества повторных измерений при доверительной вероятности 0,95.

Среднюю квадратичную ошибку повторяемых измерений определя-

ют из выражения

=σ

∑

−

)(

−

Величина, указанная в знаменателе (α = n – 1), называется степенью свободы. Под степенью свободы подразумевается число независимых измерений (общее число измерений минус число наложенных связей). Обычно накладывают одну связь, поэтому α = n – 1 [14].

3.3. Матрица планирования эксперимента

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если число уровней факторов равно двум, то имеем ПФЭ типа 2

. Очень удобно условия проведения эксперимента представлять в виде матрицы планирования эксперимента (таблица). Столбцы матрицы отражают уровни воздействующих факторов (т.е. значение фактора из факторного пространства, полученное экспериментально), а строки – номера опытов.

Воздействие факторов на параметр оптимизации может зависеть от уровня другого фактора или от сочетания уровней нескольких факторов. Если неизвестно, кака

я существует зависимость между факторами, то прибегают к построению развёрнутой матрицы планирования, учитывающей не только факторы, но и их взаимодействия. В таких случаях знаки в столбце, учитывающем взаимодействие исследуемых факторов, определяют перемножением знаков соответствующих факторов.

Иногда матрицы ПФЭ называют полными репликами. При заполнении

матрицы планирования эксперимента значения у

ровней рассматриваемых факторов принято обозначать математическими знаками («+», «–»), а цифру опускают. Матрица 2-факторного эксперимента (при двух уровнях) представлена в таблице.

Матрица планирования эксперимента для 2-факторного экспери-

мента

Номер опыта

1 +1 +1 y 2 +1 –1 y 3 –1 +1 y 4 –1 –1 y

Обозначения в таблице: x

, x2 – факторы, воздействующие на параметр

оптимизации; Y – значение оптимизационного параметра, определённое в ходе эксперимента. Аналогично матрице ПФЭ для 2-факторного эксперимента составим полную реплику для 3-факторного эксперимента.

Матрица планирования эксперимента для 3-факторного экспери-

мента

№ опыта

1 +1 +1 +1 y 2 –1 +1 +1 y 3 +1 –1 +1 y 4 –1 –1 +1 y 5 +1 +1 –1 y 6 –1 +1 –1 y 7 +1 –1 –1 y 8 –1 –1 –1 y

Основными свойствами матрицы ПФЭ являются:

•

алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна

нулю:

∑

=Ni

где i – номер фактора; j – номер опыта; N – число опытов. Это свойство называют симметричностью и основано оно на симметричности плана относительно начало координат;

сумма квадратов элементов столбца каждого фактора равна числу

•

опытов:

∑

Это свойство называют условием нормировки, так как вытекает оно из того, что все рассматриваемые факторы представлены в матрице в нормированном виде;

•

сумма почленных произведений любых двух столбцов матрицы

равна нулю:

∑

=Ni

riij

Это свойство называется ортогональностью. Свойство ортогональности позволяет упростить вычисления и получить независимые оценки коэффициентов регрессии.

Это свойство может быть полезным, когда точный вид модели неизвестен и требуется по экспериментальным данным отобрать факторы, существенно влияющие на исследуемый параметр.

Обычно прибегают к построению матриц, когда в эксперименте большое количество всех возможных комбинаций уровней и все их просто невозможно (сложно) найти перебором. Согласно работе [15] существуют три способа пер большей размерности.

ехода от матриц меньшей размерности к матрицам

1. Применяют, когда при исследовании появляется новый фактор. Каждая комбинация уровней исходного фактора встречается дважды, в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется приём: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. Этот приём можно применить для матриц любой размерности.

2. Этот сп

особ применим для построения матриц любой размерности, однако он сложнее, чем первый. При построчном перемножении уровней исходной матрицы получаем дополнительный столбец произведения x

x2, далее повторяем исходный план, а у столбца произведений

знаки меняем на обратные.

3. Способ основан на чередовании знаков. В первом столбце знаки

меняются поочерёдно, во втором столбце они чередуются через 2 раза, в третьем − через четыре, в четвёртом − через восемь и т.д.

Таким образом, матрица ПФЭ типа

2 симметрична, ортогональна и

отвечает условию нормировки. С помощью таких свойств полной реплики, как симметричность и условие нормировки, можно значительно упростить процесс вычисления коэффициентов модели. Коэффициенты модели удобнее определять в нормированном виде.

Полный факторный эксперимент имеет существенный недостаток – если исследуемых факторов больше трёх, то необходимо провести огромное количество оп

ытов, чтобы написать математическую модель и найти

оптимальные параметры процесса. В таких случаях часто применяют

дробный факторный эксперимент – когда количество опытов существенно

++=

меньше числа возможных сочетаний уровней плана, но при этом сохраняются все свойства полного факторного эксперимента. Матрицу дробного факторного эксперимента называют дробной репликой. Иногда встречаются термины «полуреплика» (когда 50% от ПФЭ) и «четверть-реплика» (25% от ПФЭ). Количество опытов, необходимых в случае дробного фак-

рного эксперимента для написания математической модели процесса,

то

n – 1

N = 2

, где n – количество исследуемых факторов.

Достоинствами дробного факторного эксперимента является меньшее число экспериментов, необходимых для планирования, особое внимание уделяется параметрам, которые оказывают наибольшее влияние на изменение параметра оптимизации. Помимо достоинств, есть и недостатки. Так, при переобозначении вектор-столбцов происходит смешивание эффектов различного порядка, в результате чего полученная математическая мо

дель становится нечувствительной к вкладам, вносимым смеши-

ваемыми эффектами по отдельности [16].

3.4. Определение коэффициентов регрессионного уравнения

Построив матрицу планирования эксперимента и проведя необходимые опыты, переходят к определению значений коэффициентов регрессии. Данные коэффициенты позволяют оценить степень значимости влияния фактора на параметр оптимизации. Так, например, в математической модели, выраженной в виде уравнения регрессии

коэффициенты регрессии ния факторов

, xx на оптимизационный параметр изучаемого процесса.

,bb являются показателями значимости влия-

xbxbbY

22110

Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент положительный, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если отрицательный, то уменьшается. Значения коэффициентов модели в нормированном виде определяют по формулам:

∑

==1

;

∑

==1

; ,

∑

где N – число опытов; i – номер опыта.

Так как в уравнении регрессии используются коэффициенты в натуральном виде, следовательно, необходимо определить коэффициенты регрессии в натуральном виде:

∑

исх

;

−=

bΔ=

– интервал варьирования фак-

где

– исходные уровни факторов;

исхi

торов; п – число факторов.

Так как y является случайной величиной, то и найденные коэффициенты также являются случайными и для них тоже важно знать, с какой точностью они были определены.

Вначале находят дисперсию коэффициентов регрессионной модели как

где

S – среднее значение дисперсий; N – число опытов.

Среднеквадратичная ошибка коэффициентов регрессии определяется по формуле

SS =

Интервал варьирования коэффициента bΔ находят с использованием коэффициента Стьюдента

где

S – среднеквадратичная ошибка определённых коэффициентов;

tSb

t – табличное значение коэффициента Стьюдента.

Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполняется неравенство

bb Δ> . Незначимость коэффициента может быть обу-

словлена не только неверным выбором факторов, но и неверным выбором интервала варьирования исследуемого фактора. В последнем случае бывает достаточным расширить интервал варьирования и провести новый эксперимент.

3.5. Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости эксперимента

Любой эксперимент содержит элемент неопределённости вследствие ограниченности экспериментального материала. Проведение повторных опытов не даёт полного совпадения результатов, так как всегда существует ошибка эксперимента. Данную ошибку можно оценить по параллельным опытам. Таким образом, необходимо проверить точность проведения каждого опыта в поставленном эксперименте и провести проверку одно-

родности дисперсий по результатам параллельных опытов. Опыт считают воспроизводимым только в том случае, если дисперсия выходного параметра в любой точке факторного пространства является однородной. Оценку дисперсии осуществляют по формуле

∑

−

,)(

−

iinyi

где m – количество измерений оптимизационного фактора в результате одного опыта.

Проверку однородности дисперсий можно осуществлять по критериям Кохрена и Фишера. Нужно учитывать, что критерий Фишера всегда больше единицы. Проверку однородности дисперсий опытов по критерию Фишера осуществляют, соблюдая некоторую последовательность действий. Для начала находят расчётное значение Фишера. Зная значения оце-

к дисперсии воспроизводимости опытов, расчётный критерий Фишера

но находят как отношение максимального значения дисперсии воспроизводимости к её минимальному значению:

Табличное значение критерия Фишера находят, зная числа степеней

F =

max

min

свободы (прил. 1). Дисперсии считают однородными, если выполняется

< F

условие: F

расч

. В данном случае математическое описание процесса

табл

(уравнение) может применяться при определении оптимизационных параметров, но его не рекомендуется использовать при проверке гипотез о механизмах, происходящих в исследуемом процессе.

По критерию Кохрена

max

∑

Табличное значение критерия Кохрена берут в зависимости от числа степеней свободы числителя (1) и знаменателя (2):

ƒ1 = n – 1 и ƒ2 = N.

При G

расч

< G

дисперсии однородны, а полученное уравнение рег-

табл

рессии является адекватным. Если данное условие не выполняется, то эксперимент необходимо повторить, изменив условия его проведения. Таблица значений критерия Кохрена приведена в прил. 2.

3.6. Математическая модель исследуемого процесса

+++++

Математическое описание основ изучаемого объекта или явления, выраженное в виде формул, уравнений, называют математической моделью. Так как реальные процессы и явления очень сложны и механизмы их зачастую не известны, то при их моделировании очень часто прибегают к использованию «чёрного ящика» (рис. 1). Чтобы построить математическую модель, необходимо последовательно решить следующие за

дачи:

9 выбрать параметр оптимизации;

9 определить факторы, оказывающие влияние на оптимизационный

параметр;

9 провести опыты;

9 определить коэффициенты регрессии;

9 составить математическое описание процесса.

Так как реальное описание процесса установить невозможно, то прибегают к использованию аппроксимирующего полинома (2), при этом проверяют возможность линейной аппроксимации функции отклика. Если полином имеет более высокий порядок, то коэффициенты регрессии в таком случае имеют очень малые значения по сравнению со значениями основных исследуемых факторов, оказывающих роль на о

птимизационный параметр (критерий). При этом модель принимает вид выражения (3). Так, линейная модель 5-факторного эксперимента принимает вид

xbxbxbxbxbbY

55443322110

Если не известен характер функции отклика, то сначала выбирают линейную модель, и если она оказывается неадекватной, то тогда выбирают модели более высоких порядков (неполную квадратичную, квадратичную и др.). Затем составляют матрицу планирования эксперимента (строят план эксперимента) и проводят опыты. Определяют коэффициенты регрессионной модели в нормированном виде, а затем в натур

альном. После этого модель становится определённой и выясняется, как влияют изучаемые факторы на оптимизационный критерий (являются ли факторы значимыми), а также является ли модель адекватной и соответствует ли она реальному процессу или явлению. Принято считать, что коэффициент

значимо отличается от нуля, если

bb Δ> .

Если данное условие не выполняется, то соответствующий член уравнения регрессии будет неразличим на фоне разброса, с которым определяется величина оптимизационного критерия в опытах. Слагаемые с незначительными коэффициентами отбрасываются и влияние факторов (или сочетаний факторов), входящих в данные члены модели, считается нулевым. Адекватность модели проверяется путём сравнения дисперсий адекватности и воспроизводимости с по расчётное значение F

меньше табличного F

расч

мощью критерия Фишера. Если

, то с принятой довери-

табл

тельной вероятностью можно утверждать, что уравнение регрессии адек-

ватно отражает результаты опытов, а разброс опытных данных относи-

=Δ±

−

тельно расчётных находится в пределах ошибок эксперимента.

Полученное после обработки результатов эксперимента уравнение регрессии будет справедливо лишь для области, ограниченной верхними и нижними уровнями факторов. Экстраполяция модели за данные пределы неправомерна [18].

4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

4.1. Пример решения задач на тему «Полный факторный эксперимент»

Необходимо дать математическое описание процесса влияния дисперсности частиц катализатора и их удельной поверхности на выход нанопродукта в окрестности точки факторного пространства с координатами х

где Y – параметр оптимизации;

= 50 мкм и х

1исх

Математическую модель будем искать в виде уравнения регрессии

= 25 м2/г

2исх

xbxbbY ++=

,~,

22110

~,~,~

bbbxx

– кодированные значения

21021

факторов и коэффициентов регрессии.

Если интервалы варьирования исследуемых факторов:

5 мкм; =

x 1 м

/г,

тогда

мкм;

550

xxx

Верхние и нижние уровни исследуемых факторов примут значения:

1исх11

xxx

2исх22

2в1в

2н1н

125

/г.

;26,55

.24,45

====xx

В нормированном виде значения верхних и нижних уровней исследуемых факторов примут значения:

1в

1н

−

11в

исх

исх11н

5055

−

;

5045

−=

;

−

[

2в

2н

исх22в

исх22н

2526

−

;

2524

−=

Количество опытов, необходимых для составления математического

описания исследуемого процесса, определяется по формуле

N = 2

где N – количество опытов; k – число факторов.

Так как мы рассматриваем влияние на параметр оптимизации двух факторов, а именно удельной поверхности и дисперсности частиц катализатора, то количество опытов которых достаточно для построения модели полнофакторного эксперимента – 4.

Чтобы убедиться в воспроизводимости процесса и уменьшить погрешность модели, каждый из четырёх опытов выполняем дважды и для каждой серии р

еализации определённого опыта определяем среднее зна-

чение

Составляем матрицу планирования эксперимента (полную реплику) с учётом основных её свойств (симметричности, условия нормировки и ортогональности).

Матрица планирования эксперимента и результаты измерений оптимизационного фактора приведены в таблице.

№

опыта

, мкм х2, м2/г

1 2 3 4

–1 +1 –1 +1

–1 –1 +1 +1

45 55 45 55

24 24 26 26

35,0 39,3 31,8 36,8

36,0 38,1 33,4 35,6

35,5 38,7 32,6 36,2

0,50 0,72 1,28 0,72

Вычисляем оценку дисперсии для каждой серии опытов. Оценка дисперсии определяет разброс значений функции отклика от среднего.

Количество измерений оптимизационного фактора в результате одного опыта

имеет значение m = 2;

−

∑

=mn

)(

=−

()()

−

]

;

5,05,35365,3535

=−+−

[

∑

−

=mn

∑

−

=mn

∑

−

Дисперсия воспроизводимости

∑

=Ni

Число степеней свободы для

)(

=−

)(

=−

)(

=−

()()

−

()()

−

()()

−

S при R = N

Коэффициенты регрессии (в качестве

∑

[]

∑

[]

Дисперсия коэффициентов модели

81,0

]

81,0)72,028,172,05,0(

=+++==

4)12(4)1( =−=−= mRf

;

берут

)

;75,35)2,366,327,385,35(

=+++==

43211

)1()1()1()1(

=+⋅+−⋅++⋅+−⋅= yyyyb

;

72,07,381,387,383,39

=−+−

]

28,16,324,336,328,31

=−+−

;

]

72,02,366,352,368,36

=−+−

;7,1)2,366,327,385,35(

=+−+−=

)1()1()1()1(

43212

=+⋅++⋅+−⋅+−⋅= yyyyb

.35,1)2,366,327,385,35(

−=++−−=

.203,0

≅==

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]