Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы алгебры в теории управления. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Е. М. Васильев, А. А. Катрахова, В. С. Купцов
МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ В ТЕОРИИ
УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Воронеж 2023
УДК 681.5:512
ББК 22.14+32.965
В191
Рецензенты:
кафедра математического и прикладного анализа
Воронежского государственного университета
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, профессор А. И. Шашкин);
В. В. Провоторов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры уравнений
в частных производных и теории вероятности
Воронежского государственного университета
Васильев, Е. М.
Методы алгебры в теории управления: учебное пособие
[Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные
В191
нения алгебраических методов анализа и синтеза систем автоматического
управления.
технических системах» (профиль «Управление и информатика в технических
системах») в качестве учебного пособия при изучении дисциплин
«Математика», «Теория автоматического управления».
(2,5 Мб) / Е. М. Васильев, А. А. Катрахова, В. С. Купцов. –
Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2023. – 1 электрон. опт. диск (DVD-ROM): цв.
– Сиcтем. требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows 10;
SVGA c разрешением экрана 1024х768; Adobe Acrobat; CD-ROM
дисковод; мышь. – Загл. с экрана.
ISBN 978-5-7731-1085-9
Изложены теоретические сведения и практические приёмы приме-
Предназначено для студентов направления 27.03.04 «Управление в
Ил. 23. Табл. 7. Библиогр.: 31 назв.
УДК 681.5:512
ББК 22.14+32.965
Издаётся по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-1085-9 © Васильев Е. М., Катрахова А. А.,
Купцов В. С., 2023
© ФГБОУ ВО «Воронежский
государственный технический
университет», 2023
2
ВВЕДЕНИЕ
Многообразие методов анализа и синтеза систем автоматического регулирования предполагает использование соответствующих разделов математики, изучение которых методически целесообразно осуществлять на примерах решения прикладных задач теории управления. Такой подход к изучению
курса «Математика» отвечает современной концепции практической направленности профессионального образования, и
требует создания междисциплинарной учебной литературы.
Настоящее учебное пособие совмещает в себе изложение крупного раздела математики, посвящённого методам алгебры, с раскрытием способов и приёмов использования этих
методов в конкретных разделах теории автоматического управления.
В пособии рассматриваются:
• теория матриц;
• системы алгебраических уравнений;
• многочлены и квадратичные формы;
• элементы операционного исчисления;
• функциональные ряды;
• анализ устойчивости и точности регулирования;
• приёмы коррекции систем управления.
Разделы пособия снабжены многочисленными примерами, иллюстрациями, контрольными заданиями и вопросами.
Содержание пособия сформировано авторами в течение
ряда лет в результате чтения лекций в Воронежском государственном техническом университете.
3
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
... ... ...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
11 12 1
21 22 2
... ... ... ...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
ij
a
11 12
21 22
a a
a a
И ВЫЧИСЛЕНИЕ
1.1. Определение. Способы вычисления
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n, так называемую, таблицу чисел, состоящую из n строк и n столбцов
...
11 12 1
...
А=
21 22 2
.
...
...
1 2
С каждой такой матрицей связана вполне определенная
числовая характеристика, называемая определителем n-го порядка:
...
∆ = det A=
...
.
где i = 1,2,...,n – номер строки, j = 1,2,...,n – номер столбца.
матрице, называется число
1 2
...
Числа
При n=2 имеем матрицу
называются элементами определителя,
A
=
.
Определителем 2-го порядка, соответствующим такой
4
11 22 12 21
a a a a
∆ = = ⋅ − ⋅
Определителем 3-го порядка (n=3), соответствующим
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
13 22 31 11 32 23 33 12 21
a a a a a a a a a
− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
матрице
a a
11 12
a a
21 22
.
А=
,
называется число, вычисляемое по формуле
∆=
=
a a a a a a a a a
11 22 33 13 21 32 31 12 23
Эту формулу удобно изобразить следующей схемой
=
+
+
.
–
–
–
где линией показано произведение соответствующих элементов со знаком плюс или минус.
5
–
,
Пример 1.1. Вычислить определитель:
5 4 1 1 4 3 2 5 2 3 1 0
− = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ − ⋅ −
()()(
)
2 4 0 1 1 2 3 5 3 35.
(
)
ij
A a
, 1,
i j n
1 ... .
n
p p np
a a a
...
n
p p np
a a a
1
k
−
21
a
1 3 0
1 2 3
4 1 3
1 3 2
−
0 2 3
−
− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − =
Определителем n-го порядка называется число, полученное из элементов матрицы
a a a
11 12 1
a a a
21 22 2
...
...
n
n
... ... ... ...
( ) ( ) ( )
= ,
= −
( )
∑
= по формуле:
k
1 2
1 2
a a a
1 2
n n nn
...
Это выражение представляет собой алгебраическую
сумму всевозможных произведений n элементов
взятых со знаком
( )
.
Определитель равен сумме произведений всех элементов
Любой из его строк (столбцов) на их алгебраические дополнения (для любого номера i-ой строки (столбца) i-1,2,..n.
Пример 1.2. Найти алгебраическое дополнение элемента
в определителе
∆ = .
6
1 2
1 2
,
Согласно определению, алгебраическое дополнение
21
a
21
M
3 0
1 3
2 3 4
1 2 1
3 4 5
3 4 2 4 2 3
4 5 3 5 3 4
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
1 0 3 0
2 1 4 1
0 2 2 3
3 2 0 1
− −
элемента
Пример 1.3. Вычислить определитель 3-его порядка:
Разлагаем его по элементам второй строки.
2 3 4
1 2 1 1 1 2 1 1 1
3 4 5
= − − + − − − = − + = −
Пример 1.4. Вычислить определитель 4-го порядка:
равно:
2 1
А21=
+
1
− = (–1)
( )
⋅ = – 9.
.
2 1 2 2 2 3
+ + +
( ) ( ) ( )
15 16 2 10 12 8 9 1 4 1 2.
( ) ( ) ( )
−
−
Разлагая определитель по элементам первой строки,
приведем его к сумме определителей 3-го порядка, причем таких определителей будет только два, поскольку два элемента
первой строки являются нулями и их алгебраические дополнения вычислять не нужно:
7
.
1 0 3 0
1 4 1 2 1 1
1 1 2 2 3 3 1 0 2 3
2 0 1 3 2 1
= ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ =
1 2 3 4
1 0 1 2
3 1 1 0
1 2 0 5
2 1 4 1
−
0 2 2 3
3 2 0 1
= − − − + + − − − + = −
( ) ( )
−
− −
2 24 4 8 3 4 9 6 12 43.
( ) ( )
− −
1 1 1 3
+ +
− − − −
1.2. Свойства определителей n-го порядка
1. Определитель не изменится, если строки его заменить
столбцами, а столбцы – соответствующими строками.
2. Определитель, содержащий две одинаковые строки
(столбца), равен нулю.
3. Общий множитель элементов какой-нибудь строки
(столбца) может быть вынесен за знак определителя.
4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель
меняет знак на противоположный.
5. Определитель не изменится, если к элементам одной
строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой
строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Пример 1.5. Вычислить определитель
преобразуя его к треугольному виду, т.е. чтобы элементы
по одну сторону главной диагонали стали равны нулю. Тогда
определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.
На основании свойства 5 первую строку умножим на
(-1) и сложим со второй строкой, затем – с четвертой. Далее,
умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей строкой.
Величина определителя при этом не изменится.
8
− −
,
Этот способ называется «делать нули».
1 2 3 4
1 0 1 2
3 1 1 0
1 2 0 5
−
1 2 3 4
0 2 2 2
0 7 10 12
0 0 3 9
− − −
− − −
− −
1 2 3 4
0 1 1 1
0 7 10 12
0 0 1 3
1 2 3 4
0 1 1 1
0 7 10 12
0 0 1 3
1 2 3 4
0 1 1 1
0 0 3 5
0 0 1 3
1 2 3 4
0 1 1 1
0 0 3 5
0 0 0 4/ 3
=
− −
= – 6 ·
=(–2)·(–3)·(–1)·
.
Вторую строку умножаем на (-7) и складываем с третьей. Далее, третью строку – на (-1/3) и складываем с четвертой.
– 6 ·
= – 6 ·
= – 6·3·(4/3) = – 24.
=
9
2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
m n
×
, , , .
n m N
m=n
(
)
ij
A a
ij
A a
1,2,..., ; 1,2,..., .
i m j n
= =
ij
a
ij ji
a a
2.1. Основные понятия и определения
Матрицей размерности
называется прямоугольная
таблица чисел из m строк и n столбцов:
А=
a a a
a a a
a a a
...
11 12 1
...
21 22 2
... ... ...
...
...
1 2
n n nn
n
n
∈
Числа m и n называются порядком матрицы. Если
, то матрица называется квадратной. Обозначают матрицу
(для краткости) так иногда
= или
= ,
где i– номер строки, j– номер столбца.
Числа
элементы квадратной матрицы A удовлетворяют условию
= , то матрица называется симметрической. Если в квад-
ратной матрице поменять строки со столбцами соответственно
с одними и теми же номерами, получается транспонированная
матрица
называются элементами матрицы A. Если
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]