Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы алгебры в теории управления. Учебное пособие
.pdf
1
x
2
x
1 5
2 1
−
3
x
4
x
3 4
5 1 3 ,
x x
1
x
2
x
3
x
4
x
14 2 1
11 11 11
= = − + +
6 7 2
11 11 11 11
= = − − +
3 1 4 2
x c x c
= =
1 2
,
c c
1 1 2 2 1 2 3 1 4 2
11 11 11 11 11 11
x c c x c c x c x c
= − + + = − − + = =
r n
<
1 2
и
c c
За базисные неизвестные примем
и
. Это можно
сделать, так как определитель
из коэффициентов при
этих неизвестных отличен от нуля. Свободными неизвестными
служат
и
. Переписав систему в виде
x x
+ = −
1 2
2 2
− =− +
4
xx x x
31 2 4
−
,
выразим
и
через
и
по правилу Крамера:
x x
1 4 3 5
− −
3 4
x x
2 1
− + −
x x x
1 3 4
3 4
1 5
2 1
−
,
1 1 4 3
2 2
x x x
2 3 4
x x
− −
3 4
x x
− +
3 4
−
.
Полагая свободные переменные
,
,
где
– любые произвольные постоянные, получим общее
решение системы в векторной форме, или в координатах:
14 2 1 6 7 2
; ; ;
Данная система имеет бесконечно много решений, так
как
, где число неизвестных n = 4. Придавая
31
.
раз-
личные числовые значения, будем получать различные част-
ные решения данной системы уравнений.
Пример 3.5. Найти общее решение данной неоднородной системы с исследованием её на совместимость.
=++−
423
xxxx
4321
=++−
73452
xxxx
xxxx
4321
.
4321
=++−
3432
Дано:
Решение. Здесь число уравнений m = 3 , число неизвестных
n = 4.
−
=
A
131
−
452
−
321
4
2
- расширенная матрица,
7
3
3
4
4
=37
B -вектор свободных членов,
x
1
x
2
=
X
-искомый вектор.
x
3
x
4
32
Вычислим Rang A и Rang
A
≠
31
−
=M
1
52
−
231
−
методом окаймляющих миноров:
131
−
,01
≠=
2
−
=M ,
−
8
452
=
321
431
−
452
−
=M 03
3
421
−
,03
≠=
=M .
4
752
−
−
≠=
321
RangA=3. Т.к. ранги матриц A и A равны, то система
совместна и имеет бесконечно много решений, ибо ранг r =3
меньше числа неизвестных n =4. Неизвестные x1,x2,x4 соответствуют базисным столбцам минора M
0 . Примем их за ба-
3
зисные переменные, неизвестная x3 будет свободной.
Перепишем систему в виде:
−=+−
423
xxxx
3421
−=+−
47352
xxxx
3421
−=+−
3342
xxxx
3421
Решим эту систему по правилу Крамера:
231
−
3
352
−
=∆ ; 3147
=
=∆ x
x
1
x
3
x
3
234
−−
3547
−−
+=
;
3
421
−
x
3
4233
−−
33
−
1
3
∆
3
13
+
−
∆
3
∆
∈
=∆ x
x
2
−
−
241
x
3
;
3472
x
3
4331
x
3
136
+−=
3
=∆
x
3
431
x
−−
4752
x
−−
3321
x
−−
Тогда
3147
+
x
1
= x
x
1
∆
x
3
=
49
+=
;
=
x
3
2
6
x
∆
x
3
2
=
;
x =
=
4
∆
Обозначим x3=С, где С- произвольная постоянная ,
RС
.
Запишем общее решение в векторной форме:
149
+
С
=
X
общее
С
+−
С
С
3/132
.
3/62
Получая, например, С=3, найдем частные ЛНС: X1=148;
X2=-5/3; X3=3; X4=62.
Ответ: X
X
=(49С+1,-2C+13/3,C,62C/3),
общее
=(148,-5/3,3,62).
частное
3.5. Нахождение общего решения системы линейных
однородных уравнений
Линейное уравнение называется однородным, если сво-
бодный член этого уравнения равен нулю.
Рассмотрим линейную однородную систему (ЛОС) m
уравнений с n неизвестными: Ax = 0.
3
.
62
x
=
62
3
xx
34
.
3
3
34
aaa
Здесь
=
A
...
...
...
21
n
11211
aaa
n
22221
- матрица размерностью
:......:
aaa
mnmm
m×n,
x
1
=
X :
-неизвестный вектор, подлежащий определению.
x
n
Совокупность линейно независимых решений
ϕ
,
ϕ
,…,
1
ϕ
2
k
ЛОС уравнений называется фундаментальной системой решений (ФСР), если любое решение этой системы может быть
представлено в виде линейной комбинации этих векторов
ϕ
,
ϕ
,…,
ϕ
1
2
: X=c
k
ϕ
+c
ϕ
1
1
2
+…+c
2
ϕ
, где c1,c2,…,c
k
k
– любые
k
константы. Последнее равенство является общим решением
ЛОС уравнений в векторной форме ,т.к. в нём содержатся всевозможные частные решения при конкретных значениях произвольных постоянных c1,c2,…,ck .
Теорема. Если ранг r матрицы А меньше числа n неиз-
вестных, то ЛОС уравнений имеет ненулевое решение. Число
n-мерных векторов, определяющих ФСР , находятся по формуле k=n-r, где r=Rang A. Таким образом, если рассматривается
линейное пространство Rn ,элементами которого являются nмерные векторы, то множество всех решений ЛОС является
подпространством пространства Rn . Размерность этого подпространства равна k.
Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:
35
0
0
a x b y c z
+ + =
+ + =
1 2 1 2 1 2
/ / /
a a b b c c
1 2 1 2 1 2
/ / /
a a b b c c
b c a c a b
x t y t z t
b c a c a b
= ⋅ = − ⋅ = ⋅
t
= = =
3 4 5 0
2 3 0
+ + =
+ − =
1 1 1
a x b y c z
2 2 2
.
1. Если
= = , то система сводится к од-
ному уравнению (например, первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых
остаются произвольными.
2. Если условие
= = не выполнено, то
решение системы находится по формулам
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ,
, (3.9)
где t может принимать любые значения. Эти решения можно
записать также в виде
x y z
b c a c a b
1 1 1 1 1 1
b c a c a b
2 2 2 2 2 2
−
.
При этой форме записи решений следует помнить, что
если один из знаменателей обращается в нуль, то следует приравнять нулю и соответствующий числитель.
Пример 3.6. Решить систему линейных однородных
уравнений
x y z
x y z
.
36
Решение. Напишем матрицу коэффициентов при неизвестных
3 4 5
1 2 3
−
22 , 14 , 2
x t t y t t z t t
= ⋅ = − = − ⋅ = = ⋅ =
t R
∀ ∈
0
0
0
+ + =
+ + =
+ + =
0
0
0
+ + =
+ + =
+ + =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
0
∆ ≠
0
∆ =
A
=
. По формуле (3.9) находим
4 5 3 5 3 4
2 3 1 3 1 2
− −
где t можно придавать любые значения, т.е.
.
Рассмотрим систему трех линейных однородных уравнений
a x b y c z
1 1 1
a x b y c z
2 2 2
a x b y c z
3 3 3
;
a x b y c z
1 1 1
a x b y c z
2 2 2
a x b y c z
3 3 3
,
,
где
=
– матрица коэффициентов.
Если ее определитель
, то система имеет един-
ственное нулевое решение: х = 0, у = 0, z = 0.
Если же
, то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к одному уравнению (остальные два являются его следствиями).
Первый случай имеет место тогда, когда среди миноров определителя ∆ есть хотя бы один отличный от нуля; второй случай
37
– тогда, когда все миноры этого определителя равны нулю. В
обоих случаях эта однородная система имеет бесконечное
множество решений.
Замечание. Системы выше третьего порядка решают-
ся также, но определители более высокого порядка
Пример 3.7. Найти общее решение данной системы и
проанализировать его структуру (указать базис пространства
решений ЛОС, указать размерность пространства).
Дано:
=+−−+
02227
xxxxx
54321
=−−+−
03
xxxxx
54321
xxxxx
54321
.
=++++
0232
Решение. В данной ЛОС имеем m=3- число уравнений,
n=5- число неизвестных. Запишем матрицу коэффициентов при
неизвестных:
−
−
=
A
−
127
131
232
2
2
−−
1
1
1
.
1
Определим её ранг с помощью элементарных преобразований:
−
−
−
127
131
232
2
2
−−
1
1
1
⇔
1
−
131
232
−
−
−
1
1
⇔
1
1
−
2
2
127
38
−−
1
1
⇔
3
3
5
8230
9
−
131
010
−
8230
−−
1
1
3/1
5
⇔
3/1
9
⇔
−
131
090
−
0
⇔
3/1
3/1
3/4
3/8
101
010
100
0
0
3/1
3/1
⇔
3/1
−
6/1
⇔
0
101
010
−−
800
6/1
3/1
−
3/1
3/1
.
3/1
6/1
−
⇔
001
010
100
Так как число линейно независимых столбцов преобразований матрицы равно r = 3, то RangA = r = 3.
RangA = 3 < n = 5. Следовательно, ЛОС имеет ненулевые решения. ФСР состоит двух (k = n-r =2) линейно независимых
решений. Неизвестные x1,x2,x3 соответствуют базисным столбцам и являются базисными переменными; неизвестные x4,x5 –
свободными переменными.
Запишем преобразованную систему уравнений, перенеся
свободные переменные x4,x5 в правую часть системы уравнений:
)6/1()3/1(
−=
xxx
541
.
)3/1()3/1(
−−=
+−=
xxx
542
)6/1()3/1(
xxx
543
39
1
2
α
⋅
β
⋅
∞−∞∈
β
α
β
α
4
∞−∞∈
β
α
=
β
α
−
=
β
α
−
β
α
+
−
α⋅β
⋅
λ
ϕ
Для первого набора
x5=0 и второго набора
ϕ
свободных переменных x4=1,
1
свободных переменных x4=0, x5=1
2
имеем решения:
3/1
3/1
−
=
ϕ
1
3/1
−
1
0
−
6/1
−
3/1
,
=
ϕ
6/1
2
0
1
Решения
ϕ
и
ϕ
образуют ФСР. Общее решение си-
стемы в векторной форме:
X=c
ϕ
+c
ϕ
1
1
,
2
2
где c1, c2 – произвольные постоянные. Если положить
с1=3
, c2=6
, где любые числа
, то общее
),(,
решение данной ЛОС в координатной форме можно записать
α
так:
βα
−=1x ,
βα
22−−=x ,
+−=3x
,
x ,
⋅=3
x ,
5
β
⋅= 6
),(,
Исходная система имеет бесконечное множество реше-
2
ний; размерность пространства решений
Ответ:
X ,2
,(
k
.
,
).
,3
6
3.6. Собственные векторы
и собственные значения матрицы
Пусть Rn - заданное n-мерное линейное пространство.
Ненулевой вектор
n
Rh
∈
называется собственным век-
тором линейного оператора (преобразования) ,заданного матрицей А , если найдется такое число
, что выполняется равен-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]