Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы алгебры в теории управления. Учебное пособие
.pdf
Все вычисления удобно производить по схеме, пред-
ставленной в табл. 6.2.
1. Записываем в первой строке таблицы данные значе-
ния x0,y0.
2. Вычисляем hf(x0,y0) и записываем в таблицу в каче-
стве K
(0)
.
1
3. Во второй строке таблицы записываем x0+h/2,
(0)
y0+K
лицу в качестве K
лицу в качестве K
/2.
1
4. Вычисляем hf(x0+h/2 ,y0+K
(0)
.
2
(0)
/2) и записываем в таб-
1
5. В третьей строке записываем x0+h/2, y0+K
6. Вычисляем hf(x0+h/2, y0+K
(0)
.
3
(0)
/2) и записываем в таб-
2
(0)/2
2
.
7. В четвертой строке таблицы записываем x0+h/2,
(0)
y0+K
цу в качестве K
/2.
3
8. Вычисляем hf(x0+h/2, y0+K
(0)
.
4
9. В столбец Δy записываем K
(0)
/2 и записываем в табли-
3
(0)
1
,2K
(0)
2
,2K
(0)
(0)
,K
3
4
, сум-
мируем эти числа, полученную сумму делим на 6 и записываем
в таблицу в качестве Δy0.
10. Вычисляем y1=y0+ Δy0 .Затем все вычисления продолжаем в том же порядке, принимая за начальную точку x1,y1
и записывая в следующий блок таблицы.
61
Таблица 6.2
∆
(0)
(0)
∆
0
Схема вычислений по методу Рунге–Кутты
k x
0
k
x
0
x
0
x
0
x
0
y
k
y0 K
y0+0,5K
1
y0+0,5K
y0+0,5K
(0)
K
2
3
1
K(k)
(0)
K
1
(0)
K
2K
2
(0)
2K
3
(0)
K
K
4
y
(i)
1
(0)
2
(0)
3
(0)
4
y
Заметим, что шаг расчета h можно менять при переходе
от одной точки к другой. Метод Рунге-Кутты имеет порядок
точности h4на всем отрезке [x0,b]. При реализации метода Рунге-Кутты на ЭВМ для контроля правильности выбора шага
h обычно в каждой точке хk используется двойной пересчет
сначала вычисляют значения уk. с шагом h, затем с шагом h/2.
Если полученные значения отличаются на значение, большее
более заданной точности ε, то шаг уменьшают в два раза, если
нет, то шаг оставляют без изменения или увеличивают в два
раза.
62
7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
(
)
()()()(
)
(
)
()()()()()(
)
(
)
7.1. Основные теоретические сведения
Ряд
∞
( ) ( ) ( ) ( )
21
=++++
......
∑
=
1
n
, (7.1)
xfxfxfxf
nn
члены которого есть функции от х, называется функциональным.
Множество значений аргумента х, при которых функции
,...2,1, =ixf
i
определены и функциональный ряд (7.1) сходит-
ся, называется областью сходимости этого ряда. При действительном значении аргумента областью сходимости является
какой-либо промежуток оси ОХ. При конкретном значении
xx = ряд (7.1) становится числовым. Функция
0
( ) ( )
= lim , где
n ∞→
xSxS
n
21
xfxfxfxS
+++= ...
- сумма
nn
первых n членов ряда (7.1), а х принадлежит области сходимости, называется суммой ряда. Разность между суммой S(x) схо-
дящегося ряда и его частичной суммой
xS
называется
n
остатком ряда (7.1):
......
++++=−=
21
xfxfxfxSxSxR
+++
mnnnnn
,
причем в области сходимости ряда
n
0lim =∞→xR
n
.
Сходящийся функциональный ряд (7.1) называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого
сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое целое число N
>0, начиная с которого, т.е. при n ≥ N, выполняется неравенство |Rn(x)| < ε одновременно сразу для всех х из области Х.
63
Достаточным признаком равномерной сходимости рядов
X
∈
(
)
(
)
[
]
⊂
β
α
(
)
′
является следующий признак Вейерштрасса. Ряд (7.1) равномерно сходится в данной области Х, если существует такой схо-
∞
дящийся числовой ряд
ет место неравенство
∞
вой ряд
∑
C
n
=1n
0〉nC называется мажорантой для ряда (7.1).
Пример 7.1. Ряды
∑
, что для всех значений х
C
n
=1n
Cxf ≤
. При этом сходящийся число-
nn
∞
∞
∑ ∑
=
n n
=1 1
являются рав-
sin,cos
nxanxa
nn
номерно сходящимися в любой области, если ряд
лютно сходится, т.к.
anxaanxa ≤≤ sin,cos
, а ряд
nnnn
∑
име-
∞
абсо-
a
n
=1n
∞
a
∑
n
=1n
сходится.
7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
1. Если члены равномерно сходящегося ряда (7.1) непрерывны на некотором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке.
2. Равномерно сходящийся ряд (7.1) можно почленно
интегрировать в данной области Х, если его члены непрерывны
в области Х, причем сумма интегралов от членов ряда равна
интегралу от суммы данного ряда:
∞
∑
nn1
β
( ) ( )
∫
=
α
β
=
dxxSdxxf
∫
α
, где
,
X
.
3. Если ряд (7.1) сходится к сумме S(x) на отрезке Х,
причем его члены имеют непрерывные производные
xf
при
n
64
X
∈
∞
(
)
()(
)
∞
→
n
и ряд, составленный из производных
х
мерно сходящийся на том же отрезке, то
∑
=′1n
′
( ) ( )
=
n
∑
∞
=
( )
1n
, равно-
xf
′
xfxS
n
, т.е.
ряд (7.1) можно почленно дифференцировать.
7.3. Области сходимости функциональных рядов
Определение области сходимости.
Для определения области сходимости функционального
ряда (7.1) достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая аргумент х фиксированным. Например, при использовании признаков Даламбера или Коши поступают так:
1. Находят q(x) по одной из формул (если пределы су-
ществуют)
xf
nn1
( )
xq
lim
=
+
n
( )
или
xf
∞→
n
xfxq∞→= lim (7.2)
n
n
2. Решают неравенство q(x) < 1 (т.к. по признакам Да-
ламбера и Коши ряд сходится при q < 1 и расходится при q >
1). В результате находим интервал сходимости.
3. Исследуется поведение ряда в концевых точках ин-
тервала сходимости.
Пример 7.2. Найти область сходимости ряда
∞
1
∑
=+1
n
2
1
n
x
Решение. Рассмотрим три случая
2
a) если |x| < 1, то
n
0
→
x при
и
65
( )
1
+
x
21212
x
x
+
1
x
()(
)
+∞∪−∞−
∈
(
)
limlim
=
xf
n
n
n
1
∞→∞→
. Необходимый признак сходимости
1
=
2
n
ряда не выполнен. Следовательно, ряд расходится при 1 < x < 1.
b) если
1
...
+++
1=x
, то также получаем расходящийся ряд
.
c) если |x| > 1, то применим первый признак сравнения
( ) ( )
1
xf
=
n
1
x
ϕ
=〈
nn
22
,
n
где сходящийся ряд
∞
( )
ϕ
n
1
=
n
∞
x
∑∑
2
n
1
=
n
1111
...
+++==
642
xxxx
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии со знаменателем
1
, т.е. |x| > 1. Итак, ис-
1
〈
2
следуемый ряд сходится при |x| > 1; его область сходимости
,11,x
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
( ) ( ) ( )
10
n
n
∞
......
∑
n
n
=1
n
, (7.3)
axCaxCaxCC −=+−++−+
где коэффициенты
i
,...2,1,0=iС
- действительные числа.
Основное свойство степенных рядов состоит в том, что
66
если ряд (7.3) сходится при
±
=
L
(
)
+∞∞−∈∀
(
)
xx = , то он сходится ( и притом
0
абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству
axax −<−
(теорема Абеля). Следствием теоремы
0
Абеля является существование для всякого степенного ряда
(7.3) интервала сходимости
Rax <−
с центром в точке х = а,
внутри которого ряд (7.3) сходится абсолютно ; при
Rax >−
ряд (7.3) расходится.
Радиус сходимости R (т.е. половина длины интервала
сходимости) может быть в частных случаях равен также 0 и ∞.
В конечных точках
Rax
интервала сходимости возможна
как сходимость, так и расходимость ряда (7.3). Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера
или Коши, применяя их к ряду, составленному из абсолютных
величин членов исходного ряда. Но если
C
n
1
L
lim
=
n
+
C
или
n
∞→
=lim
nCL∞→
n
, (7.4)
n
где nC и
C - коэффициенты соответственно n-го и (n+1)-го
1
+
n
членов ряда (7.3), то радиус сходимости ряда (7.3) определяет-
ся по формуле
R1=
.
Однако пользоваться формулами (7.4) следует весьма
осторожно. Если L= 0, то R → ∞ и ряд (7.3) сходится при
,x
. Если L → ∞, то R = 0 и ряд (7.3) расходится при
любом х, кроме х = 0.
Пример 7.3 . Найти радиус и интервал сходимости сте-
n
−
3
x
n
⋅
5
n
пенного ряда
∞
∑
=
n
1
67
<−<
−
<<−
(
)
≤≤−
()(
)
(
)
(
)
=
ϕ
(
)
−
=
ϕ
Решение. Имеем коэффициенты ряда
C
n
7.4).
1
,
=
n
5
⋅
n
L
n
=
C
1
+
n
C
+
n
∞→
C
n
( )
n
1
==
limlim
n
1
51
⋅+
∞→
. Найдем число L (см.формулы
1
+
n
⋅
n
( )
n
n
5
51
⋅+
1
=
1
+
n
. Следовательно, ра-
5
диус сходимости R = 5. Интервал сходимости ряда
53
<−x
с
центром в точке 30=x или
x
535
есть
82
x
. Ис-
следуем поведение ряда в концевых точках интервала:
∞
При х=8:
При х=-2:
Ответ: R = 5;
- расходящийся гармонический ряд
∑
n
=11n
∞
∑
=−11n
n
- условно сходящийся (по Лейбницу).
n
82
x
.
7.4. Нахождение суммы функционального ряда
Рассмотрим некоторые приемы нахождения суммы
функционального ряда и области его сходимости к этой сумме.
Нахождение суммы ряда почленным интегрированием.
n
x
ϕ
. По признаку Коши или
n
1. Пусть дан ряд вида
∞
∑
=kn
признаку Даламбера область сходимости определяется
∞
неравенством
ϕ
. Если
x
1
, то ряд
1
<x
∑
=kn
1
- рас-
n
ходящийся.
n
)1(
сходится условно (по
n
Если
∞
1
x
, то ряд
∑
=−kn
признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости
68
(
)
11
<≤−
ϕ
(
)
ϕ
=
<≤−
[
]
()(
)
(
)
ϕ
x
находится из неравенства
xt
в исходном ряде; получаем степенной ряд
ластью сходимости
11
t
. Используем формулу для вы-
. Затем делаем замену
n
∞
t
с об-
∑
n
=kn
числения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
1<t
∞
n
∑
=
kn
21
++
kkk
pppp
...
k
p
=+++=
1
−
p
11,
<<−
p
, (7.5)
и очевидное равенство
t
n
t
n
−
n
=
1
dpp
∫
0
. (7.6)
Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегри-
ровать по любому отрезку
t;0 , целиком принадлежащему ин-
тервалу сходимости, и используя формулу (7.6), получаем
t
1
−
k
dppdpp
p
=
∫∫
1
−
p
0
.
1,
<
tdp
( )
tS
∞
∑
−
n
t
==
n
kn
t
∞
1
−
n
∫
=
kn
0
t
∞
=
∑∑
0
1
−
n
=
kn
Заметим, что так как ряд (7.5) сходится в граничной точ-
ке t = -1, то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа) и
.
lim1
=−
t 01
tSS
+−→
Далее вычисляем интеграл (с переменным верхним пре-
делом), заменяем t на
x
и получаем ответ.
69
2. Если дан ряд вида:
()(
)
616
()(
)
∞
∑
=++kn
n
x
ϕ
,
bnan
))((
то следует либо применить теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды, либо разложить дробь на элементарные множители:
1
++ bnanabbnan
))((
1
=
⋅
−
+
)(
11
−
,
+
и вычислить сумму каждого ряда почленным интегрированием.
nn
x
и указать об-
n
Пример 7.4. Найти сумму ряда
∞
∑
=⋅16n
ласть его сходимости к этой сумме.
Решение. Данный ряд степенной. Находим его интер-
вал сходимости. По признаку Коши имеем:
nn
6
⋅
( )
lim <=
=
xq
∞→
n
n
x
16
x
.
n
1
Из неравенства находим
дение ряда в граничных точках. При
<<− x
. Исследуем пове-
n
∞
1
:
x
∑ ∑
6
=
1 1
n n
∞
16
n
6
1
=⋅=
рас-
nn
=
ходящийся гармонический ряд.
При
1
x - условно сходящийся
:
6
=
n
n
∞
n
−
16
⋅−=
=
∑∑
n
6
n
n
∞
−
1
nn
=
11
ряд по признаку Лейбница.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]