Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы алгебры в теории управления. Учебное пособие
.pdf
Следовательно, данный ряд сходится при
6
6
=
[
)
−
∈
(
)
6
6
(
)
+−∈
∀
(
)
1
1
[ +−∈x
.
)
;
Для нахождения суммы ряда сделаем замену
n
геометрический ряд
t
1,1
. Используя равенство (7.6) и почленное интегрирова-
∞
∑
n
t
n
1
=
1
1
2
32
...
+++=
ttt
3
, сходящийся при
xt 6
. Получим
ние степенного ряда, получаем:
n
∞
S
=
t
==
∑
n
kn
−
t
1
∫
p
1
−
0
t
∞
n
1
−
∫
kn
=
0
t
∞
=
∑∑
∫
=
0
61ln1ln
−−=−−=
n
1
−
dppdpp
=
kn
xtdp
1
Ответ:
xxS 61ln −−=
для
1
[ +−∈x
.
)
;
Замечание. Степенной ряд (7.3) сходится абсолютно и
равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри его интервала
сходимости; ряд (7.3) можно почленно интегрировать и диф-
имеем
′
xSaxnC
Rax <−
ференцировать внутри его интервала сходимости
т.е. если
∞
∑
=
0
n
∞
( ) ( )
∑
n
pn
=
x
( ) ( )
n
∫ ∫
x
0 0
n
n
=−
,xSaxC
=−
x
x
то для
∞
dxxSdxaxC и
∑
n
=−0
( ) ( )
n
n
RaRax
,
1
=−
Нахождение суммы ряда почленным дифференцированием.
1. Пусть дан ряд вида
∞
∑
=⋅+kn
( )( )
xbnϕ)(
n
.
Сначала определяем область сходимости ряда, напри-
мер, по признаку Коши. Получаем неравенство
ϕ
1<x
. Если
,
71
(
)
1
±
=
ϕ
(
)
(
)
<<−
ϕ
(
)
ϕ
=
(
)
ϕ
=
(
)
(
)
t t t t nt x S
⋅
=
⋅
=′⋅==
∑∑∑
∞=∞
∞
x
, то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое
условие сходимости
n
n
. Следовательно, об-
0lim ≠∞→xf
ласть сходимости определяется неравенством
11
x
. За-
тем делаем замену
∞
двух рядов
n
=
kn
xt
и записываем ряд в виде суммы
∞
n
. Для нахождения сумм этих рядов
⋅+
tbnt
∑∑
=
1n
используем формулу суммы членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии и очевидное равенство
∞
n
=
kn
∞
−
n
1
=
kn
∞
d
n
.
⋅=⋅=
tnttnt
( )
∑∑∑
t
dt
=
kn
Учитывая, что степенной ряд можно почленно диффе-
ренцировать в любой точке интервала сходимости, и используя
k
t
n
=
−
n
=
k n
1,1<
t
, получаем:
t
′
n
=
k n
n
k n
t
′
k
t
.
−
t
1
равенство
1
∞
∑
=
t
kn
Далее вычисляем производную, делаем замену
xt
и записываем ответ.
2. Если дан ряд вида
∞
ем сумму трех рядов
∑
=12n
при вычислении суммы ряда
∞
2
( )
∑
n
=1
n
,
( )( )
xn
ϕ
∞
ϕ
∑
=12n
⋅++
∞
ϕ
∑
n
=1
n
применяем теорему о
( )( )
xn
( )( )
ϕ
( )( )
xbn
n
, то вычисля-
xcbnn
∞
n
и
∑
n
=1
ϕ
( )( )
xc
n
почленном дифференцировании степенного ряда дважды.
,
72
Пример 7.5. Найти сумму ряда и указать область схо-
(
)
(
)
<<−
±
=
димости ряда к этой сумме
Решение.
а) находим область сходимости данного ряда по призна-
ку Даламбера:
xf
1
+
n
+∞→
n
n
( )
xf
=
∞
∑
n
=
limlim
n
1
+
∞→
( )
42
+
n
)1(
xn
.
62
+
n
2
⋅+
xn
42
+
n
1
⋅+
xn
2
1
<=
x
.
Отсюда
11
x
. В граничных точках
1
x
ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости.
Итак, ряд сходится (и притом абсолютно) в интервале (-1;1).
2
б) делаем в исходном ряде замену
виде суммы двух рядов
( )
∞
=
kn
n
)1(
xt =
и записываем в
∞
+
=
1
n
∞
+
22
n
+=+=
+
2
n
ntttntS
∑∑∑
=
1
n
Для нахождения S(t) достаточно найти суммы рядов:
∞
n
∑∑
=
kn
1
222
⋅=⋅==
tttttS
1
−
t
,
1,
<
t
1
( )
∞
+
n
=
kn
∞
n
( )
2
+
kn
=
∞
n
kn
=
∞
n
−
132
=
1
∞
d
3
tnttnttnttS
⋅=⋅=⋅==
∑∑∑∑
nn
n
.
( )
t
dt
=
1
73
Учитывая, что степенной ряд можно почленно диффе-
(
)
(
)
(
)
...
!
!2!
1
n
(
)
=
ренцировать в любой точке интервала сходимости, получаем:
3
t
=
2
)1(
−
t
1,
<
t
,
2
( )
∞
d
3
ttS
( )
==
dt
1
=
n
tt
∞
d
3
dt
3
nn
=
tt
∑∑
1
=
n
1
d
1
−
tdt
2
t
=
2
11
−
t
( )
1;1,
−∈
( ) ( ) ( )
tStStS .
21
32
t
=+= t
1
−
t
+
t
2
( ) ( )
−
t
4
в) заменяя t на
2
x
, получаем
( )
xS
x
= x
( )
1
2
2
−
x
( )
−∈
.1;1,
7.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора
Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в
интервале
..,
RxxRxетRxx +<<−<−
, может быть раз-
000
ложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд
Тейлора:
)(
′
xf
0
+=
xfxf , (7.7)
0
( )
′′
xf
0
+−
xx
0
( )
xx
0
2
...
n
xf
0
( )
xx
0
n
+−++−
если в этом интервале выполняется условие:
)1(
+
n
,0lim
xR
n
∞→
n
где
n
( )
xR
f
=
)(
ξ
−
)!1(
+
n
1
+
n
)(
xx
остаточный член
0
формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа,
θξ
),(00xxx −+=
где θ- положительное число меньше 1.
74
При 0
()()(
)
!
!
20!
1
n
(
)
(
)
(
)
(
)
∞
→
n
n
!
!2!
1
432
n
1
2
753
n
=x ряд Тейлора называют рядом Маклорена:
0
′
0
( ) ( )
fxf . (7.8)
f
0
+=
′′
f
+
x
2
x
Если в некотором интервале, содержащем точку 0x , все
n
производные
)(
xf
ограничены некоторой константой, т.е.
при любом n выполняется неравенство
...
)(
n
0
f
n<)(
n
...
+++
x
, где М –
Mxf
положительная постоянная, то
n
n
функция f(x) бу-
,0lim =∞→xR
дет суммой ряда (10.7), причем только для тех значений х, при
которых
n
0→xR
при
(необходимое и достаточное
условие равенства (10.7) в разложении f(x) в ряд Тейлора).
Приведем основные разложения в ряд Маклорена:
x
e
sin
shx
chx
( )
1ln
2
1
x
x
1cos
!5!3!1
1
!4!2
xx
xarctgx
...
n
xxx
...,
n
−+−+−=
)1(...
!5!3!1
xxx
n
)1(...
!4!2
+
n
1253
xxxx
++++=
...
...
+
n
)!12(
n
242
xxx
...,
n
)!2(
432
+∞<<−∞+++++= x
+
n
1253
xxxx
+
n
n
242
...,
)!12(
...,
n
)!2(
+∞<<−∞+
...,
n
)1(...
−++−+−=
x
+∞<<−∞+++++= x
n
xxxx
1
−
n
12753
+
n
xxxx
+
+∞<<−∞+
x
+∞<<−∞+−+−+−= x
11...,)1(...
≤<−+⋅−++−+−=+
x
11...,
≤≤−+
x
75
Биномиальный ряд
()()(
)
−
−+−
≥
<<−
−
≤
1
2
n
(
)
≤
<
( )
x
m
m
11
x
!1
( )( ) ( )
+
!
k
mm
++=+
!2
kmmmm
Последнее разложение при
1
x
1...21
+−−−
k
0
m
является абсолютно
21
mmm
32
...
+
x
!3
11...,
<<−+
xx
сходящимся рядом в граничных точках интервала, т.е. при х=-1
и при х=1; при
сходится при при х=1; при
01
m
ряд расходится при х=-1 и условно
1
m
ряд расходится на обеих
границах интервала (-1;1).
При разложении функции f(x) в ряд Тейлора по степеням
х (когда 00=x ) преобразуют, если возможно, функцию f(x) к
виду, допускающему использование основных разложений , а
также сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число.
Затем определяют область сходимости полученного ряда к
функции f(x).
Замечание. Если требуется разложить функцию в ряд
Тейлора по степеням )(0xx − , то сначала делают замену пере-
менной
xxt −= , находят разложение по степеням t и затем
0
возвращаются к переменной х.
Пример 7.6. Разложить ln x в ряд по степеням (х-1).
Решение. Имеем
то
−−=
)1(ln
xx (t=x-1),
( )
1ln
−
x
2
tt
2
)1(
2
...
∞
−
∑
n
1
n
=
1
=+
+
1
n
tt
1
−
n
( )
x
n
1...,)1(...
≤<−+⋅−++−=+
t
,
n
−
1
где область сходимости есть полуинтервал
20
x
.
76
7.6. Приближенное вычисление определенных
(
)
(
)
(
)
...
!
!2!
1
n
(
)
=
θ
интегралов
Многие интегралы не могут быть выражены в конечном
виде через элементарные функции. Одним из способов приближенного вычисления таких интегралов является разложение подынтегральной функции в степенной ряд и его почленное интегрирование. Известно, что функция, бесконечно дифференцируемая в интервале сходимости (-R,R), разлагается в
этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора.
)(
( ) ( )
xfxf ,
0
′
xf
0
+=
( )
xx
′′
xf
0
+−
0
( )
2
xx
0
...
n
xf
0
( )
xx
0
n
+−++−
,0lim
если в этом интервале сходимости
)1(
+
n
где -
n
( )
xR
f
=
)(
ξ
−
)!1(
+
n
1
+
n
)(
xx
остаточный член формулы
0
Тейлора, записанный в форме Лагранжа, ),(00xxx −+=
n
θξ
xR
n
∞→
где
- положительное число меньше 1.
но найти формально, используя основные разложения функций
или формулу для суммы членов геометрической прогрессии.
Итак, чтобы вычислить интеграл
функция f(x) разложена в степенной ряд, имеющий радиус сходимости R>b, надо:
( )
=
степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то на таком отрезке
Практически степенные ряды для многих функций мож-
b
( )
dxxf
∫
0
с точностью ε, где
1) разложить функцию в степенной ряд по степеням х:
∞
∑
=
n
и определить его интервал сходимости. Так как
xCxf
n
0n
77
можно интегрировать почленно полученный ряд, используя
(
)
(
)
!7!5!3!
1
α
(
)
формулу Ньютона-Лейбница:
b
( )
∫
0
b
∞
=
∑
=
0
n
n
n
∞
=
=
n
b
n
n
∫∫
0
00
∞
CdxxCdxxCdxxf
∑∑
=
0
n
+
1
n
b
⋅=
n
.
+
1
n
2) вычислить сумму полученного числового ряда с заданной точностью (оценивая остаток ряда). При интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется.
Пример 7.7. Вычислить интеграл с точностью
1
2
( )
sin dxx
∫
0
.
Решение. Разлагаем функцию
лора по степеням х (
2
=
x
).
sin
α
ε
2
sin xxf = в ряд Тей-
753
αααα
...,
α
310−
=
+∞<<−∞+−+−=
,
Получаем ряд:
sin
( )
22
xx
14106
( )
1...
1
−
n
!7!5!3
xxxx
⋅−++−+−=
( )
n
122
−
n
,
!12
−
сходящийся также на всей числовой прямой. Интегрируем ряд:
1
sin
0
1
−=
3
∞
( )
−=
∑
=
1
n
1
2
∫∫
0
−=
⋅
1
+
⋅
!37
−
1
n
1
( )( )
−
2
xdxx
1173
+
⋅
!511!373
1
⋅
!511
106
!5!3
( )
( )
−+−
1...
( )
−
1
n
−+−
1...
( )( )
−
1
n
( )( )
−
1
n
1...
n
xxxx
1
nn
n
xxx
⋅−+−+−=
( )
n
−
14
−−
nn
−−
!1214
24
−
!1214
...
...
=
dx
1
=
0
+
!12
+
...
=+
1
−−
!1214
nn
78
Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся,
≥
∀
!511
!3713
члены которого убывают по абсолютной величине:
=
b .
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
>
!1214
−−
1
nnnn
=
b
1
+
nn
!112114
−−−+
При
1
n
и
b
∞→
n
, то справедливо неравенство:
0lim =
n
=≤
bR
1
+
nn
( )( )
1
,
!1234
−+
nn
(остаток ряда nR не превосходит первого из отброшенных чле-
ε
<
нов). Если
равенство
ε
<
b , то тем более
+1n
1
( )( )
<
1000
!1234
−+ nn
R
1
, находим количество членов
. Поэтому, оценив не-
n
ряда, необходимых для вычисления суммы с заданной точностью ε.
Практически прикидывают, сколько надо взять членов
ряда для заданной точности. Здесь достаточно взять первые два
члена ряда, т.к.
001,02<R
. Вычисляем:
1
=b
3
<
⋅
и, следовательно,
001,0
1
−=−= bbS
212
⋅
=−=
.
295,00381,03333,0
79
8. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2
−++
8.1. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
Пусть f(x) – функция, заданная для всех действительных
x и кусочно-гладкая (непрерывная или разрывная) на каждом
конечном отрезке [–l, l]. Тогда на каждом таком отрезке f(x)
может быть разложена в ряд Фурье:
∞
a
0
)(
xf
2
∑
n
a
n
1
=
nx
l
b
++=
nx
ππ
. (8.1)
n
)sincos(
l
В точках разрыва вместо f(x) нужно пи-
)0()0(
сать
xfxf
, причем
l
1
a
=
n
uf
∫
l
l
−
nu
π
cos)(
du
, (n=0,1,2, …),
l
l
1
b
=
n
uf
∫
l
l
−
nu
π
sin)(
du
, (n=1,2, …).
l
Если в (8.1) подставить выражения для ап и bп, то получим:
l
1
)(
xf
2
l
)(
duuf
l
∞
∑
n
l
1
uf
∫∫
l
1
=
l
−−
n
π
−+=
l
.)(cos)(
duxu
Предположим теперь абсолютную интегрируемость f(x)
на всей Ox, т. е. предположим существование интеграла
∞
(8.2)
∫
∞−
.|)(| dxxf
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]