Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы алгебры в теории управления. Учебное пособие
.pdf
Решение системы следующее:
1 2 3
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
0
∆ = ≠
1 12 13
1 2 22 23
3 32 33
b a a
b a a
b a a
11 1 13
2 21 2 23
31 3 33
a b a
a b a
a b a
11 12 1
3 21 22 2
31 32 3
a a b
a a b
a a b
0
∆ ≠
∆ =
, ,x x x
= = =
1 2 3
a a a
11 12 13
где
a a a
21 22 23
a a a
31 32 33
,
∆ =
, (3.4)
;
∆ =
;
∆ =
.
Правило Крамера для систем (3.1) и (3.3):
1. Если основной определитель
, то система совмест-
на и имеет единственное решение (см. формулы (3.2) и (3.4).
2. Если определитель системы равен нулю (
0), и хотя
бы один из определителей, которые являются числителями в
формулах (3.2) и (3.4) для неизвестных, отличен от нуля, то система несовместна и не имеет решения.
3. Если все определители равны нулю одновременно в
формулах (3.2) и (3.4), то система совместна и имеет беско-
нечное множество решений .
3.2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
(метод исключения неизвестных)
Сущность метода состоит в том, что посредством элементарных преобразований система (3.1) превращается в эквивалентную систему треугольного или трапецеидального вида.
Решение методом Гаусса системы (3.1) можно упростить,
если вместо преобразований над самой системой производить
21
элементарные преобразования над соответствующей матрицей из
11 12 1 1
21 22 2 2
... ... ... ...
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
r n
<
3 2 5,
0,
4 5 3.
+ + =
+ − =
− + =
коэффициентов при неизвестных свободных членов:
...
n
...
n
A=
.
...
...
1 2
Полученной матрице будет соответствовать система линейных уравнений треугольного или трапецеидального вида.
Из преобразованной системы треугольного вида все неизвестные определяются последовательно без труда. Если система уравнений имеет бесконечное множество решений (в случае, когда
, т.е. когда число неизвестных n больше числа
линейно независимых уравнений), то треугольной системы не
получается, так как последнее уравнение содержит более одного
неизвестного, получаем систему трапецеидального вида.
Если же эта система уравнений несовместна, то в преобразованной системе будет содержаться хотя бы одно уравнение
вида 0 = 1, т.е. уравнение, в котором правая часть отлична от
нуля. Такая система не имеет решений.
Заметим, что методом Гаусса гораздо выгоднее пользоваться в случае, когда система содержит большое число уравнений, ибо этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных.
Пример 3.1. Решить систему уравнений:
x y z
x y z
x y z
22
Решение. Преобразуем матрицу в эквивалентную:
1 1 1 0
0 1 4 5
0 5 9 3
5
123
,
−=
0
111
3
514
Так как
A
−
то эквивалентная матрица будет иметь вид:
−
−
0
111
.
5
123
3
514
(для упрощения вычислений мы поменяли местами первое и
второе уравнения).
Вычитаем из остальных двух строк 1-ю строку, умноженную на 3 и на 4:
−
−
.
−
Вторую строку, умножив на (–5), прибавляем к 3-й:
−
111
−
410
1100
0
.
5
−−
22
23
Система уравнений приняла треугольный вид:
0
4 5
2
− = −
2z=
3
=
1
= −
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
... ... ... ... ...
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
... ... ...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
, ,...,
n
x x x
x y z
+ − =
y z
z
.
=
Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем
ние, получаем
; подставляя это значение во второе уравне-
и из первого уравнения находим
y
3.3. Матричный метод решения линейных систем
Линейной системой называется система, в которую входят только линейные уравнения.
Рассмотрим линейную неоднородную систему из n
уравнений с n неизвестными в координатной форме:
...
...
...
n n
n n
. ( 3.5 )
1 1 2 2
...
11 12 1
...
Обозначим
A
=
21 22 2
– матрица коэффициентов
...
x
.
при неизвестных
1 2
1 2
...
;
24
1
2
...
n
b
b
B
b
1
2
...
n
x
x
x
1
A
−
1
A
−
6
2 3
5
− + =
+ + =
+ + =
=
– матрица столбец (или вектор) свободных членов;
X
=
– искомая матрица-столбец (или n-мерный
вектор) неизвестных, которые требуется найти. Тогда систему
(3.5) можно записать в так называемой векторной форме:
АХ=В, (3.6)
где А, В – заданные матрицы, Х – неизвестный вектор.
Если А – невырожденная матрица, то существует обратная
и система (3.5) (или (3.6)) имеет единственное ре-
шение, которое находится по формуле
Х=
·В. (3.7)
Пример 3.2. Решить систему уравнений матричным
методом (если у нее существует единственное решение).
x x x
1 2 3
x x x
1 2 3
x x x
1 2 3
.
25
Решение. Положим
1
2
3
2 1 1 ; 3 ; .
x
A B X x
x
det
A
1
A
−
det
A
det 2 1 1 2 0;
= = ≠
0 1 1
1 1
2 2
1 3
2 2
−
1
A
−
1
A
−
0 1 1 0 6 1 3 1 5 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 3 1 3 15
2 2 2 2 2
− ⋅ ⋅ − ⋅ −
2; ; 7,5
2 2
1
A
−
1 1 1 6
−
= = =
1 1 1 5
Тогда данная система уравнений запишется равенством
(3.7). Вычислим определитель
если
1 1 1
−
≠0;
A
1 1 1
Подставим матрицу
Получим решение данной системы уравнений в виде:
и обратную матрицу
1
−
A
= −
в формулу Х=
−
·В.
,
0
.
1
x
1
x
= − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = −
2
x
3
0 3 6 0 3 5
1 6 1 3 5
− ⋅ − ⋅ ⋅
6
5
Следовательно,
x x x= − = − = =
1 2 3
1 15
Заметим, что с вычислением
тесно связано решение
матричных уравнений вида АХ=В или УА=В, где А, В – данные
26
.
.
матрицы, Х, У – искомые матрицы. Если А – невырожденная
1
A
−
1
A
−
4 3 1 2
1 1 3 4
4 3
1 1
det
A
1 3 1 3
1 4 1 4
− −
X A B
= ⋅
1 2
3 4
1 3 1 2 1 1 3 3 1 2 3 4 8 10
1 4 3 4 1 1 4 3 1 2 4 4 11 14
матрица, решения даются формулами Х=
В; У=В
.
Если А – прямоугольная или вырожденная квадратная
матрица, то решение этих уравнений сводится к решению систем линейных уравнений. Для получения этих уравнений надо
приравнять элементы матриц в обеих частях равенства.
Пример 3.3. Найти матрицу Х второго порядка, удо-
влетворяющую уравнению:
X
⋅ =
.
Решение. Здесь А=
– невырожденная,
Находим
1 1
1
−
A
= ⋅ = ⋅ =
det 1
11 12
A A
A
21 22
A A
1
По формуле
B
=
:
−
вычисляем матрицу Х, где
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − −
X
= ⋅ = =
− − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅
=1≠0.
.
− −
.
27
3.4. Исследование системы m линейных уравнений
m
11 12 1 1
21 22 2 2
... ... ... ...
m m m n
a a a b
a a a b
a a a b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
(
)
; ;...;
n
x x x
; ;...;
n
x x x
(
)
; ;...;
n
x x x
... ...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
11 12 1 1
21 22 2 2
... ... ...
a a a b
a a a b
a a a b
A A r
= =
с n неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли
Дана система
линейных уравнений с n неизвестными
x x x
1 2 4
x x x
1 2 4
x x x
1 2 4
1 2 4
...
...
...
...
n
n
. (3.8)
Решением этой системы называется совокупность n чисел
1 2
1 2
, которые будучи подставлены вместо неизвестных
в уравнения системы (3.8), обращают эти уравнения в
тождества. Система (3.8) называется совместной, если она имеет
хотя бы одно решение
1 2
. Если же система (3.8) не
имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Прежде чем решать систему (3.8), необходимо её ис-
следовать. Для этого составляются матрица A системы и расширенная матрица A:
11 12 1
A
=
...
...
21 22 2
;
A
=
...
...
...
...
n
n
.
Теорема Кронекера-Капелли (основная теорема о совместности системы линейных уравнений): Для совместности
системы (3.8) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
системы равнялся рангу её расширенной матрицы: Rang
Rang
.
1 2
...
28
...
1 2
m m mn m
Rang r матрицы совместной сиcтемы не может превосхо-
n
r n
=
r n
<
r n
<
n r
−
5 4 3 1,
2 2 0,
5 3 8 1.
+ + + =
− + − =
+ + + =
дить числа неизвестных
1)
2)
, система имеет единственное решение,
, система имеет бесконечное множество решений.
. В силу этого возможны два случая:
Итак, предположим, что система (3.8) совместна, причем
.
Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы A.
Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой
строки являются коэффициентами при r неизвестных в одном
из уравнений системы (3.8). Эти r неизвестных назовем базис-
ными неизвестными рассматриваемой системы уравнений.
Остальные
неизвестных системы назовем свободными
неизвестными.
Выделим из системы (3.8) систему r уравнений, среди
коэффициентов которых содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной системе оставим в
левых частях уравнений, а члены, содержащие свободные неизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим базисные неизвестные через свободные неизвестные (например, по формулам Крамера). Таким образом, придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно
найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно (об этом уже сказано выше), система (3.8) имеет
бесчисленное множество решений.
Пример 3.4. Решить систему уравнений, предварительно исследовав ее на совместность:
x x x x
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
29
Решение. Здесь
1 5 4 3 1
2 1 2 1 0
5 3 8 1 1
(
)
(
)
2
= =
5 4 3 1,
2 2 0.
+ + + =
− + − =
Вычтем из 3-й строки 1-ю:
Разделим элементы 3-й строки на 2 и вычтем из полученной 3-й строки 2-ю; затем вычеркнем 3-ю строку:
A
A
= − −
A
1
3
451
−=
212
−
212
−
0
1
−
0
1
−=
−
или
451
212
424
A
– расширенная матрица.
1
3
−
0
1
−
0
2
3
451
−−=
212
0
000
1
0
1
0
Нетрудно видеть, что
система совместна. Возьмем первое и второе уравнения задан-
ной системы:
и
=A
r A r A
xx x x
31 2 4
xx x x
31 2 4
30
13451
.
01212
−−
. Следовательно,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]