Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы алгебры в теории управления. Учебное пособие
.pdf
π
π
⋅
=
A
ω
ω
1
π
π
−
ω
t
a
1
π
t
b
)d()cos(ω)(
2
c
π2
ω
1
∫∫
π
0
π
t
+
a
ω
−+⋅=
∫∫
π
t
+
b
ω
)).sin(ω)(sin(ω
−=
tt
ba
)d(ω)cos(ω)(
tttutttua
==ω=
)d(ω)cos(ω)()d(ω)cos(ω
ttcttc
=
(10.49)
1
или
π
ω
ω
π
π
−
ω
2
c
−=
π
π2
ω
1
)d()sin(ω)(
∫∫
π
0
)).cos(ω)(cos(ω
tt
ab
)d(ω)sin(ω(t)
ttutttub
==ω=
(10.50)
Найдём моменты времени ta и tb. Из рис. 10.6 следует:
);sin(ω
tAa
a
(10.51)
),sin(ω
⋅=
a
=
A
b
=
tAb
b
);sin(ω
t
a
(10.52)
).sin(ω
t
b
Подставляя (10.52) в (10.49) и (10.50) получим:
121
b)(a2
−
с
=
a
1
2
b
1
π
Разделив (10.53) на амплитуду входного сигнала получим искомые выражения для коэффициентов Pн(A) и Qн(A)
гармонической линеаризации:
=
)(
AQ
н
)(
AP
н
π
;
π
A
(10.53)
22
с
π
2
c
A
bc
−=
A
−
b)(a2
;
2
A
b
−=
1
A
−+
a
.11
A
(10.54)
22
a
−+
1
.
A
Для решения уравнения (10.45) гармонического баланса
воспользуемся программой в Маткаде:
2
W s( )
:= a1:= b2:= c8:=
( )
P ω
:= Q ω
15s1+( )⋅
2
( )
s6s
⋅
Re Wiω⋅
5
( )( )
s⋅+
+
1
122
( )
Im Wiω⋅
:=
( )( )
PnA a, b, c,( )
−
QnA a, b, c,( )
:=
π A⋅
2
2c
c a b−( )⋅
π A2⋅
⋅:=
2
a
1
−
2
A
2
b
1
−+
2
A
WnA a, b, c,( ) PnA a, b, c,( )
:=
2.948
3.819
WnA a, b, c,( )
WnA a, b, c,( )
−
( )
( )
Pw A a, b, c,( ) Re
Qw A a, b, c,( ) Im
A20:= ω20:=
Given
Pw A a, b, c,( ) P ω
Qw A a, b, c,( ) Q ω
( )
Find A ω,
:=
=
Найдено решение: в системе возникают автоколебания с
амплитудой A = 2,948 и частотой ω = 3,819 с-1.
Для проверки правильности аналитического решения
воспользуемся имитационной моделью, собранной в пакете
Матлаб, рис. 10.7.
i
QnA a, b, c,( )⋅+:=
1
1
123
t
, c
y
y(t)
Рис. 10.7. Имитационная модель системы,
показанной на рис. 10.5
Результат моделирования представлен на рис. 10.8.
4
3
2
0
-2
-3
-4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис. 10.8. Автоколебания в системе, показанной на рис. 10.5
Рис. 10.8 подтверждает возникновение колебаний с рас-
чётными амплитудой и частотой: период
T = 2π/ω = 2π/3,819 = 1,645 c.
124
Контрольные задания к п. 10.1.
+
y
Провести анализ устойчивости нелинейной системы ме-
тодами Ляпунова и гармонического баланса.
g
ε
F(ε)
(p)W
=
1
л
Wл(p)
3p5
4)pp(24
+
y
F(ε)
6
30°
ε
g
g
Wл(p)
F(y)
1
F(y)
(p)W
=
л
2
2
2
Wл(p)
1p2p2
++
x
F(x)
y
F(x)
1
y
8
4
3
(p)W
л
5
=
1)p7p(
+
x
125
g
y
+
y
F(y)
1
y
Wл(p)
(p)W
4
л
F(y)
=
1)3(p
2
8pp3
++
2
5
g
ε
F(ε)
F(ε)
10
Wл(p)
(p)W
л
5
2
=
p1)p(5
+
45°
ε
126
10.2. Методы анализа точности линейных систем
ε
10.2.1. Передаточная функция системы по ошибке
Алгебраические методы анализа точности линейных си-
стем в первую очередь опираются на определение установившейся ошибки ε
(t) и понятие передаточной функции Φ(s) си-
у
стемы по ошибке относительно задающего воздействия.
Если рассматривать типовую структуру линейной системы с единичной отрицательной обратной связью, задающим
воздействием g(t) и регулируемой величиной y(t) (рис. 10.9), то
ошибка ε(t) = g(t) − y(t) во времени имеет установившиеся значения:
)(lim)(
у
tt
ε=ε
t
. (10.55)
∞→
g
y
W(s)
Рис. 10.9. Типовая структура системы регулирования,
используемая при анализе точности системы
В соответствии с теоремой о начальном и конечном значениях:
])([lim)(lim
ошибку )(
tε можно записать в изображениях по Лапласу
у
0
st
→∞→
sst
⋅ε=ε
(10.56)
)(уsε :
у
0
s
→
])([lim)(
sss
⋅ε=ε
. (10.57)
127
Φ
1)(+=Ts
+
s
+
+
Поскольку
(s) по определению имеет вид:
)(
s
)(
sε=Φ , (10.58)
)(
sg
то
)]()([lim)(
у
0
s
→
sgsst
⋅Φ⋅=ε
. (10.59)
Соотношение (10.59) является основным при анализе
точности систем регулирования.
Рассмотрим приёмы использования этого соотношения
для систем с различным порядком астатизма.
Статическая система. Примем
sW . Для
k
структуры рис. 10.9 передаточная функция системы по ошибке примет вид:
)(
s . (10.60)
1
=Φ
+
=
)(1
sW
Ts
1
1
++
kTs
Тогда, для единичного ступенчатого задающего воздей-
ствия g(t) = 10(t), или
sg1)( = , получим изображение ошибки:
или, по (10.59), в оригиналах:
у
sst
Ts
sgss
)()()(
=Φ=ε , (10.61)
lim)]([lim)(
=ε⋅=ε
00
→→
ss
1
skTs
)1(
++
)1(
Tss
)1(
++
1
=
. (10.62)
1
+
kskTs
128
В системе присутствует постоянная установившаяся
s
+
+
s
+
+
ошибка по постоянному задающему воздействию.
Если на вход этой системы подать линейно нарастающее
v
)(
воздействие g(t) = vt, или
sg = , то произведя подстановку
2
g(s) в (10.61) и далее в (10.62), получим выражение:
)1(
∞→
у
=ε⋅=ε
lim)]([lim)(
sst
→→
00
ss
vTss
2
++
)1(
skTs
, (10.63)
указывающее на то, что установившая ошибка стремится к бесконечности, т.е. статическая система не способна отработать
линейно нарастающие воздействия.
Астатическая система с астатизмом первого порядка.
k
Пусть
примет вид:
sW
= . Передаточная функция по ошибке
sTs
)1()(+
sTs
s
)( . (10.64)
1
=Φ
+
=
sW
)(1
)1(
2
ksTs
++
Для единичного ступенчатого задающего воздействия
g(t) = 10(t), или
sg1)( = , получим:
sTs
sgss
)()()(
=Φ=ε , (10.65)
)1(
2
sksTs
)(
++
и, по (10.59), в оригиналах:
)1(
у
lim)]([lim)(
=ε⋅=ε
sst
→→
ss
2
00
sTss
0
=
. (10.66)
)(
++
sksTs
129
Ошибка астатической системы первого порядка системы
s
⋅
+
s
по постоянному задающему воздействию равна нулю.
Подадим на вход линейно нарастающее воздействие
v
)(
g(t) = vt, или
sg = . Получим значение:
2
у
0
sst
=ε⋅=ε
у
lim)]([lim)( , (10.67)
ss
→→
0
)1(
++
=
22
k
sksTs
)(
v
vsTss
Установившая ошибка по линейно нарастающему задающему воздействию в системе с астатизмом первого порядка
принимает постоянное значение, т.е. первый порядок астатизма
позволяет системе отрабатывать воздействия с постоянной
ненулевой первой производной.
Астатическая система с астатизмом второго порядка. Для системы с астатизмом второго порядка имеем
)(
sW+= . Передаточная функция по ошибке:
k
2
)1(
sTs
2
sTs
+
s
)( . (10.68)
1
=Φ
+
=
sW
)(1
)1(
23
ksTs
++
1
Для задающего воздействия g(t) = 10(t), или
sg
)( =
:
2
sTs
)1(
sgss
)()()(
=Φ=ε , (10.69)
+
23
sksTs
)(
++
и
2
)1(
+
у
lim)]([lim)(
=ε⋅=ε
sst
00
→→
ss
sTss
23
++
0
=
)(
sksTs
. (10.70)
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]