Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы алгебры в теории управления. Учебное пособие
.pdf
11 21 1
12 22 2
.
... ... ...
n n mn
a a a
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 .... 1
(
)
ij
A a
(
)
ij
B b
(
)
A B
=
(
)
ij
A a
(
)
ij
B b
1, 2,..., ,
i m
=
1, 2,...,
j n
=
(
)
ij
C c
ij ij ij
c a b
= +
... ... ... ... ... ...
n n
n n
m m mn m m mn
a a a k a k a k a
a a a k a k a k a
a a a
T
A
=
...
...
m
m
...
a a a
1 2
...
Квадратная матрица, у которой вне главной диагонали
элементы равны нулю, называется диагональной. Диагональная
матрица, у которой все диагональные элементы равны единице,
называется единичной:
E
=
.
Обозначают её также буквой I.
Две матрицы
сти считаются равными
= и
= одинаковой размерно-
, если все их соответствующие
элементы совпадают.
Суммой двух матриц
, называется матрица
= и
= ,
= той же раз-
мерности с элементами
Произведением числа k на матрицу A называется матрица, определяемая равенством:
... ...
11 12 1 11 12 1
... ...
k A k
⋅ = =
21 22 2 21 22 2
... ...
a a a k a k a k a
... ...
1 2 1 2
.
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
11
.
(
)
m n
×
(
)
n p
×
(
)
m p
ik ij jk i k i k in nk
c a b a b a b a b
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅
1 0 0 1
0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A a
Произведением двух матриц
=
и
B b
ij
=
jk
таких, что число столбцов первой матрицы равно числу строк
второй, называется матрица
C c×= , элементы которой
ik
определяются равенствами
m
∑
1
i
−
1,2,..., , 1,2,...,
i m k p
= =
( )
1 1 2 2
...
Иначе говоря, элементы матрицы-произведения А·В = С
определяются так: элемент I – ой строки и k – ого столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i– ой строки матрицы А на соответствующие элементы k – го столбца матрицы В.
Из определения вытекает, матрицу А можно умножать
не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов
матрицы А равнялось числу строк матрицы В.
Пример 2.1.
A B
= =
Находим:
A B
⋅ = ⋅ =
B A
⋅ = ⋅ =
Видим, что А·В ≠ В·А.
Две матрицы, для которых имеет место А·В = В·А, назы-
12
.
;
.
ваются коммутирующими (перестановочными).
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
d
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 0
det( ) det( ) det( ).
A B A B
⋅ = ⋅
Очевидно, что для всякой квадратной матрицы А порядка n справедливо равенство: А·D= D·А, где
d
D
=
– диагональная матрица n-го порядка
0 0 ...
d
и А·Е = Е·А=А, А·0 = 0, где
матрица;
O
=
E
=
– нулевая матрица.
– единичная
Каждой квадратной матрице А n-го порядка ставится в
соответствие число, называемое определителем (det A) этой
матрицы.
Если det A ≠ 0, то матрица А называется невырожденной
(неособенной); в противном случае А – вырожденная (особенная) матрица.
Имеет место теорема: Определитель произведения двух
матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.
13
Пример 2.2. Найти произведение матриц АВ и ВА, где
1 2 3
, 4 0 2
5 4 6
1 2 3
4 0 2
5 4 6
⋅ = ⋅ =
2 1 3 4 1 5 2 2 3 0 1 4 2 3 3 2 1 6
3 1 1 4 0 5 3 2 1 0 0 4 3 3 1 2 0 6
= =
19 8 18
7 6 11
2 3 1
A B
= =
3 1 0
Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы
В; следовательно, умножение А на В возможно:
2 3 1
A B
3 1 0
.
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
=
Произведение В·А не существует, т.к. количество столб-
цов матрицы В не равно количеству строк матрицы А.
14
.
2.2. Обратная матрица и ее вычисление
1
A
−
A A A A E
⋅ = ⋅ =
1
A
−
11 21 1
12 22 2
... ... ... ...
n n nn
A A A
A A A
A A A
ij
A
ij
a
1
detAA
= ⋅
A
∨
A
∨
ij
A
ij
A
,
Матрица
называется обратной по отношению к мат-
рицеA, если их произведение равно единичной матрице:
1 1
− −
.
Любая невырожденная матрица А порядка n, у которой
det A ≠ 0 имеет обратную
того же порядка. У вырожденной
матрицы не существует обратной.
Обратную матрицу можно вычислять по формуле:
...
n
1
−
A
1
= ⋅
det
A
...
n
где
– алгебраическое дополнение элемента
лителе, или
определяется как транспонированная к матрице А, составленная из алгебраических дополнений
ментов матрицы А. По этой формуле для матриц высокого порядка процесс вычисления обратной матрицы трудоемок.
Трудность связана с вычислением алгебраических дополнений
к каждому элементу.
Находить обратную матрицу можно с помощью элемен-
тарных преобразований:
1) перестановки двух любых строк (столбцов);
2) умножения строки (столбца) на число с ≠ 0;
3) прибавление к элементам какой-либо строки (столб-
1 2
1
−
, где
..
в ее опреде-
– присоединенная матрица
соответствующих эле-
15
ца) соответствующих элементов другой строки (столбца),
1
A
−
(
)
размера n 2n
= ×
A
Г
(
)
|
E B
1
B A
−
=
1
A
−
2 3
1 4
−
det 11 0
= = ≠
1
A
−
умноженных на любое число;
С помощью элементарных преобразований получаем
матрицы, эквивалентные исходной. Любую невырожденную
матрицу А путем элементарных преобразований только строк
(или столбцов) можно привести к единичной Е.
Этот метод нахождения
состоит в следующем.
Для данной матрицы А порядка n строим прямоугольную матрицу
Г A E
A
|
, приписывая к А
справа единичную Е. Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу
к виду
=
что всегда возможно, если det A ≠ 0.
Тогда
.
Пример 2.3. Найти обратную матрицу
для матрицы
А двумя способами:
1) по формуле;
2) методом эквивалентных преобразований,
где
A
=
.
Решение. Матрица А – невырожденная, т.к.
2 3
−
A
1 4
. Следовательно, существует
.
,
16
Сначала находим присоединенную матрицу:
4 3
1 2
4; 2; 1; 3;
= = = − =
1
detAA
= ⋅
A
∨
4 3
11 11
1 2 1 2
11 11
, const;
k
1 1
;
A B B A
− −
()(
)
1
−
... ... ...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
где
A A A A
11 22 12 21
Затем подставляем в формулу
1
1
−
A
= =
11
Отметим свойства обратной матрицы.
1
1
−
k A A k
⋅ = −
1)
( )
1
−
∨
A
=
−
4 3
−
,
1
−
:
.
−
1
−
⋅ = ⋅
2)
( )
Дана прямоугольная матрица:
3.
A A
2.3. Ранг матрицы
...
11 12 1
...
=
21 22 2
A
...
...
1 2
17
T
1
−
T
=
.
.
Рассмотрим всевозможные миноры матрицы
A
(
)
r A
()(
)
r A r B
BA∞
(
)
A m n
×
(
)
1
+
A k
=
(
)
1
+
2 4 3 1 0
1 2 1 4 2
0 1 1 3 1
4 7 4 4 5
ные от нуля.
Рангом матрицы A называется наивысший порядок от-
личных от нуля миноров этой матрицы. Обозначают ранг мат-
рицы A через
или Rang A.
, отлич-
( )
=
k
, то матрицы A и B называются экви-
.
можно находить двумя способами.
- го порядка, которые содержат в себе
; в противном случае среди окаймляющих
k
- го порядка, отличный от ну-
−
Если
валентными: пишут
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называют базисным минором.
Ранг матрицы
Первый способ: метод окаймляющих миноров. Пусть
найден минор М k-го порядка, не равный нулю. Рассмотрим
лишь те миноры
(окаймляют) минор M: если все они равны нулю, то
Rang
миноров найдется минор
ля. И вся процедура повторяется.
Второй способ: метод элементарных преобразований
основан на том, что элементарные преобразования не меняют
ранг матрицы. В этом случае матрица приводится к ступенчатой, ранг которой равен числу её ненулевых строк.
Пример 2.4. Найти ранг матрицы:
=
− −
−
− −
18
.
A
Решение. Путём перебора находим миноры 2-го поряд-
4 3
2 1
1 2 1 0
= − ≠
0
≠
0
= =
0
= =
3
=
ка, отличные от нуля. Например,
M−=
окаймляющие миноры 3-го порядка:
Далее вычисляем миноры 4-го порядка, окаймляющие
минор
M
. Их будет два:
3
2 4 3 1
−
1 2 1 4
M
41
− −
0 1 1 3
4 7 4 4
−
− −
;
M
Следовательно, Rang
A
2
M
3
2 4 3 0
1 2 1 2
42
0 1 1 1
4 7 4 5
.
−
2 4 3
−
0 1 1
−
−
−
≠ 0. Вычисляем
.
−
.
−
19
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
11 12 1
21 22 2
,
.
a x a y b
a x a y b
+ =
+ =
y
∆
∆ ∆
11 12 1 12 11 1
21 22 2 22 21 2
a a b a a b
a a b a a b
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 1 3
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + =
+ + =
+ + =
УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЕ
3.1. Формула Крамера
Рассмотрим системы из двух и трех линейных уравнений.
Система двух линейных неоднородных уравнений с
двумя неизвестными имеет вид
(3.1)
С помощью определителей 2-го порядка значения неизвестных х и у можно найти по формулам Крамера:
∆
x
x x
1 2
,
= =
, (3.2)
∆ = ≠ ∆ = ∆ =
где
0
x y
.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид
. (3.3)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]