Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод молекулярной динамики при изучении структуры и конформационной динамики макромолекул на поверхностях твердых адсорбентов и в нанокластерах. Учеб
.pdf
t
nnn
2/11
vrr
, (1.15)
t
m
n
nn
F
vv
2/12/1
2/1n
v
2/1n
v
tt 2/1
tt 2/1
n
F
n
r
n
F
2/1n
v
2/1n
v
n
r
2/1n
v
1n
r
2/)
2/12/1
nnn
v(vv
, (1.16)
где
и
- скорость на шаге времени
и
соответственно. Если убрать скорости в этих уравнениях, то получится
метод, который эквивалентен алгоритму Верлета.
Алгоритм выполняется в цикле:
1) для вычисления текущей силы
использовать текущую позицию
;
2) использовать текущую силу
следующей скорости на середине шага
3) использовать текущую позицию
на следующем шаге
.(1.15).
и скорость
(1.16);
и
для вычисления
для вычисления позиции
Текущая скорость определяется как
, (1.17)
и служит для вычисления кинетической энергии.
Преимущества алгоритма «leap-frog».
1) Более точная оценка скорости.
2) Прямая оценка скорости дает возможности для управления
моделированием температуры (через перемасштабирование скорости).
3) Уменьшаются численные ошибки.
Недостатки алгоритма «leap-frog».
1) Недостаточно точно определяет скорости.
2) Требует большего количества ресурсов для вычислений, чем
алгоритм Верлета.
11
Скоростной алгоритм Верлета
t
2
1
2
1
t
m
t
n
nn
F
vrr
n
t
mm
nn
nn
1
1
2
1
FF
vv
1n
r
tt
t
m
n
nn
F
vv
2
1
2/1
1n
F
tt
1n
v
t
m
n
nn
1
2/11
2
1
F
vv
tt
Для улучшения скоростной обработки алгоритм Верлета
модифицируется к скоростной форме алгоритма Верлета. Этот алгоритм
сохраняет позиции, скорости и ускорения в один момент времени
минимизирует ошибки округления.
(1.18)
(1.19)
Алгоритм выполняется по следующим шагам в цикле:
1) Вычисление позиции
во время
по формуле (1.18);
2) Вычисление скорости в середине шага
(1.20)
3) Вычисление силы
во время
;
и
4) Вычисление скорости
.
(1.21)
На этой точке рассчитывается кинетическая энергия на шаге времени
.
Преимущества скоростного алгоритма Верлета.
1) Численно очень стабильный.
2) Удобный и простой.
3) Обеспечивает точную оценку скоростей и кинетической энергии.
Главное неудобство алгоритма – в вычислительном отношении
наиболее дорогой, чем предыдущие алгоритмы [5, 11, 20, 30, 31].
12
1.4 Задание начальных координат и скоростей
Уравнения движения Ньютона требуют два начальных параметра для
каждой степени свободы для того, чтобы начать вычисления. Эти два
начальных параметра – набор начальных координат и набор начальных
скоростей [5, 8, 16].
Начальные координаты
Начальные координаты обычно получаются из экспериментально
определенной молекулярной структуры (методами рентгеновской
кристаллографии или ядерного магнитного резонанса) или могут быть
основаны на различных компьютерных моделях.
Данные, полученные с помощью эксперимента, прежде чем они будут
использованы как начальные структуры в динамическом моделировании,
должны подготавливаться для моделирования. Методом рентгеновской
кристаллографии невозможно определить положения атомов водорода.
Поэтому эти координаты должны быть добавлены к начальной структуре
перед началом моделирования. Также бывают случаи, когда целые части
белка отсутствуют в экспериментально определенной структуре, вследствие
наличия в цепи белка гибких частей молекул, которые не дают четкой
структуры, или из-за того, что они были преднамеренно удалены, чтобы
облегчить процесс кристаллизации. Эти промежутки могут быть заполнены
смоделированными структурами.
Перед самым началом моделирования все координаты
пересчитываются для минимизации энергии модели. Минимизация энергии
должна уменьшить локальные напряжения несвязанных взаимодействий,
релаксировать длину связи и искажения углов связей в экспериментальной
структуре. Происхождение этих напряжений связано с эмпирическим
характером функции энергии при моделировании методом молекулярной
динамики, а также из-за усреднения при получении экспериментальной
кривой [10, 15, 17, 20, 30].
13
Начальные скорости
T
kT
m
kT
m
f
iii
i
2
exp
2
)(
2
2/3
v
v
k
dof
N
i
ii
dof
m
kN
tT
1
2
1
v
dof
N
nNN
dof
3
N
Начальные скорости, в отличие от начальных координат, не могут быть
получены экспериментально. Единственная информация доступная
относительно атомных скоростей – это температура системы
, которая
определяет скоростное распределение. Начальные скорости обычно
определяются из стандартного распределения Максвелла при абсолютной
температуре:
, (1.22)
где
– постоянная Больцмана.
Это назначение скоростей неравновесное: скорости соседних атомов не
коррелированны. Например, связанные между собой атомы могут двигаться в
противоположных направлениях. Также случайным образом какая-либо
группа атомов при назначении может получить высокие скорости, в
результате получится «горячая точка», вызвав нестабильность в
моделировании. Для преодоления этой проблемы скорости сначала
назначают при низкой температуре, которую увеличивают, когда происходит
динамическая релаксация системы. Нагревание происходит до тех пор, пока
не достигается нужная температура моделирования. Нагревание на практике
выполняется увеличением скорости атомов: повторно назначая скорости из
распределения Максвелла при поднятой температуре или умножая скорости
на одинаковый коэффициент. Температуру можно определить из
кинетической энергии системы:
, (1.23)
где
– число степеней свободы системы,
, (1.24)
где
– число атомов, n– число ограничений.
14
Другая проблема, связанная с начальным распределением скоростей -
P
t
это большая величина полного импульса
и полного момента импульса L
молекулы. Эти импульсы приводят к перемещению центра масс и
глобальному вращению молекулы, затеняя малые внутренние движения, что
снижает эффективность моделирования. Поэтому эти импульсы
периодически обнуляют в процессе моделирования [5, 20, 22].
1.5 Выбор шага времени интегрирования
Размер шага интегрирования
является важным параметром, от
которого зависит величина ошибки интегрирования. Чем меньше шаг, тем
лучше качество интегрирования, но при этом требуется большее количество
шагов для той же самой длины моделирования. Поэтому надо выбрать
максимально возможный шаг интегрирования, который все еще будет
гарантировать точное моделирование. Этот шаг времени должен быть
меньшим по сравнению с периодом самых быстрых движений в
моделируемой системе примерно в 10-20 раз.
Для биомолекул, типа белков, самые быстрые движения – это
колебания связей, соединяющих водород с тяжелыми атомами, с периодом
примерно 10 фемтосекунд (фс). Следовательно, соответствующий шаг
времени для моделирования биомолекул 0.5-1фс [1, 5, 11, 12].
1.6 Устойчивость интегрирования
Моделирование должно быть точным и стабильным. Моделирование
становится неустойчивым, когда набираются ошибки в процессе
моделировании, в результате чего оно становится бессмысленным. Любой
приближенный метод решения не будет давать точную классическую
траекторию на бесконечности. Тем не менее, необходимо поддерживать
стабильным моделирование, по крайней мере, на время конкретного
исследования. Стабильность при моделировании должна быть измерена в
любой момент времени.
15
Лучшими датчиками для оценки стабильности любого моделирования
410
EE
t
являются величины, которые будут сохраняться в течение всего
моделирования [11].
Сохранение энергии
Для микроканонического ансамбля полная энергия системы E должна
сохраняться. Молекулярно-динамическое моделирование
микроканонического ансамбля является точным, если:
. (1.25)
Обратимость во времени
Уравнения Ньютона обратимы во времени. МД-моделирование должно
быть в состоянии произвести путь в обратном направлении к начальной
конфигурации (когда знак шага по времени t меняется на
). Однако изза хаоса и математических округлений, даже небольшие численные ошибки
делают возможным откат по траектории только в течение коротких периодов
времени. Любые две классические траектории, которые изначально были
очень близкими, с течением времени расходятся друг от друга. Таким же
образом, любое малое возмущение, даже небольшая ошибка, связанная с
конечной точностью на компьютере, вызовет расхождение траекторий друг
от друга и от точной классической траектории. Тем не менее, в течение
коротких периодов времени моделирования стабильная интеграция должна
быть обратимой по времени [11].
1.7 Анализ динамических траекторий
Важным является анализ полученных в результате МД-моделирования
динамических траекторий. Необходимо заранее планировать процедуру
анализа перед началом моделирования, так как цели анализа часто
определяют характер моделирования.
16
Частота сохранения динамической траектории
)(tA
N
tA )(
N
Одними из выходных данных молекулярно-динамического
моделирования являются координаты и скорости атомов моделируемой
системы, которые образуют числовую траекторию, то есть ряд «снимков»
системы (координаты, скорости), которые принято сохранять через равные
промежутки времени
(интервал выборки
, как правило, гораздо
больше, чем шаг моделирования t). Размер интервала выборки траектории
должен быть определен в соответствии с временной шкалой изучаемого
явления. Например, интервал выборки 1-10 пс подходит для изучения
явления, которое моделируется десятки и сотни пикосекунд, но не подходит
для исследования быстропротекающих процессов на субпикосекундном
масштабе времени.
Любая динамическая переменная
рассчитывается по результатам
траекторных «временных рядов». Динамические переменные могут быть
функциями координат и/или скоростей. Они могут быть относительно
простыми (например: полная энергия, определенные длины связей,
торсионные углы) или сложными. Примерами сложных переменных
являются: расстояние между концами цепи в белке; расстояния между
донором водородной связи и акцептором.
Самой простой аналитической процедурой является построение
графика зависимости динамической переменной от времени (временных
рядов). Такие участки дают быструю и простую оценку МД-моделирования и
полезны для определения тенденции или внезапных переходов из одного
состояния в другое.
Так как временные серии состоят из мгновенных значений, взятых в
точках отбора на траектории, они имеют тенденцию быть очень шумными.
Уровень шума может быть уменьшен простой процедурой сглаживания.
Общая процедура сглаживания заключается в построении среднего значения
по серии данных
. Ширина окна N соответствует свойству,
17
которое изучается и зависит от соотношения между интервалом выборки
2/1
1
22/12
)(
1
)(
s
N
i
i
s
RMS
A
N
AA
A
s
N
A
2/323
3
/ AA
3/
224
4
AA
3
4
)(tA
и характерного времени шума. Например, шум в связи с колебаниями
ковалентной связи (масштаб времени 10-50 фс) может быть сглажен на
промежутке 0.5-1 пс. С другой стороны, простое увеличение размера
интервала выборки
до времени 0.5-1 пс в этом случае, также уменьшит
эффект от шума [11].
Средние величины и флуктуации
Для оценки результатов моделирования часто рассчитывают средние
значения динамической переменной и измеряют ее флуктуации. Наиболее
общей средней величиной является среднеквадратичное значение (RMS).
, (1.26)
где
- любая динамическая переменная,
- число снимков в
траектории.
Среднеквадратичные флуктуации рассчитываются таким же образом:
флуктуация
, которая определяется как разница между средним A.
Когда изучаются ангармонические и неизотропные процессы,
интересны более высокие моменты распределения. Третий момент
распределения отражает асимметрию:
. (1.27)
В то время как четвертый момент отражает куртозис:
. (1.28)
Оба
и
равны нулю для распределения Гаусса [11].
Корреляционные функции
Хорошим аналитическим инструментом являются временные
корреляционные функции. Для любых динамических переменных
,
18
таких, как длины связей или двугранных углов, временная
)0()()( AtAtC
A
)(tA
t
)()( tCtC
AA
)()( sAtsA
s
)(tA
)(tB
)0()()( BtAtC
AB
)(tC
A
wA
tCF )}({
A
)(A
)](ln[)( ARTAW
автокорреляционная функция определяется как:
(1.29)
Эта функция измеряет отношение свойства переменной
два разных момента времени, разделенных интервалом
, усреднённое по
к себе в
всей траектории. Автокорреляционная функция обратима по времени
(
получается усреднением
). С практической точки зрения, автокорреляционная функция
, сдвигая
вдоль траектории.
Временная «кросс-корреляционная» функция между динамическими
переменными
и
:
. (1.30)
Важным свойством автокорреляционной функции
что, беря ее преобразование Фурье
, получаем спектральное
является то,
разложение по всем частотам [11].
Потенциал средней силы
Потенциал средней силы (эффективный потенциал) отражает среднее
влияние всех других степеней свободы на динамическую переменную.
Учитывая наблюдаемое распределение значений (с траектории), может быть
получена соответствующая эффективная потенциальная функция.
Первым шагом в этой процедуре является организация наблюдения за
значениями динамической переменной
распределения
. От этого распределения эффективный потенциал или
и преобразование в функцию
потенциал средней силы рассчитывается из соотношения Больцмана:
. (1.31)
Преимущество потенциала средней силы в том, что он отражает эффект
факторов внешней среды на поведение динамической переменной. Таким
19
эффектом может быть затухание (заглушение) в растворителе или
коррелированные колебания [11].
Оценка стандартных ошибок
Рассчитываемые динамические свойства имеют систематические и
статистические ошибки. Систематические ошибки появляются из-за
различных приближений при расчетах (потенциала взаимодействия,
взаимодействия из-за обрезания потенциала несвязанных взаимодействий и
т.д.). Они должны оцениваться и устраняться, где это возможно.
Основной причиной статистической неточности является усреднение
данных моделирования на конечной траектории. Статистические ошибки
динамических свойств могут быть выражены путем разбиения процесса МДмоделирования на несколько блоков, беря среднее из каждого блока и
используя эти значения для статистического анализа. Длины блоков должны
быть значительными, чтобы сделать достаточно точную оценку ошибок. Этот
подход основан на предположении, что каждый блок является независимым.
Другой подход состоит в запуске нескольких МД расчетов с
различными начальными условиями. Использование нескольких траекторий
предпочтительней одной длинной траектории [11].
1.8 Молекулярная динамика канонического и изотермически-
изобарического ансамблей
Ранее рассматривалась изолированная (консервативная) система,
полная энергия системы частиц была постоянной в процессе моделирования.
Во многих случаях более актуальным является выполнение моделирования в
других ансамблях, таких как канонический (NVT), который ассоциируется со
свободной энергией Гельмгольца, или изотермически-изобарический (NPT)
ансамбль, который ассоциируется со свободной энергией Гиббса.
Существует два различных типа решений для моделирования
альтернативных ансамблей методом молекулярной динамики. Первый метод
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]