Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод геометрического ряда. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
имени Гагарина Ю.А.
А.В. Бочкарев, А.И. Землянухин, О.М. Балабан
МЕТОД
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
Учебное пособие по дисциплине
«Неклассические методы математической физики»
для студентов направления 27.04.03
«Системный анализ и управление»
Саратов 2022
1
УДК 517.7 (07)
ББК 22.161.6
Б 86
Рецензенты:
Кафедра математического и компьютерного моделирования
Саратовского национального исследовательского
государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Доктор физико-математических наук, доцент,
главный научный сотрудник Института проблем точной механики
и управления Российской академии наук
Д.В. Кондратов
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного технического университета
имени Гагарина Ю.А.
Бочкарев А.В.
Б 86 Метод геометрического ряда: учеб. пособие / А.В. Бочкарев,
А.И. Землянухин, О.М. Балабан. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т,
2022. 76 с.
ISBN 978-5-7433-3462-9
В пособии рассматривается один из современных методов решения
нелинейных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений – метод геометрического ряда. Разобраны примеры получения
точных решений, достоинства и ограничения метода.
Для студентов направления 27.04.03 «Системный анализ и управление».
УДК 517.7 (07)
ББК 22.161.6
© Саратовский государственный
технический университет, 2022
© Бочкарев А.В., Землянухин А.И.,
ISBN 978-5-7433-3462-9 Балабан О.М., 2022
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4
ГЛАВА 1. Применение метода возмущения для нахождения точных
решений интегрируемых уравнений .............................................................. 6
ГЛАВА 2. Общая схема метода геометрического ряда ....................................... 9
ГЛАВА 3. Критерии геометричности степенного ряда ..................................... 11
ГЛАВА 4. Решение интегрируемых уравнений методом
геометрического ряда .................................................................................... 18
4.1. Модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (мКдВ) ............... 18
4.2. Уравнение Конно – Камеямы – Сануки .................................................... 20
4.3. Уравнение Цицейки .................................................................................... 21
4.4. Уравнение Кричевера – Новикова ............................................................. 22
4.5. Уравнение типа Кортевега – де Вриза (КдВ) ........................................... 23
4.6. Уравнение КдВ высшего порядка.............................................................. 23
4.7. Уравнение Каупа – Купершмидта (KK) .................................................... 24
ГЛАВА 5. Решение неинтегрируемых уравнений методом
геометрического ряда .................................................................................... 26
5.1. Уравнение Бенджамина – Бона – Махони – Бюргерса (ББМБ) .............. 26
5.2. Уравнение Фишера ...................................................................................... 27
5.3. Обобщенное уравнение Островского ........................................................ 28
5.4. Комбинированное уравнение Брезертона ....................................................... 28
5.5. Уравнение Курамото – Сивашинского с кубической нелинейностью .... 29
ГЛАВА 6. Метод Ньютона .................................................................................... 31
ГЛАВА 7. Обобщение схемы метода геометрического ряда.
Рациональные и периодические решения.................................................... 35
7.1. Обобщенное уравнение Дуффинга ............................................................ 35
7.2. Обобщенное уравнение эллиптических функций Якоби ........................ 45
ГЛАВА 8. Нелинейное суммирование степенных рядов ................................... 46
8.1. Основы нелинейного суммирования рядов ................................................. 46
8.2. Модифицированное неинтегрируемое уравнение Кортевега – де Вриза ... 48
8.3. Модифицированное уравнение Бюргерса................................................. 49
ГЛАВА 9. Особые случаи. Уравнение Кавахары ............................................... 50
ГЛАВА 10. Метод геометрического ряда для дифференциально-
разностных уравнений ................................................................................... 54
10.1. Уравнение цепочки Вольтерра ................................................................. 55
10.2. Модифицированное дискретное уравнение Савада – Котеры.............. 57
10.3. Дифференциально-разностное уравнение, содержащее дроби ............ 58
10.4. ДРУ с произвольными коэффициентами ................................................ 59
10.5. Уравнение из семейства Тоды ................................................................. 60
10.6. Уравнение из семейства Вольтерра ......................................................... 62
10.7. Система уравнений Абловица – Ладика ................................................. 64
ГЛАВА 11. Достоинства и недостатки метода ................................................... 66
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................... 72
3
9
3913353
xxy3
1
ВВЕДЕНИЕ
Системное мышление является основным навыком для руководите-
лей всех уровней. Именно поэтому магистерская программа подготовки по
направлению 27.04.03 «Системный анализ и управление» включает различные дисциплины, позволяющие получить набор эффективных инструментов для решения возникающих на практике проблем.
Дисциплина «Неклассические методы математической физики» изу-
чается в первом семестре второго курса магистратуры. Основное содержание курса составляют методы решения нелинейных дифференциальных
уравнений. Овладение этими методами призвано выработать у магистрантов
важнейший навык выявления общих свойств у объектов различной природы
при решении технических, экономических и управленческих задач.
Авторы данного пособия солидарны с сэром Исааком Ньютоном,
считавшим, что «при изучении наук примеры полезнее правил». Поэтому
сразу рассмотрим характерный пример.
Пусть требуется найти решение нелинейного дифференциального
уравнения
модельной задачи является функция
4
yy
с начальным условием
10y . Точным решением этой
31
31
xxy . Мы будем отыскивать
решение в форме ряда по степеням независимой переменной. Такой подход,
восходящий к Ньютону, является традиционным при решении сложных
уравнений, решения которых заранее не известны. С использованием исходных данных мы можем представить искомое решение в виде отрезка ряда
Маклорена:
взгляд, непонятно, как данный ряд связан с точным решением, сколько ещё
потребуется членов ряда и т. д. В работах [1, 2] для решения этой проблемы
предлагается использовать рациональные аппроксимации полученного степенного ряда, называемые аппроксимантами Паде. На данный момент – это
наиболее эффективная техника суммирования, но и она в нашем примере не
позволяет получить точное решение. Если же возвести отрезок ряда Макло-
рена в куб, получаем:
то есть геометрическую прогрессию, первый член которой 1, а знаменатель
равен
пишем выражение для суммы геометрической прогрессии:
Видно, что кубический корень из полученного выражения совпадает с точным решением! Но теперь мы должны ответить на главный вопрос: случаен
ли наш успех или он отражает какое-то общее свойство, которое позволит
нам решать сложные нелинейные уравнения неклассической математической физики?
x3
. Оставляя пока в стороне вопрос о сходимости, формально за-
21 На первый
14
3
728
65432
...xxxxxxxy
65432
xxxxxxxy ,
3
1
.
...7292438127931
4
В предлагаемом учебном пособии предпринята попытка подробного
и системного ответа на поставленный вопрос. Если у читателя возникнет
интерес к решению нелинейных уравнений или появятся новые взгляды на
проблемы, напрямую с математикой не связанные, авторы будут считать,
что справились со своей задачей.
Считаем своим приятным долгом выразить искреннюю признатель-
ность профессору И.В. Андрианову, многочисленные работы которого мотивировали нас к развитию метода геометрического ряда.
5
ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВОЗМУЩЕНИЯ
tkxz
2
ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧНЫХ
РЕШЕНИЙ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ
К настоящему времени известно множество методов построения
точных решений эволюционных и квазигиперболических уравнений, возникающих в задачах нелинейной волновой динамики, в частности, метод
сингулярного многообразия (Вайс, Табор и Корневейл), метод проективных уравнений Риккати (Конт, Мюзетт), методы простейших уравнений,
логистической функции, многоугольников (Н.А. Кудряшов и его научная
школа), многочисленные методы, изложенные в книгах А.Д. Полянина
и В.Ф. Зайцева с соавторами. Одного универсального метода, пригодного
для произвольного нелинейного уравнения, не существует, и подбор метода решения конкретной задачи есть отдельная проблема, которую каждый
исследователь решает самостоятельно.
Особое место среди прямых методов занимает метод Хироты, позво-
ляющий строить N – солитонные решения и преобразования Бэклунда нелинейных эволюционных уравнений. Статья с его изложением вышла почти полвека назад и была первой в данной области. В начале статьи Хирота рассматривает уравнение Кортевега – де Вриза (КдВ) в потенциальной
форме и рассуждает о возможности использования метода возмущений для
построения его точных решений. Хирота отмечает, что ряд метода возмущений на основе экспоненциального решения линеаризованной задачи
сходится медленно или даже расходится, поэтому он вводит в рассмотрение замену зависимой переменной специального вида, преобразующую
уравнение КдВ к билинейной форме. Этот переход соответствует известному тезису о невозможности получения солитона как принципиально нелинейного объекта ни в каком конечном порядке метода возмущений на
основе линейного решения. Покажем на простом примере, что данный тезис следует уточнить.
Следуя Хироте, рассмотрим уравнение КдВ
Переходя в (1.1) к переменной бегущей волны
тегрирования по z получаем
1
Будем искать решение уравнения (1.2) в форме ряда метода возму-
щений
где
– неизвестные функции. Подставим (1.3) в (1.2) и сгруппируем
zu
n
n
1
результат по степеням параметра :
6
.uuuu
0
xxxxt
(1.1)
, после ин-
32
n
,zuu
n
.ukuku
0
zz
(1.2)
(1.3)
3
k
, , ,...
kekekekek
41472
20736
432
48
6
e
z
kykykykyk
41472
20736
432
48
6
y
a
k
12
zz
uuk
11
32
33
35
zz
zz
34
zz
zz
36
zz
1
2
1
2
1
2
2
kuuuk
122
ukuuuk
2133
2
uuukuuk
23144
uuuukuuk
324155
(1.4)
2
uuuuukuuk
3425166
.0...
В каждом n-м порядке по получаем линейное уравнение для опреде-
ления функции
ным решением является
. В главном порядке уравнение однородное; его част-
zu
n
z
при условии
eu
1
3
, которое
совпадает с линейным дисперсионным соотношением задачи. В каждом следующем порядке имеем неоднородное уравнение, причем структура (1.3) гарантирует, что сумма нижних числовых индексов в каждом
слагаемом такого уравнения одинакова и совпадает с порядком n. Это позволяет использовать для всех оставшихся неизвестных функций единый анзац
чтобы затем последовательно определить коэффициенты
nz
,eKu
nn
K K K
2 3 4
Функциональный ряд метода возмущений (1.3) принимает вид
2
ezS
2
2
32
3
4
43
4
6
54
5
5
8
65
10
zzzzzz
6
(1.5)
...,e
и после замены
yyS
y
2
2
превращается в степенной ряд
2
3
4
3
4
6
4
5
5
8
5
10
6
...,y
(1.6)
Сумма ряда (1.6) дает точное решение уравнения (1.2). Чтобы
отыскать сумму, заметим, что несколько первых слагаемых преобразованного ряда
yS
y
ydy
2
y
2
k
2
3
y
4
k
3
4
y
6
k
образуют геометрическую прогрессию с первым членом
телем y
q
. Предполагая то же свойство и для остальных членов
2
4
20736172814412
5
8
k
...y
(1.7)
и знамена-
ряда (1.7), то есть считая этот ряд геометрическим, запишем его сумму
2
12
yS
dy
y
a
1
q
12
yk
2
,
yk
7
откуда
1
k
4
S
144
12
yk
2
2
yk
12
144
2
4
ek
(1.8)
.
2
z
ek
z
Подстановка в уравнение (1.2) подтверждает, что выражение (1.8)
является его точным решением. После возвращения в (1.8) к исходным переменным
t,x
exp144
S
exp12
34
tkkxk
2
32
tkkxk
получаем точное решение уравнения КдВ (1.1), совпадающее после несложных преобразований с его известным солитонным решением
,
txu
где параметр сдвига равен
C
3
k
2
sech
12lnk
1
2
.
2
32
,
Ctkkx
(1.9)
Построим графики частичных сумм ряда (1.5) с различными количе-
ствами слагаемых N на фоне точного решения (1.8) (рис. 1).
Рис. 1. Частичные суммы ряда (1.5) (прерывистые линии)
и точное решение (1.8) (сплошная линия) при
.
Как видим, даже удержание 100 слагаемых ряда возмущений не поз-
воляет приблизиться к графику точного решения – правее точки максимума солитона ряд возмущений расходится. Именно об этой проблеме говорил Хирота, когда строил свое билинейное преобразование. Тем не менее
8
формальная запись суммы даже расходящегося ряда метода возмущений
0
...
tkxz
)(z
u
u u z
,...,n32
в предположении, что он является геометрическим рядом, позволяет получить точное решение уравнения.
Заметим, что параметр введен в равенство (1.3) для удобства даль-
нейшей группировки слагаемых и не обязан быть малым параметром, как
это требуется при построении приближенного решения в классическом методе возмущений. Уравнение КдВ как автономное дифференциальное
уравнение обладает свойством: если
также является решением. В нашем случае параметр ха-
tt,xxu
00
рактеризует простой сдвиг графика точного решения (1.9) вдоль координатных осей
и может принимать любые значения, удовлетворяющие
t,x
есть решение уравнения, то
t,xu
условию
Таким образом, уточненный тезис о возможности применения мето-
да возмущений для определения точных солитонных решений уравнений
можно сформулировать так: солитонное решение возникает не в каком-то
конечном порядке метода возмущений, а в предельном случае – как сумма
геометрического ряда метода возмущений.
.
ГЛАВА 2. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных
относительно функции
ния зависят от произвольных параметров
ского ряда включает следующие шаги:
1) заменой переменной
дифференциальному уравнению (ОДУ) для функции
2) подставляя частичную сумму ряда метода возмущений
. Предположим, что коэффициенты уравне-
t,xu
,,
. Метод геометриче-
321
переходим к обыкновенному
;
N
n
1
n
(2.1)
n
в ОДУ, группируем результат по степеням параметра и из решения линейного однородного дифференциального уравнения, возникающего
в главном порядке по , определяем функцию
3) из решений линейных неоднородных дифференциальных уравне-
ний, возникающих в следующих порядках по , последовательно определяем функции
;
4) подбираем значения параметров
сумма
32
, используя представление
,...zu,zu
;
zu
1
n
,
...,,,,k
, чтобы частичная
321
zuKzu
nn
1
9
N
1
u
y
2N
3N
1
p
N
p
y
a
n
n
2
uKuu
11
n
(2.2)
ряда по степеням функции
соответствовала некоторому геометриче-
скому ряду;
5) проверяем, дает ли сумма этого геометрического ряда точное ре-
шение ОДУ.
Данная схема предполагает выбор количества N слагаемых частич-
ной суммы и использование какого-либо критерия геометричности ряда.
Коснемся подробнее каждого из этих действий.
Выбор количества N слагаемых частичной суммы увязан с по-
рядком полюса искомого решения. Сумма сходящегося геометрического
ряда
n
qa , где a и q являются многочленами по переменной
0n
, есть ра-
циональная функция
.
S
1
q
a
10
1
1
m
n
(2.3)
n
yc...yc
m
yb...ybb
Если дробь (2.3) соответствует точному решению с полюсом p, то
знаменатель должен иметь хотя бы один корень кратности p. Простейшая
дробь, имеющая первый порядок полюса:
yb
1
1
,
yc
1
содержит два неизвестных коэффициента, для определения которых требуется минимум
члена частичной суммы (2.1); простейшая дробь с полюсом 2-го порядка содержит в знаменателе квадратный трехчлен, и для
определения ее коэффициентов требуется знание как минимум
нов частичной суммы. Таким образом, следует выбирать
чле, где
– порядок полюса решения уравнения.
Выбор критерия геометричности. Первый член a и знаменатель q
геометрического ряда легко определяются только в простейших случаях
(см. (1.7)). Степенной ряд (1.6) также является геометрическим – чтобы
показать это, достаточно его сумму (1.8) представить в форме
4
S
144
12
yk
2
yk
1
2
y
22
y
2
k
y
1446
4
k
a
1
,
q
откуда
y
,
q
1
6 k
k
y
24
. Очевидно, что любая рациональная функ-
22
ция может быть разложена в геометрический ряд, эта задача не вызывает
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]