Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод геометрического ряда. Учебное пособие
.pdf
запишем (10.33) в форме
24
6
1
dz
e
e
1
e
z
,...
5141312
2
d
2
2
dz
1
2
21
2
2
1
3
11
4
nnnnnn
11
vvvvvvv
nnnnnnn
1111
....vvvvvv
02
1
2
(10.35)
После стандартной подстановки
янный член в левой части (10.35) равен
0k
1
kz
eMv
, находим, что посто-
kn
. Следовательно, продолжая
шаги метода, мы можем надеяться только на получение частного решения
при
. Чтобы найти более общее решение, заметим, что для функции
2
CzBzAw
n
(10.36)
следующие выражения имеют постоянные значения:
2
d
n
2
dz
,Cw
2
nnn
11
2
22
2
22
22
.lnCCddzCdzBA
2
CzBzAdzCdzBAwww
(10.37)
Будем искать решение задачи в модифицированной форме
где
u
определяется равенством (10.4). Подставляя (10.38) в (10.33), имеем
n
2
d
2
n
2
,uwv
(10.38)
nnn
uuu
2
nnn
11
(10.39)
,eu
0
где
2
Подберем C из условия
2
,
ln2
, после чего подставим (10.4), (10.5)
в (10.39). Приравнивая нулю коэффициент при
2
2
C
22
ln2
CC
, получим
.
(10.40)
1
(10.41)
.
Последовательно приравнивая нулю коэффициенты при ,...e,e
и определяя
...,ZMZMZMZMZMMu
n
M,M
получаем для
32
1
22
110
u
ряд
n
1
33
44
1
55
1
(10.42)
zz 32
который, несмотря на свою простоту, не является геометрическим. Однако
производная от (10.42) по Z
61
dZ
1
dt
y x
dx
/
dy dx
dx
есть геометрический ряд с суммой
n
d
2
11
23
1
34
1
45
...,ZMZMZMZMMu
1
(10.43)
d
Интегрируя (10.44) по Z и возвращаясь к переменной z, получим
M
где
решение уравнения (10.33) дается равенством (10.38) при условиях (10.36),
(10.40), (10.41) и (10.45) и
назначены произвольно.
содержащих функции, не имеющие явного аналитического представления,
а заданные в форме решения некоторого дифференциального уравнения.
Рассмотрим, к примеру, уравнение из семейства Вольтерра
играет роль постоянной интегрирования. Таким образом, точное
0
10.6. Уравнение из семейства Вольтерра
Метод геометрического ряда можно использовать для решения ДРУ,
u
n
dZ
n
. Постоянные
M
1
1
MMu
.
(10.44)
ZM
1
z
,1eln
10
(10.45)
,M,M,B,A
могут быть
10
d
,uuyuuyu
(10.46)
nnn 11
где функция
Найдем разложение
но дифференцируем обе части равенства (10.47) по x, заменяя производ-
ную
Используя в (10.48) нулевое начальное условие
в правых частях в соответствии с (10.47):
2
yd
2
dx
3
yd
3
dx
4
yd
4
удовлетворяет уравнению Риккати
dy
в ряд Маклорена. Для этого последователь-
xy
2
2
2
,yyy
.yy
(10.47)
2222
266
,yyyy
2222
812122
(10.48)
,...yyyyy
, получим
00y
искомое разложение:
62
720
24
]1/1[]2/2
[
]2/2[]3/3
[
]3/3[]4/4
[
4
...]4/4[]3/3[]2/2
[
]2/2[
yxy
0
k
k
yd
k
dx
1
x
k
x
!k
0
1
2
1
2
6
322
xxx
1
8
24
1
1
2216
120
64222
...x
52136
Переходя в (10.46) к переменной (10.2) и подставляя (10.49) в правую
часть, имеем
d
dz
1
6
1
2
2
2
1
2
3
1
1
111
4
2
3
uuuu
1
nnnn
4
1
nnnn
Далее, используя стандартную подстановку (10.4), (10.5) и повторяя
шаги метода, получим дисперсионное соотношение
2
1
(10.51)
и решение в форме ряда
2
1
n
ZMMu
10
2
2
22
ZM
1
12
211
2
2
13
224
4121
3
1
14
5422242
xx
2
uuuuuuu
1
nnnnnnn
(10.49)
(10.50)
08
...uuuu
...
33
ZM
1
(10.52)
2222
44
ZM
Ряд (10.52) не является геометрическим, диагональные аппроксиманты Паде для него оказываются отличными друг от друга. Однако если разложить на множители разности последовательных аппроксимант
,
такие разности, начиная со второй, содержат общий множитель
,
,… то можно выявить, что все
2
,
который совпадает с дискриминантом правой части (10.47). Приравняв
этот множитель нулю, то есть потребовав
2
,
(10.53)
4
ряд (10.52) мы превращаем в геометрический, поскольку в таком случае
После обратного перехода от Z к z аппрокси-
манта
дает точное решение задачи (10.50):
63
2
dz
e
z
Z
e
n
u
Mu
n
0
11
11
zz
eeMM
114
zz
eMeM
.
(10.54)
22221
Заметим, что при условии (10.53) решение уравнение Риккати (10.47)
вырождается в рациональную дробь
xx
22
xy
2
0
xx
0
.
(10.55)
10.7. Система уравнений Абловица – Ладика
Покажем особенности работы метода при решении систем ДРУ на
примере известной системы Абловица – Ладика [34], которая в переменной
бегущей волны (10.2) имеет вид
d
dz
d
Подставляя в систему (10.56) разложения
0
k
0
k
kz
kn
kz
kn
k k
k k
приравняем нулю множители при
2
00
2
00
2
2
kn
kzk
0 0
kzk
kn
0 0
11
11
в обоих уравнениях:
NMNMNM
0000
NMNMNM
0000
,uuvuuuuu
nnnnnnnn
1111
(10.56)
.vvvuvvvv
nnnnnnnn
1111
kzk
MuMuMu
kn
,e,e,e
(10.57)
kzk
NvNvNv
kn
NM
M
1
2
MN
0
N
1
,e,e,e
120
,
0222
(10.58)
1
.
0222
Полагая
N
0
, из (10.58) найдем
0
2
1
M,
0
Приравнивая нулю множители при
MNM
M
2
111
N
1
и так далее. В результате после замены
v
и
в форме рядов
n
64
N,
M
1
ze2
в обоих уравнениях, найдем
2
z
получим выражения для
1
.
(10.59)
N
1
2
1
11
MN
1
(10.60)
,
N
1
2
e
e
M
N
1
2
1
3
2
1
3
11
3
1
MNM
1
Z
N
1
MN
N
1
MNM
1
Z
N
1
u
1
n
2
2
1
2
ZNv
n
1
2
2
ZM
1
4
4
3
2
1
Z
1
NM
1
2
2
2
2
NM
1
2
MNM
1
2
5
1
Z
4
2
NM
11
2
1
3
5
1
Z
4
N
2
111
Z
1
3
3
Z
1
3
3
2
3
1
3
1
3
1
5
111
4
1
5
111
NM
1
3
1
Z
2
MNM
6
1
N
1
MNM
1
N
1
...,Z
(10.61)
6
...Z
Вычисления показывают, что для каждого из рядов (10.61) аппроксиманты Паде второго и третьего порядка совпадают между собой и равны
соответственно
z
M
u
1
n
v
n
1
1
N
1
z
2
eN
1
1
eNM
11
1
z
2
2
eM
1
1
1
z
2
eNM
11
M
N
1
1
N
1
N
1
z
.e
M
1
N
z
1
,e
1
(10.62)
Подстановка подтверждает, что (10.62) есть точное решение системы
(10.56).
Рассмотренная модификация метода геометрического ряда, представленная в данном параграфе, обладает достаточной универсальностью
и способна решать ДРУ с полиномиальной и рациональной правой частью,
содержащей как явно заданные элементарные функции зависимой переменной, так и функции, являющиеся решениями заданных обыкновенных
дифференциальных уравнений. Решение во всех случаях представляется
рациональной дробью, содержащей степени экспоненциальной функции.
В рассмотренных примерах указанные степени изменялись от первой до
четвертой. Теоретически решения такого типа можно получать напрямую,
используя рациональную дробь по экспоненциальным функциям с произвольными коэффициентами в качестве анзаца. Однако в таком случае придется решать систему нелинейных уравнений относительно этих коэффициентов, и наши эксперименты показывают, что современные комплексы
компьютерной математики, такие как Maple и Mathematica, зачастую не
способны решить такие системы. Метод геометрического ряда отличается
в лучшую сторону тем, что для определения коэффициентов ряда требуется решать линейную систему уравнений.
Метод геометрического ряда имеет, как и любой другой метод, ряд
ограничений. Построение решения в форме ряда всегда начинается
с приравнивания нулю постоянного слагаемого, а вслед за ним – коэф-
фициента при
в числителе слагаемое с
z
. Поэтому сумма геометрического ряда всегда содержит
z
. Если точное решение уравнения содержит
65
в числителе старшие степени
e
ze2
ze3
,
и т. д., но не содержит
z
, то такое решение не может быть получено методом геометрического ряда без
предварительных преобразований уравнения. Всякой рациональной дроби как решению уравнения соответствует натуральный порядок полюса.
Дифференцирование повышает порядок полюса дроби на единицу, а интегрирование – понижает. Если анализ ведущих членов уравнения показывает, что его решение имеет дробный или отрицательный порядок полюса, то решение такого уравнения не может быть получено без преобразований уравнения или его решения в форме ряда. Так, в параграфе
10.5 было получено решение в форме дроби (10.44) с первым порядком
полюса только после дифференцирования ряда (10.42). Дробный порядок полюса решения эволюционного уравнения может быть приведен
к целому соответствующей заменой переменной. Однако в случае ДРУ
определение полюса решения в общем виде затруднительно, поскольку
конкретный вид теоремы сложения
бы выразить правую часть уравнения через одну функцию
, которая требуется, что-
uFu
nkn
u
, специфи-
n
чен для каждого класса функций.
ГЛАВА 11. ДОСТОИНСТВА
И НЕДОСТАТКИ МЕТОДА
Идея решения дифференциальных уравнений при помощи рядов
возникла давно. Ньютон основным своим достижением считал создание
общего метода решения дифференциальных и алгебраических уравнений,
закодированного в известном письме Лейбницу от 24 октября 1576 года
[35]. Суть метода состояла в разложении всех зависимых переменных
в бесконечные степенные ряды, подстановке последних в исходные уравнения и приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях независимых переменных или формального малого параметра – для определения
коэффициентов неизвестных функций. В.И. Арнольд отмечал [17], что при
таком подходе открытым остается единственный вопрос о сходимости получающихся рядов – зато теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений доказывается автоматически, совместно с теоремой о зависимости решений от начальных условий. Ньютон
не тратил время на строгое доказательство сходимости получаемых им рядов. Вместо этого он вычислял несколько первых членов ряда, убеждался,
что их модули убывают быстрее, чем члены некоторой геометрической
прогрессии, и постулировал сходимость ряда. В качестве приближенного
решения уравнения выбиралась частичная сумма ряда в тех случаях, когда
не удавалось найти точную сумму ряда.
Хирота отмечал, что используя стандартный метод возмущений, решения многих дифференциальных уравнений в частных производных
66
(УЧП) можно представить в форме ряда по степеням малого параметра
[34]. Для построения этого ряда приходится решать последовательность
линейных УЧП. Хирота писал, что «трудность, с которой мы сталкиваемся
на этом пути, заключается в том, что ряд теории возмущений не сходится
быстро и даже расходится». Для преодоления этой трудности, по его мнению, следует использовать «мощную технику суммирования, получившую
название аппроксимант Паде», но применять ее не к ряду метода возмущений, полученному из исходного дифференциального уравнения, а к соответствующему ряду для уравнения, предварительно преобразованного
к специальному виду. В своей знаменитой работе [37] он предложил такое
преобразование нелинейных УЧП к билинейной форме, для которой ряд
метода возмущений обрывается на солитонных решениях. Эта идея позволила найти точные односолитонные и N-солитонные решения многих интегрируемых дифференциальных уравнений.
В известной монографии [38] часть введения посвящена анализу
недостатков метода возмущений для получения точных решений дифференциальных уравнений. Рассматриваются два простейших нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнения, для каждого из которых
составлен ряд метода возмущений в окрестности стационарной точки.
Из последовательности линейных задач метода возмущений выписано
рекуррентное соотношение, связывающее n-й член ряда с предыдущими
членами. Выведенная из рекуррентного соотношения формула общего
члена свидетельствует, что каждый из рядов метода возмущений является геометрическим рядом и его сумма дает точное решение соответствующего уравнения. Однако, по мнению авторов монографии, метод
возмущений не годится для решения сколь-нибудь сложных уравнений
по следующим причинам:
«1) Чтобы получить общий член
u , необходимо разрешить рекур-
n
рентное соотношение, а сделать это не так просто даже в случае линейного
рекуррентного соотношения.
2) Повторное суммирование необходимо выполнять в замкнутой
форме, а это в общем случае невозможно; действительно, любое решение
в незамкнутой форме Пенлеве называет иллюзорным.
3) По завершении повторного суммирования необходимо проверить,
везде ли, кроме нескольких точек, называемых особыми, справедливо выражение в замкнутой форме. Положение особых точек не ограничивается
вещественной осью; точки могут лежать на комплексной плоскости. В рассмотренном примере радиус сходимости ряда был конечным, так как на
мнимой оси имелся простой полюс».
Основной причиной ограниченности применения метода возмущений
авторы монографии называют неучет структуры особых точек решения.
Наиболее весомый вклад в дело популяризации метода возмущений
в качестве метода нахождения точных решений уравнений принадлежит
67
авторам концепции падеонов Ламберту и Мюзетт [39]. Авторы справедли-
z
1
k
2
1/
N N
N
во отмечают, что солитон как принципиально нелинейный объект не может быть получен напрямую ни в каком конечном порядке метода возмущений, в котором решается последовательность линейных задач. В то же
время частные решения этой последовательности задач образуют ряд,
сумма которого во многих случаях может быть найдена с помощью
аппроксимант Паде. Для нескольких известных интегрируемых уравнений,
в частност, КдВ, мКдВ, Буссинеска, синус-Гордона, были построены ряды
метода возмущений с указанием формулы общего члена ряда. Показано,
что ряды для уравнений, решения которых имеют полюс 1-го порядка, являются геометрическими. В случае полюса 2-го порядка ряды становятся
геометрическими после перехода к соответствующему уравнению в потенциалах. При решении уравнения синус-Гордона применимость метода
возмущений обеспечена разложением функции синуса в ряд Маклорена.
Показано, что во всех рассматриваемых случаях сумма геометрического
ряда , дающая точное решение уравнения, дается аппроксимантой Паде
10 / , имеющей вид
z
2
/
10 (11.1)
x
,
p
где
1
,e
tkkx
и параметр p принимает значения 1 или 2.
Солитоноподобное решение в форме бегущей волны (11.1), содержащее произвольный параметр k, играющий роль волнового числа, авторы именуют «падеоном». Однако конечной целью исследования являются
так называемые N-падеоны
являющиеся аппроксимантой Паде порядка
ряда метода возмущений, первый член которого есть линейная комбинация
N функций вида (11.2) с различными значениями волнового числа k.
В пределе при t N-падеон (11.3) распадается на
/1
NN
z
(11.2)
N
1
j
2
z
j
x
z
p
1
z
j
,0,
j
(11.3)
для обобщенного
невзаимодейству-
ющих между собой одиночных солитонов (падеонов). Наличие решения
в форме N-падеона, с одной стороны, свидетельствует об упругом взаимодействии одиночных уединенных волн, при котором такие волны вправе
именоваться солитонами; с другой – существование N-падеона, эквивалентного N-солитонному решению метода Хироты, является критерием
интегрируемости уравнения.
68
Таким образом, касательно применения метода возмущений
и аппроксимант Паде для решения дифференциальных уравнений было
установлено, что:
1. Аппроксиманта Паде, вычисленная по нескольким первым членам
сходящегося степенного ряда, с большей точностью предсказывает сумму
ряда, чем частичная сумма этих первых членов, что полезно при приближенном решении уравнений.
2. Ряды метода возмущений для некоторых интегрируемых диффе-
ренциальных уравнений, решение которых имеет полюс 1-го порядка, являются геометрическими, и их суммы, совпадающие с аппроксимантами
Паде
ренциальных уравнений с полюсом решения 2-го порядка становятся геометрическими после замены зависимой переменной при переходе к так
называемому потенциальному уравнению.
его общего члена, которая выводится в результате решения линейной рекуррентной задачи метода возмущений.
с аппроксимантой Паде
10 / , дают точные решения таких уравнений.
3. Ряды метода возмущений для некоторых интегрируемых диффе-
4. Геометричность ряда возмущений можно установить по формуле
5. N-солитонное решение уравнения, если оно существует, совпадает
N/N 1
обобщенного ряда метода возмущений.
6. Метод возмущений не имеет больших перспектив в деле нахожде-
ния точных решений по причинам сложности решения линейной рекуррентной задачи и игнорирования им информации о структуре особых точек
решения.
Предлагаемый метод геометрического ряда имеет следующие отличия от ранее используемых подходов:
1. Для установления геометричности ряда метода возмущений нет
необходимости решать рекуррентную задачу с последующим выводом
формулы общего члена ряда. Вместо этого вычисляется последовательность нескольких диагональных аппроксимант Паде
и т. д., где N совпадает с порядком полюса искомого решения. Совпадение последовательных аппроксимант, начиная с некоторого порядка
M/M , трактуется как свидетельство в пользу геометричности ряда. Если
аппроксиманта
она дает точное решения уравнения, а во-вторых, доказывает геометрич-
ность ряда метода возмущений.
2. Метод позволяет решать уравнения как с полюсом решения выше
второго, так и в случаях, когда полюс равен нулю или дробному числу.
Схема метода при этом не меняется, преобразований уравнения делать не
требуется – соответствующие преобразования производятся с рядом метода возмущений.
3. Метод подходит для решения неинтегрируемых уравнений, при
этом проверка совпадения аппроксимант Паде превращается в требование
M/M обращает уравнение в тождество, то, во-первых,
N/N ,
11
N/N
69
их совпадения. Из этого требования выявляются условия для коэффициентов уравнения и параметров решения, при которых искомое решение существует.
4. Метод можно использовать как простой эмпирический критерий
интегрируемости уравнения: если ряд возмущений является безусловно
геометрическим или становится таковым при выполнении условия, включающего только коэффициенты уравнения, то такое уравнение с высокой
вероятностью относится к интегрируемым. Проверив большинство интегрируемых эволюционных уравнений, содержащихся в [8], мы не обнаружили ни одного контрпримера. Отметим, что геометричность ряда при
условии, включающем как коэффициенты уравнения, так и параметры решения, свидетельствует о неинтегрируемости уравнения.
5. Модификация метода геометрического ряда способна решать
дифференциально-разностные уравнения с полиномиальной и рациональной правой частью, содержащей как явно заданные элементарные
функции зависимой переменной, так и функции, являющиеся решениями
заданных обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение во
всех случаях представляется рациональной дробью, содержащей степени
экспоненциальной функции. Теоретически решения такого типа можно
получать напрямую, используя рациональную дробь по экспоненциальным функциям с произвольными коэффициентами в качестве анзаца.
Однако в таком случае придется решать систему нелинейных уравнений
относительно этих коэффициентов, и наши эксперименты показывают,
что современные комплексы компьютерной математики, такие как Maple
и Mathematica, зачастую не справляются с решением таких систем. Метод геометрического ряда отличается в лучшую сторону тем, что для
определения коэффициентов ряда требуется решать линейную систему
уравнений.
К недостаткам метода геометрического ряда можно отнести его неприменимость к уравнениям с переменными коэффициентами, отличными
от показательной функции; к уравнениям с переменной сепарантой, приводимым к уравнениям с постоянной сепарантой при помощи дифференциальных подстановок и преобразований эквивалентности [40]; для эволюционных уравнений метод находит решения в классе бегущих волн, зависящие от линейной комбинации исходных независимых переменных
уравнения; функциональный класс решений ограничен отношениями многочленов по степеням экспоненциальных функций переменной бегущей
волны.
Впрочем, последний недостаток свойственен любому из известных
прямых методов построения точных решений уравнений, в частности методу усеченных разложений, прямому методу с использованием рекуррентных соотношений и другим [14]. Например, на странице 73 монографии Конт и Мюзетт [38] приводится специально сконструированное нелинейное неоднородное уравнение
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]