Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод геометрического ряда. Учебное пособие
.pdf
В самом деле, перейдя в уравнении (9.1) к переменной бегущей волны
Vtxz
dzuddz
2
0C
2
2
2
.
V
1
k
a
156
, после интегрирования по переменной z получаем
4
4
(9.2)
2
1
,C
2
uVu 0
ud
2
где C – постоянная интегрирования. Положив
ние уравнения (9.2) в форме
k
1
k
z
.eau
k
(9.3)
После группировки по степеням экспоненциальной функции имеем:
z
4
Считая 0
z
5
z
6
z
a (в противном случае метод приходит к нулевому ре-
1
z
2
1
3
z
721296
416
16256
шению), из (9.4) получаем
, будем искать реше-
,Va:e
01
(9.4)
1
2
,aVa:e
0
12
213
(9.5)
,aaVa:e
0981
(9.6)
1
2
,aaaVa:e
0
2313
32415
1
(9.7)
,aaaaVa:e
025625
(9.8)
2
,...aaaaaVa:e
0
342516
(9.9)
Обращая внимание, что в k-е уравнение коэффициент
(9.10)
входит ли-
нейно, определим последовательно из уравнений (9.5) – (9.9) коэффициенты :aa
,
62
2
a
1
a
2
1
a
3
1
a
4
432
5
a
5
20736
1
a
6
41472
2
a
1
1
(9.11)
3
a
1
4
a
1
2
a
23
5
1
,
(9.12)
1101548
17
,
(9.13)
11711015
113
26
127122113
,
(9.14)
12611711015
,...
(9.15)
13712611711015
51
Определив таким образом несколько коэффициентов ряда (9.3), про-
1690 403 31,
31 3 31
.
260 260
w z
dz
dzwddzwddz
2
e
2
изведем в нем замену
z
ey и вычислим для полученного степенного по
переменной y ряда первые диагональные аппроксиманты Паде до 6-го порядка включительно. Разности последовательных аппроксимант Паде
]5/5[]4/4[
и
]6/6[]5/5[
содержат единственный общий множитель
в форме квадратного трехчлена
2
(9.16)
имеющего комплексные корни
1,2
i
(9.17)
Если подставить (9.17) в (9.3), то диагональные аппроксиманты Паде
для ряда (9.3), начиная с [4/4], совпадают между собой. Аппроксиманта
[4/4] после обратной замены
z
ey дает точное комплексное решение
уравнения (9.2):
z
u
1
e31171293528
ai
1
z
e137143142
ai
1
2
2
1
zzz
aiaia
1
(9.18)
.455112e152883159976e16931e2184
То, что выражение (9.18) является точным решением, можно проверить прямой подстановкой в уравнение (9.2). Однако комплексный характер этого решения резко уменьшает его физическую значимость.
Чтобы найти вещественное решение уравнения (9.2), предварительно
произведем в нем замену зависимой переменной
z
(9.19)
zwezu
и для новой переменной
получим нелинейное уравнение с перемен-
ными коэффициентами
4
wd
4
3
3
Подставляя в уравнение (9.20)
после группировки по степеням
52
z
2
z
3
z
4
z
2
2
bw (9.21)
1
k
z
имеем
1
2
dw
k
z
k
,e
32512
z
e
2
wV
142614
,Vb:e
0416
(9.22)
,Vb:e
0981
(9.23)
1
2
(9.24)
,bVb:e
0
13
,bbVb:e
025625
214
(9.25)
.w
0
(9.20)
2
5
13113
]5/5[]4/4
[
1
2
.
1
a
z
6
z
361296
1
2
,bbbVb:e
0
2315
32416
(9.26)
,...bbbbVb:e
0492401
(9.27)
Из (9.22) и (9.23) получаем
.,V
(9.28)
Из остальных уравнений (9.24) – (9.27) определим последовательно
36
,...b,b,b
, подставим соответствующие выражения в (9.21) и после замены
543
z
ey вычислим для полученного таким образом степенного ряда первые
диагональные аппроксиманты Паде. Разности аппроксимант Паде
и
,bb
]6/6[]5/5[
содержат единственный общий множитель
3
1
2
10513 (9.29)
2
приравнивая который нулю, получаем
13
b b
2 1
105
3
(9.30)
Подставляя (9.30) в выражение для аппроксиманты [4/4], после обратных замен
z
ey и (9.19) получим вещественное решение уравнения
(9.2). После обратного перехода от переменной z к переменным x и t
получим точное уединенно-волновое решение исходного уравнения (9.1):
2
36
36
13
tx
13
tx
13654
(9.31)
.
4
e
u
1680
1
e
Форма этого решения подсказывает причину, по которой решение
вида (9.31) не могло быть получено непосредственным применением метода геометрического ряда к уравнению (9.2). Из разложения
2
Z
1
Z
4
20104
65432
(9.32)
ZOZZZZ
следует, что ряд (9.3), соответствующий решению (9.31), должен начи-
2
наться с функции
z
e , то есть коэффициент
в (9.3) должен быть при-
равнен нулю. Тогда из равенств (9.5) – (9.9) следует, что все нечетные коэффициенты ,...a,a,a
также обращаются в ноль и построение ряда
753
(9.32), содержащего слагаемые как в четных, так и в нечетных степенях,
становится невозможным. Замена (9.19) позволяет обойти это препятствие
и получить вещественное решение (9.31).
53
ГЛАВА 10. МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Успехи теории интегрируемых и близких к интегрируемым системам
привели к возрождению интереса к разработке асимптотических методов
нелинейной динамики. Математические модели в виде систем нелинейных
разностных и дифференциально-разностных уравнений (ДРУ) часто
намного сложнее, чем их континуальные аналоги. Изучение аналитической
структуры таких систем сопряжено с серьезными трудностями, а построение точных решений возможно в простейших случаях.
Периодические атомные пространственные структуры в физике естественным образом моделируются ДРУ и системами ДРУ. При рассмотрении больших атомных объемов выполняется асимптотический переход
к хорошо изученным эволюционным и квазигиперболическим уравнениям
в частных производных (УЧП). В последние десятилетия появился интерес
к изучению наноструктур, таких как углеродные нанотрубки [28], в которых этот асимптотический переход требует особого обоснования. Анализ
публикаций по ДРУ показывает следующее. В качестве критерия интегрируемости используется существование пар Лакса или наличие бесконечной
системы симметрий [29]. В отличие от УЧП точные решения ДРУ предоставляются только для некоторых интегрируемых случаев. Последнее связано со сложностью процедуры преобразования Дарбу для пар Лакса,
с помощью которой получены точные решения [30]. Между тем наличие
точного решения в замкнутой форме важно с точки зрения понимания
свойств уравнения и проверки численных методов решения.
Алгоритмические основы прямых методов построения точных решений дифференциально-разностных уравнений и их систем с использованием пакетов символьной математики представлены в [31]. Уединенные волновые решения находятся в виде усеченных разложений по степеням гиперболических функций.
В данной главе представлена модификация метода геометрического
ряда, подходящая для построения точных решений одиночных ДРУ и систем ДРУ. Предложенный подход, как и метод Хироты, который носит
асимптотический характер, является прямым методом. Согласно метода
геометрического ряда решение ищется в виде ряда по степеням экспоненциальной функции. После подстановки ряда в ДРУ решается последовательность линейных уравнений для определения коэффициентов ряда. Затем для полученного ряда строится последовательность диагональных аппроксимаций Паде. Если все аппроксимации, начиная с определенного порядка, совпадают, то ряд является геометрическим, и совпадающие аппроксиманты определяют точную сумму ряда и, следовательно, точное
решение ДРУ. В некоторых случаях требование совпадения аппроксимаций Паде позволяет определить условия для коэффициентов уравнения и
54
решения, при которых ряд становится геометрическим. Наши исследова-
dt
,tndz
Z
n
dz
e
,
ния показывают, что подавляющее большинство интегрируемых ДРУ
с полиномиальной, рациональной или более сложной зависимостью от
требуемой функции имеют точное решение, которое обнаруживается методом геометрического ряда. Поэтому наличие такого решения может
служить простым эмпирическим критерием интегрируемости.
10.1. Уравнение цепочки Вольтерра
Продемонстрируем особенности метода геометрического ряда на
простом примере. Найдем решение в форме бегущей волны для известного
уравнения цепочки Вольтерра [32]
d
(10.1)
nnnn
.11tutututu
После перехода в (10.1) к бегущей переменной
где
, получим
(10.2)
d
nnnn
11
.zuzuzuzu
0
(10.3)
Будем искать решение (10.3) в форме ряда по экспоненциальным
функциям с неопределенными коэффициентами
0k
kz
.eMu
(10.4)
kn
Увеличение индексной переменной n в (10.3) соответствует приращению переменной бегущей волны zна d, следовательно,
где
0 0
k k
d
. Подставим (10.4) и (10.5) в (10.3) и сгруппируем по степеням
kzk
kn
11
kzk
kn
,eMu,eMu
(10.5)
экспоненциальной функции. Приравнивая нулю коэффициенты при
zzz 32
, имеем
,...e,e,e
2
4
6
8
10
20
30
40
50
5
05
5
,MMM
01
110
2
1
34
22
246
358
,MMMM
0211
2
3
21
42
31
41
,MMMMM
0311
3
42
MMMMMM
2
562
MMMMMM
111
4
32
(10.6)
04111
...,M
ент
Заметим, что в k-е уравнение последовательности (10.6) коэффици-
M
входит линейно и все уравнения (10.6) однородны относительно
n
55
коэффициентов ряда (10.4). Для получения нетривиального решения из
,...,k32
,...
,...
Z
e
...
]/[NN
e
Z
[2 / 2]
[2 / 2]
e
Z
[2 / 2]
ezZ
[2 / 2]
первого уравнения (10.6) следует определить частоту :
21
0
,M 1
(10.7)
получив аналог дисперсионного соотношения, а из последующих уравнений с номерами
найдем соответствующие коэффициенты
M,M
32
и заменив
n
Подставив выражения для коэффициентов
z
, получим степенной ряд относительно переменной Z:
33
ZM
1
42
2
M
0
55
84
M
ZM
1
1
4
0
234566
126
M
11
10
23
ZMMu
1
245
11
44
ZM
1
62
3
M
0
1
1
104
M
11
22
ZM
1
1
2
M
0
22
66
ZM
5
0
1
11
2344
11
6
0
M,M
в (10.4)
32
(10.8)
77
ZM
1
1
Убедимся, что ряд (10.8) является геометрическим. Для этого вычислим первые 3 члена последовательности диагональных аппроксимант Паде
для этого ряда:
2
]1/1[
M
0
]2/2[
M
1
0
2
0
2
2
2
11
10
ZMM
1
,
ZMM
10
10
2
1111
1111
0
2
0
3
ZMMZMM
1
(10.9)
2
,
ZMMZMM
1
].2/2[]3/3[
Совпадение двух последовательных аппроксимант является заявкой
на то, что ряд (10.8) является геометрическим. Строго доказать его геометричность можно, если вывести общую формулу для аппроксиманты Паде
произвольного порядка
стью, есть более простой путь. После обратной замены
в уравнение (10.3) вместо функции
Функцию
венство
Mu
n
0
заменим на аппроксиманту
zu
n 1
z
, функцию
, что является непростой задачей. К сча-
z
, подставим
аппроксиманту
zu
n
42
2
1
0
2
10
z
eMM
11
2
1111
0
из (10.9):
2
eMMeMM
1
(10.10)
.
zz
, используя ра-
n 1
заменим на
zu
, используя
1
После упрощения с учетом (10.7) уравнение (10.3) превращается в верное
равенство, следовательно выражение в правой части (10.10) является точным решением уравнения (10.3), а ряд (10.4) является геометрическим
и его сумма совпадает с аппроксимантой
. Решение (10.10) содержит
.
56
три произвольные постоянные
1
0
,
dt
dz
e
,...
Z
e
]3/3[]2/2[],2/2[]1/1
[
Z
e
ограничениям –
M
0
и
M
одновременно не обращаются в ноль;
1
,M,M
, которые подчинены очевидным
10
Функция является ограниченной и имеет солитоноподобную форму при
.
MM
0
.
10
10.2. Модифицированное дискретное уравнение
Савада – Котеры
Уравнение Вольтерра (10.1) есть классический пример интегрируемой трехточечной цепочки. Предложенный в п. № 9.1 подход легко распространить на 5-ти точечные цепочки и цепочки более высоких порядков.
Рассмотрим модификацию дискретного уравнения Савады-Котеры [30]
(здесь и далее зависимость функций от t или z опускаем)
d
3
1
21121
2
(10.11)
.uuuuuuuuuuu
nnnnnnnnnnn 11
После перехода в (10.11) к бегущей переменной (10.2) имеем
d
3
1
2
21121
nnnnnnnnnnn
.uuuuuuuuuuu
0
11
(10.12)
Дополнив подстановки (10.4) и (10.5) следующими равенствами
2
0 0
k k
2
kzk
kn
2
2
kzk
kn
,eMu,eMu
(10.13)
применим (10.4), (10.5) и (10.13) к уравнению (10.13). Группируя по степе-
ням экспоненциальной функции и приравнивая нулю коэффициент при
z
получим
22
0
MM (10.14)
24
0
.11
Как и ранее в п. № 9.1, последовательно приравнивая нулю множители при
мены
z
32 zz
, найдем коэффициенты
,...e,e
принимает форму
2
n
ZMMu
10
M
0
ZMM
10
n
2
1
M
M
1
2
3
2
0
ZnM
1
1
22
ZM
2
1
n
0
M,M
33
ZM
1
4
1
nn
.
n
2
Ряд (10.4) после за-
32
4
M
3
3
0
44
ZM
1
1
...
6
(10.15)
Вычисление аппроксимант Паде для (10.15) показывает, что
. После обратной замены
2
MM
1
]2/2[
M
0
0
0
2
4
MM
1
z
, аппроксиманта
z
e1
(10.16)
2
z
e1
,
57
становится точным решением уравнения (10.12) при условии (10.14). Ре-
d
On
1 2
, ,
n n n
u u u
1 2 1 ,
...
]4/4[]3/3[]2/2[]1/1
[
]5/5[]4/4
[
e
Z
00
шение (10.16) ограничено при
,MM
10
и имеет солитоноподобную
форму. Фазовая скорость
d d
0
1 e e e 1 e
2
2
M
0
sinh 2 1 sinh
2 4 2
d d d d
M
0
4
d M d
0
(10.17)
2
M
есть четная положительная функция, возрастающая с увеличением d.
Уединенная волна, соответствующая решению (10.16), распространяется
влево по пространственной оси
.
10.3. Дифференциально-разностное уравнение,
содержащее дроби
Правые части ДРУ (10.1) и (10.11) имеют простой вид – узловые зна-
чения
входят в нее в форме полинома. Более сложная для ана-
лиза ситуация возникает, когда правая часть уравнения содержит рациональные дроби. Рассмотрим ДРУ
2 2
d
u u u u u
n n n n n
dt u u
u u u u u u
2 1 2 1
n n n n n n
1 1
1 1
n n
1 1
(10.18)
впервые появившееся в работе [33]. После перехода к бегущей переменной
(10.2) приведем слагаемые (10.18) к общему знаменателю и, считая
uu
0
, рассмотрим числитель полученного выражения:
11 nn
d
uu
dz
2
112
uuuuuu
nnnnnnnn
12111
2
11
(10.19)
.uuuuuuuuu
0121
nnnnnnnnn
1111
Повторяя с уравнением (10.19) шаги, описанные выше в п. 2, имеем
2
M
3
2
11
0
2
2
0
0
1
2
4
42
ZMMu
n
3
2
1
10
2
0
22
0
000
2
0
00
0
2
0
2
2
M
3
MM
2
00
2
1
0
ZMMMMM
1241
00
MMMMM
00
2
0
MMMMM
,
1
(10.20)
22
12111
(10.21)
32
0
121111
00
ZMMMMMMM
610312212
Вычисление аппроксимант Паде для ряда (10.21) показывает, что
,
z
, точное решение уравнения (10.19) дает аппроксиманта 4-го по-
рядка
58
. После обратной замены
0.
dz
e
e
1 0.
1
.
где
2
]4/4[
M
0
2
2
2
zzz
eee
AAA
01
(10.22)
,
zz
ee
2
BBB
01
3
2
1
0
2
3
2
1
0
1
0
0
,PMB
2
2
2
Решение (10.22) является вещественным и ограниченным, если кор-
ни квадратного трехчлена
при
фициента
2
4 BBB
1
или отрицательные, что наблюдается, если все три коэф-
20
B,B,B
имеют одинаковый знак.
210
10.4. ДРУ с произвольными коэффициентами
42
64
84
00
22
42
00
2
0
2
2
00
00
111
2
3
111
3
111
2
1
4
2
,QMMA
,PQMMMA
1
,PQMMMA
(10.23)
111
2
BxBxB
,QMMMB
100
2
2
,MMMP
121
0
.MMMQ
121
00
комплексные, что выполняется
01
0
2
,MMMB
11111
Метод геометрического ряда подходит для решения ДРУ с постоянными коэффициентами правой части. Попробуем найти точное решение 3х точечного интегрируемого ДРУ, правая часть которого содержит 5 произвольных постоянных [32]:
dt
d
234
uuuuu
nnnnn
11
.
(10.24)
uuuu
nnnn
11
После перехода к бегущей переменной (10.2) получим
u u u u u u u u u u u
1 1 1 1
n n n n n n n n n n n
d
4 3 2
(10.25)
После подстановки (10.4) и (10.5) в (10.25) и группировки по степе-
ням
z
, для коэффициента при
При
M
2 4 3 2
0
получаем тривиальное решение
1
M M M M M
1 0 0 0 0
z
получаем
(10.26)
Mu
, при
n
0
цепочка
вырождается, следовательно, потребуем обнуления третьего множителя:
M M M M
(10.27)
0 0 0 0
3 2
59
Для коэффициента при
1 4 3 2 0,
1
e ,e ,e ,...
, , ,...
].3/3[]2/2[],2/2[]1/1
[
e
Z
, ,
0
M
0
M
dz
241612
2 2 3 2
ze2
получаем
M M M M
1 0 0 0
откуда
Приравняв нулю коэффициент при
2
0
Приравнивая нулю множители при
(10.28)
2
00
ze3
, можно назначить частоту :
MM
0
0
4 5 6
z z z
(10.29)
.MMM
234
136
(10.30)
.
определим несколь-
ко первых коэффициентов
проксиманты Паде для него:
M M M
2 3 4
ряда (10.4), чтобы вычислить ап-
z
После замены
точное решение уравнения (10.25) дает аппроксиманта 2-го порядка
z
e
A
]2/2[
M
0
2
1
2
zz
ee
(10.31)
,
BBB
01
где
1
1
2
22
12
2
2
3614
01
2
0
0
0
2416
0
2
2
2136
0
0
2
,MMMA
2
448
2
001
1
3
,MMMB
1
(10.32)
0
2
,MMMMB
3
,MMB
при выполнении условий (10.27), (10.29) и (10.30). Особая структура
(10.25), когда появляется только в третьем по счету уравнении, вынуждает задать два коэффициента уравнения и через остальные коэффи-
,
циенты
и
. Из последнего набора только
не задан заранее,
следовательно, только один из двух коэффициентов и может быть
выбран произвольным и решение (10.31) не является общим.
10.5. Уравнение из семейства Тоды
Продемонстрируем возможность решения цепочечных уравнений,
содержащих трансцендентные функции, на примере уравнения из семейства Тоды [32], которое в переменной бегущей волны имеет вид
2
d
2
v
n
2
2
vvv
11
nnn
.0e
(10.33)
Используя известное разложение
...,xxxxe
60
x
1 (10.34)
1
432
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]