Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод геометрического ряда. Учебное пособие
.pdf
Продифференцировав ряд (4.11) по z, произведем в нем замену пере-
0 1
1 1
k
8
k
326592
2592
6480
2711216
dz
46656
432
1296
274413
менной
2
и вычислим аппроксиманты Паде
zy
и
. Эти аппрок-
симанты совпадают в двух случаях – либо при выполнении условия (4.10),
либо если
4
k
3
(4.12)
.
4
В первом случае аппроксиманты равны
ременным
дают известное точное решение уравнения Конно – Каме-
t,x
ямы – Сануки в интегрируемом случае
kx
u
Во втором, неинтегрируемом случае аппроксиманты равны
и приводят к точному решению
kx
u
4.3. Уравнение Цицейки
Уравнение Цицейки [8]
2
xt
16
и после возврата к пе-
16
y
4
k
k
ln
t
4
.earctan4
6464y
4
k
k
eeu
ln
t
8
.earctan8
uu
(4.13)
решается подобно уравнению Конно – Камеямы – Сануки. Разложим правую
часть (4.13) в ряд Маклорена и применим стандартный метод возмущений:
3
,
1
...zzzzzzzu
121
25
1681
765432
(4.14)
Сингулярный анализ ведущих членов уравнения показывает, что порядок полюса решения стремится к нулю, поэтому рассмотрим ряд для его
производной, умноженный на z:
...zzzzzzz
z
du
1
121
25
1681
765432
(4.15)
Выражение (4.15) не похоже на геометрический ряд, но, начиная
с 3-го порядка, все диагональные аппроксиманты Паде для (4.15) равны
636
zz
2
zzz
(4.16)
36246
21
и после деления на z интеграл от (4.16) дает точное решение уравнения (4.13):
36
24
z
z
ln
u v
2 3 4
,
Q c c u c u c u c u
0
x
u
k
2
2
6
ln
u
z
2
z
kx
3
ln
t
k
.e,
Заметим, что к аналогичному результату можно прийти без разложения правой части (4.13) в степенной ряд, а при помощи замены
и последующем применении метода возмущений с поиском решения
в форме (4.5).
Как отмечалось ранее [9], поиск уединенно-волновых решений с помощью степенных рядов требует, во-первых, составления общих рекуррентных соотношений для их коэффициентов, во-вторых, нахождения
суммы ряда в замкнутой форме с использованием этих соотношений. Гипотеза о геометричности позволяет избежать этих трудностей и находить
сумму ряда по нескольким первым его членам.
4.4. Уравнение Кричевера – Новикова
Процедуру метода возмущений для уравнения Кричевера – Новикова [8]
2
xx
Q
(4.17)
u
xx
u
,
uu
3
xxxt
u
2
где Q – произвольный многочлен 4-й степени
удается запустить только при условии
жения (4.17) на
:
,
2
zc
3
zu
c
2
2
4438
0 1 2 3 4
1
3
k
zccckcc
32
4
4
32
484
422
2
2
42322
2
234
364
kcc
328
2
4
c c
0 1
32
2
c
2
244
cckkc
412964
2
22
, после почленного умно-
34
4223
3
2
2
234
4
kcc
328
54016307236
242332
42
zccckccc
32
...
(4.18)
5432
zccccccccckccckck
Полюс решения уравнения (4.17) имеет второй порядок. Начиная со
второго порядка, диагональные аппроксиманты Паде ряда (4.18) равны
8
zc
u
48
2
2
4
ccc
3
zcc
32
32
kc
2
2
42
z
4
и определяют точное решение уравнения (4.17) после обратной замены
exp
kxz Заметим, что после умножения (4.17) на u
22
3
k
2
c
2
t
k
.ln
,
x
необходимого для приведения уравнения к полиномиальной форме, в этом
,nu x t
,
u x t
kzkzk
k
128
165832
k
k
2
уравнении не остается линейных слагаемых. Поэтому система уравнений
метода возмущений для функций
также становится нелинейной.
Однако уравнение для
1
, получаемое во втором порядке по малому
параметру, сохраняет свою однородность и имеет решение в виде экспоненты, что позволяет запустить процедуру метода возмущений.
4.5. Уравнение типа Кортевега – де Вриза (КдВ)
Уравнение K13 [8, стр. 177] из семейства КдВ
242
(4.19)
933
uuuuuuuu
xxxxxxxt
имеет решение с дробным порядком полюса, равным 1/2. Использование
метода возмущений приводит к ряду
35
9
...,
4
53
z
1
zu
z
2
7
3
квадрат которого является геометрическим
22
zu
k
2
k
64
z
z
z
z
3
k
...
4
k
10
8
2
z
2
z
1
и определяет точное решение (4.19) в виде
3
ln
u
1
e
tkkx
.
2
ln
tkkx
3
e
1
k
4.6. Уравнение КдВ высшего порядка
Одним из серьезных ограничений метода возмущений называлась
потеря им любых уединенно-волновых решений
, в кото-
tkxuzu
рых ω и k не связаны линейным дисперсионным соотношением, полученным из исходного уравнения [9]. В качестве примера приводилось решение
7
5
3
tanh
1
2
1
2
7
522
tkkxku
22
22
kk
e1
tkkx
2
e6
7
tkkx
2
(4.20)
2
5
уравнения высшего порядка из семейства КдВ
xxxxxxxt
с линейным дисперсионным соотношением
7
5
k
.
32
010510
uuuuuu (4.21)
x
5
, в то время как в (4.20)
23
Выше мы нашли решение (4.8) уравнения мКдВ, в котором ω и k не
kzkzkzkzk
163165214
2
...
удовлетворяют соотношению (4.2), используя для этого метод возмущений
с разложением в окрестности константы C. Такой подход в случае уравнения (4.21) приводит к равенствам
,kCCkk
...
zu
2
z
2
3
3
4
4
6
235
3010
5
8
6
0
(4.22)
Аппроксиманты Паде для (4.22), начиная со 2-го порядка, равны
4
4zkzk
2
2
2
и дают точное решение уравнения (4.21):
235
ln30104
e4
Cu
k
e2
k
tkCCkkkx
.
(4.23)
235
2
ln30102
tkCCkkkx
Решение (4.23) зависит от 3 произвольных постоянных С, k, . Если
положить
1
22
2
k,kC
, то получим
u
2
7
5
tkkx
22
2
ekk
2
1
7
2
e
(4.24)
,
2
5
tkkx
что отличается от (4.20) только одной константой, следовательно, (4.24)
к (4.20) не сводится и образует отдельный класс точных решений уравнения (4.21).
4.7. Уравнение Каупа – Купершмидта (KK)
Уравнение KK
30
45
2
xxxxxxxt
32
uuuuuu
060
(4.25)
x
приводится в статье [9] в качестве второго примера уравнения, не решаемого методом возмущений.
Поиск решения в окрестности константы дает
,kCCkk
zu
247
22
62
22
zCk
Ckk
24
zCk
24133
Ckk
64
18030
32
235
4224
57662497
36124
zCCkk
2246
CCkkk
Как видим, теперь константа С, в окрестности которой ищется решение, входит в коэффициенты асимптотического ряда. С учетом второго по-
24
рядка полюса решения следует приравнять диагональные аппроксиманты
242/kC
0
u
Паде 2-го и 3-го порядков. Ряд метода возмущений становится геометрическим при
и имеет сумму
2
4
zk
2
.
2
zk
Таким образом, получается точное решение уравнения KK
exp
2
k
24
u
exp2
1
54
tkkxk
16
1
16
52
ln
.
2
ln
tkkxk
На сегодняшний день существуют исчерпывающие списки интегрируемых уравнений [8]. В работе [10] в дополнение к рассмотренным в этом параграфе уравнениям приведен список интегрируемых уравнений и соответствующих точных решений, полученных методом геометрического ряда.
Представленная схема метода предназначена для поиска решения
в окрестности нуля, поскольку в разложении (3.25) может формально
рассматриваться как малый параметр. Используя вместо (3.25) подстановку
0
n
1
n
n
,t,xut,xuu
можно искать новые решения в окрестности другого известного решения
[11]. В качестве такого решения для многих уравнений подходят кон-
станты или линейные по x и t функции.
Сумма геометрического ряда по степеням некоторой переменной
есть рациональная функция по той же переменной. Особые точки рациональной функции есть полюсы целых положительных порядков. Следовательно, если полюс искомого решения нулевой или дробный, соответствующий ему ряд метода возмущений следует преобразовать для получения целого положительного порядка полюса. Для этого можно применять почленное дифференцирование, увеличивающее порядок полюса на
единицу, а также возведение ряда в степень. При этом заботиться о сходимости преобразованных рядов, как и о сходимости исходного ряда, не
требуется.
Проведенный анализ показал, что метод геометрического ряда может
быть эффективно использован для эволюционных уравнений, не содержащих произвольных функций независимых переменных и/или специальных
функций зависимой переменной в качестве коэффициентов. Для уравнений
с переменной сепарантой, приводимых к интегрируемым уравнениям с постоянной сепарантой при помощи дифференциальных подстановок и преобразований эквивалентности [40], данный метод, по-видимому, не предназначен. Например, установлено, что никакая элементарная функция по
25
экспонентам с показателем
t
kx
1
k
...
k
6
1
не может являться решением уравнения Гарри Дима
поскольку δ должна являться функцией, удовлетворяющей некоторому
трансцендентному уравнению [12].
, где δ – произвольная постоянная,
3
,
uuu
xxxt
ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
5.1. Уравнение Бенджамина – Бона – Махони – Бюргерса (ББМБ)
Метод возмущений для уравнения ББМБ [13]
приводит к дисперсионному соотношению
akk
и весьма громоздкому ряду
22
zk
zu
1
2
3
2
23
Факторизация левой части равенства с диагональными аппроксимантами Паде
24
выявляет множители
03322
kaakk
322
2
2
2
4
2
2
42
zkaakk
10371
uuuauuu
0
(5.1)
xxxtxxxt
1
(5.2)
2
3
zk
1
222
22
zkaakk
256191
kaakkaakkaakk
54433224
52
kaakkaakk
43324
(5.3)
222
kaakkaakkaakkaakk
6554433296
Множители с первого по четвертый имеются в знаменателях ряда
(5.3) или дисперсионного соотношения (5.2) и в ноль обратиться не могут.
Аналогичная ситуация с пятым множителем, стоящим в числителе (5.2).
Приравнивая нулю шестой множитель, получим условие
k
,
при котором все аппроксиманты Паде для (5.3), начиная с [2/2], совпадают
между собой и равны
26
a
5
2
2222
.kaakakkaakkaakkk 56176321
222
e
z
b
2 2 3 3 0
481612
При возвращении к переменным x и t с помощью замены
выражение (5.4) становится точным решением уравнения ББМБ, имеющим
форму кинка в диапазоне
В случае уравнения Фишера [14]
(5.4)
1
k
6
5.2. Уравнение Фишера
kzk
2416
kt
ln
kx
2
16
k
.
zkkzk
.
2
22
при поиске решения в окрестности константы C, уравнения метода возмущений в нулевом и первом порядках по дают
,1,
и ряд метода принимает вид
zu
bz
ak
2
C
2
Факторизация левой части равенства
2
2
2
2
xxt
1
423
zakb
37
2
(5.5)
0
buuauu
2
ak
32
zb
akak
22
akakak
1413123
524
zakb
619
22
131212
222
akakakak
151413126
(5.6)
...
выделяет мно-
жители
первый из которых равен –ω, второй и третий присутствуют в знаменателях (5.6) и, следовательно, не могут обратиться в ноль. Приравнивание ну-
лю последнего множителя дает условие
(5.5) имеет решение в форме кинка
при b > 0, < 0.
Cu
zbz
2
zb
2222
,akakakak 1612161
2
61 ka
, при котором уравнение
5
ln
4
z
2
tkx
6
e,
27
5.3. Обобщенное уравнение Островского
k
4 1 36 1 4 1 1
k
1
k
0
Поиск решения в окрестности нуля для уравнения [15]
t
x
xxx
x
по методу возмущений приводит к равенствам
k 14
,
22
0
uuuuu
(5.7)
22
zk
zu
14
4
k
143
2
4
2
4
322
zkk
1914
kk
44
kkk
44
191412
424622
zkkkkk
1763611614
116191454
zkkkkkkk
444
kkkk
12511619141296
58533260888288012514
(5.8)
52446822
...
Повторяя действия из п. 4.1, получим набор множителей
4 4 2 2
k k k k
первые три из которых имеются в числителях или знаменателях (5.8),
а приравнивание нулю последнего дает условие
,
1
(5.9)
2
при котором аппроксиманта [2/2] дает точное солитоноподобное решение
1
kx
36
u
z
6
z
z
2
k
ln
tk
.e,
Поиск решения уравнения (5.7) в окрестности его постоянного реше-
u
ния
модифицирует дисперсионное соотношение
0
kk4221
.
Выражения (5.8) и (5.9) также изменяются: все знаки «минус» в них
заменяются на «плюс». Соответствующее точное решение уравнения (5.7)
1
kkx
36
1
u
z
6
z
z
2
e,
ln
t
k
ограничено и имеет форму перевернутого солитона при < 0.
Заметим, что двум найденным точным решениям соответствуют
противоположные знаки коэффициента α при слагаемом с высокочастотной дисперсией в уравнении (5.7).
5.4. Комбинированное уравнение Брезертона
Метод возмущений для уравнения [16]
u au bu u cu du
tt xx xxxx
2 3
(5.10)
28
дает
bkkb
1816
3
0
1
ak
bk
0.
,akbk 1
zu
2
cz
4
bk
143
Повторяя действия из п. 4.1, получим набор множителей
первые два из которых имеются в знаменателях (5.12), а приравнивание
нулю последнего дает условие
d
при котором аппроксиманта [2/2] дает точное солитоноподобное решение
4
2
10
24
(5.11)
324
zdcbdk
3212
44
bkbk
44
bkbkbk
42
kbc
482
191424
4244282
1161914108
,
zdcbdkkbcdkbc
9210812288
4428244
(5.12)
...
dbdkkbcdkbbkbk 324104814136
2
4
1436
takbkkxz
при выполнении неравенств > 0,
мото – Сивашинского с кубической нелинейностью
к потенциальной форме
к (5.14) порядок полюса решения уменьшается с 3/2 до 1/2. Подставляя
в уравнение (5.14) разложение
u
Замена зависимой переменной
Анализ ведущих членов показывает, что при переходе от (5.13)
4
5.5. Уравнение Курамото – Сивашинского
с кубической нелинейностью
w w w w w w
xt x xx xxx xxxx xxxxx
zbk
2
624
czbk
4
wu
2
2
,bkc 014
преобразует уравнение Кура-
x
uuuuuu
24
24
0
xxxxxxxxxxt
(5.13)
(5.14)
ln1exp,
.
после группировки по степеням получим
n
1n
t,xuw
n
, (5.15)
29
1
1M
kk3
k22
2
3
4
xxxxxxxxxxxxxt
1111
xxxxxxxxxxxxxt
2222
,uuuu:
0
,uuuu:
0
...,uuuuuuuuu:
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxt
(5.16)
2
13333
,uuuuuu:
xxxxxxxxxxxxxxxxt
1
2
14444
2
1212
Первое уравнение (5.16) имеет частное решение
exp
1
tkxu
при
условии (2.8), как и в предыдущем случае. Второе уравнение совпадает по
структуре с первым и, чтобы решение n-го уравнения (5.16) сохранило вид
n
, необходимо положить
uKu
nn
1
(5.15) все функции
замены
1
zw
exp
n
kz
2
K
с четными номерами обратятся в ноль, и после
t,xu
tkxuz
данное разложение примет вид
3
kk
0
. Вследствие этого в разложении
2
52
zk
22
723
zkkk
524101
222
kkkkkk
kkkk
14131631120141318
...
2
1413163118573024
(5.17)
Ряду (5.17) соответствует функция с полюсом порядка 1/2. Сумма
геометрического ряда есть рациональная дробь, которая не может иметь
дробного порядка полюса. Но квадрату ряда (5.17)
2
2
ky
kk
14139
423
ykkk
422113
2
yw
222
322
ykkk
1669253
22
kkkk
2
14131631810
(5.18)
...
2
kkkkkk
141316311857945
в котором обозначено
го, 1-го порядка. Выбирая
2
, уже соответствует функция с полюсом цело-
zy
в соотношениях геометричности (стр. 16),
потребуем, чтобы коэффициенты ряда (5.18) удовлетворяли условиям
(3.21). Простая форма уравнений (3.21) позволяет решать их последовательно: первое уравнение дает
2
219
(5.19)
,
второе –
1
,
(5.20)
а третье при выполнении (5.19) и (5.20) удовлетворяется тождественно.
Предполагая геометричность (5.18), запишем его сумму
315
ky
y
.
(5.21)
3152
30
y
yq
S
y
q
y
yA
21
111
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]