Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод геометрического ряда. Учебное пособие
.pdf
процедурой и требует знания первых
P
2
,
,
e
e
0
0
0
0
,
6
5
10,
1
5
0010,
аппроксимант
,…, проверим, дает ли выражение для аппрокси-
5544 /,/
членов ряда. Поэтому, не вычисляя
манты
ратные замены
из (7.40) точное решение. Для этого проведем в выражении об-
22 /
4
t
ez
,
4
x
4
, извлечем корень 4-й степени:
t
720
e
(7.41)
882442
tt
365120720
ee
и подставим вместо зависимой переменной в (7.30). Уравнение (7.30) при
этом обращается в тождество, следовательно (7.41) является его точным
решением, а ряд (7.39) – геометрическим рядом.
Решение (7.41) содержит 4 произвольных параметра – три коэффи-
циента
значения в силу очевидного равенства
уравнения (7.30) и формальный параметр . Изменение
ln
t
t
приводит к сдвигу
профиля решения вдоль оси времени и отражает свойство автономности
уравнения (7.30). Решение (7.41) является вещественным, ограниченным
и имеет солитоноподобную форму в двух случаях – при
при
,
и
6
. Увеличение абсолютного значения
5
,
или
приводит к одновременному увеличению амплитуды и уменьшению ширины «солитона» (рис. 2а); параметры
влияют только на амплитуду
«солитона». Приближение сверху к своему наименьшему допустимому
значению
min
к появлению у «солитона» плоской вершины (рис. 2б). При
6
в области отрицательных значений приводит
5
реше-
min
ние становится кинкоподобным.
при а)
а б
Рис. 2. Графики решения (12)
,
,
; б)
,
,
41
Периодическое решение. Для построения периодического точного
35389440
1036800
518400
2 8 2
.
36
решения при помощи метода геометрического ряда заметим, что линейное
уравнение (7.32), возникающее в первом порядке по формальному параметру , имеет периодическое комплексное решение
ti
eu
1
(7.42)
при условии
2
(7.43)
.,
R
Последовательно решая уравнения, возникающие в следующих по-
рядках по , для функционального ряда (7.31) получим
5
i t i t i t
e e e
x
13 2 2 17 2 4 2 2 4
72 5 5184 5040 175
27648 13271040
21 2 4 2 2 4
5184 1680 35
2 4
24 1920
6 8
9 2 2
24 5
5 9
13 17
i t i t
e e
10
21
i t
e ...
(7.44)
Ряд (7.44) отличается от ряда (7.38) наличием мнимой единицы в по-
казателях экспонент и противоположными знаками перед членами, содержащими
1062
,...,,
Ряд (7.44), возведенный в 4-ю степень
536
6
720
22
4
zzzzx
4
z
365120720
10
42242
256001296
6
и
22 /
.
(7.46)
22224
zz
...zz
:
33 /
(7.45)
где
22
512
4
6
2
2
4
ti
, имеет совпадающие аппроксиманты Паде
ez
240
8
3
4
12518001296
//
3322
2160
42242
5
После возвращения к исходным переменным выражение (7.46) дает
точное периодическое решение уравнения (7.30):
ti
4
x
4
720
e
365120720
.
(7.47)
titi
882442
ee
Чтобы из комплексного решения получить вещественное, приравняем нулю мнимую часть четвертой степени решения (7.47). Несложно убедиться, что это достигается при выполнении равенства
5 144
8
(7.48)
и решение (7.47) принимает вид
42
1
,,0
1
1
1
2
4
x
6
4
24
2sin2412
4cos12
t
4
t
.
2
(7.49)
Выражение (7.49) содержит три произвольные постоянные
и является вещественным и ограниченным при соблюдении условия
12
.
max
(7.50)
4
Как и ранее, изменение значения влияет только на сдвиг профиля
решения вдоль оси времени. При больших отрицательных значениях коэффициента профиль волны близок к синусоидальному и имеет малую
амплитуду. По мере приближения к
амплитуда возрастает и максиму-
max
мы решения «заостряются» – график решения становится похожим на кноидальную волну (рис. 3).
Рис. 3. Графики одного периода решения (7.49) при
,
,
.
Рациональное решение. Подставим в уравнение (7.30) ряд по степеням независимой переменной
k
tax (7.51)
k
0k
и сгруппируем результат по степеням t. Приравнивая нулю постоянный
член, не зависящий от t, получим
a
2
a
8
0
0
Последовательно приравнивая нулю коэффициенты при
4
0
.aa
(7.52)
321
,...t,t,t
имеем
43
,
9 5 ,
6
a
7
a
6 2
0 1
350, .
a a
5 2
a a t a t
1
4
.
a a a
3 0 0
1
(7.53)
8 4
a
a
0
4
24
20
a
a
5
1
120
16
0
0
16
2
0
4
6070
0
0
2212
,aa
0
2212
aaa
0
8
212
0
212
216
0
0
672510149
8
50485234366297
и так далее. Вычислив коэффициенты ряда (7.51) вплоть до
4
aaaa)(aa
0
216
aaa)(aa
0
, возведем
(7.54)
(7.55)
частичную сумму ряда, содержащую 8 слагаемых, в четвертую степень
7
4
k
0
4
3
1
3
4
k
k
4
0
10
2
0
0130
6
0
2
0
22
taaaaataaatax
324
1
10
010
6
0
2
1
0
232
33579
58
12
2
0
8
4714
0
6
0
3
5
2
1
3
16
20
0
3
24
0
16
36
0
2
2
8
0
1
1
2
10
aaaataaaaaa
(7.56)
1
0
44
...taaaaaaaa
(в выражении (7.56) по причине громоздкости выписаны только первые
5 членов). Анализ показывает, что разности
и
2233 //
3344 //
последовательных диагональных аппроксимант Паде для ряда (7.56) обращаются в нуль при
(7.57)
3
10
a
0
Проверка подтверждает, что при выполнении условий (7.57) аппроксиманта
5
3
a
2 / 2
3 12 4
0 1 0
0
(7.58)
дает точное рациональное решение уравнения (7.30):
5
3
a
x
3 12 4
a a t t a t t
0 1 0 0 0
0
5
(7.59)
2
Автономное уравнение (7.30) допускает сдвиг по независимой переменной
в своем решении.
ttt
0
Решение (7.59) является вещественной ограниченной функцией при
2
a
3
1
.
6
a
0
Примеры графиков рационального решения (7.59) показаны на рис. 4.
44
0 1
,
а б
0
Рис. 4. Графики решения при а)
a
,
1
1
a
; б)
0
1
a
,
1
1
a
0
7.2. Обобщенное уравнение эллиптических функций Якоби
Рассмотрим в качестве следующего примера уравнение второго порядка
zz
2
210
3
(7.60)
,ubububbu
3
частными случаями которого являются уравнения для эллиптических
функций Якоби. Будем искать решение в форме ряда по степеням эллиптической функции Вейерштрасса
n
N
n
1
:
g,g,z
32
n
.au
(7.61)
После подстановки (7.61) в (7.60) используем известные равенства
1
2
6
zz
z
2
3
4
,g
2
2
,gg
32
чтобы полученное выражение не содержало иных функций, кроме степеней функции
. Приравнивая нулю коэффициенты при
1
0
2
1
2
6
15
,bgaga:
02
03221
,gagaba:
063
332211
2
3
и так далее
(7.62)
,babagagaa:
012
2211234231
,agagababaaba:
02020142
2352413221331
45
получим систему линейных уравнений для коэффициентов
1
a
.
a g a g b z g g
M M
P p p z p z p z
,...a,a
32
ряда
(7.61), решение которой:
bga
2
021
a
2
a
3
g
4
a
4
,
3
24
2
21311
2
g
3
2
32211
gbgagba
634
20
192
2
20
,...
(7.63)
,
3
3
g
3
2131021
gbgagbbgagbaa
3015381696
Учитывая, что решение рассматриваемого уравнения имеем полюс
1-го порядка, применим к ряду (7.61) с коэффициентами (7.63) соотношения геометричности (7.21) и находим решение задачи:
2
bga
4
0
,
ga
321
323
4
2
2
2021
234
ga
1
2
32
233
1
3
bgagbaga
4323
0
,
3
2031
336
ga
1
2
3
(7.64)
22202
1
4
bgbaggbaggga
162432162563
0
.
16
1
222
1
3
1
4
1
3
b
1
8
b
2
b
3
128
Из соотношений (7.64) можно найти коэффициент
g
и инварианты
g
,
эллиптической функции Вейерштрасса
2
3
заданным коэффициентам
b
0
–
b
уравнения (7.60). Точное решение урав-
3
ряда (7.61)
g,g,z
нения (7.60) при этом совпадает с суммой геометрического ряда (7.61):
2
4 , ,
a g z g g
u
4 2 , ,
1 3 1 2 0 2 3
1 3 2 3
(7.65)
ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНОЕ
СУММИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
8.1. Основы нелинейного суммирования рядов
Следуя [24], рассмотрим степенной ряд
a
ты
которого известны, и систему полных многочленов
n
с произвольными коэффициентами
k M
k k k k
0 1 2
2
...
n
zazu
, коэффициен-
n
0n
M
степени M
P
k
.
32
по
После группировки по степеням z и приравнивания нулю множителей при
11110 NM
z,...,z,z
46
в выражении
kM
)z(
F
0,
1N
)z(
F
2N
u z
2P
2
a bz
2M
n
uP
(8.1)
k
Nk
0
получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов
Тогда функция
, удовлетворяющая определяющему уравнению [24]
N
M k
k
P F
k
0
(8.2)
j
.
p
i
служит аппроксимацией функции
рациональной аппроксимацией Паде [25], при
. При
zu
функция
является
– квадратичной ап-
проксимацией и так далее.
j
выражение
p
i
n
zb
. В случае,
n
11 NMn
Вообще говоря, после нахождения коэффициентов
(8.1) является остатком некоторого степенного ряда
если этот остаток равен нулю, функция
является решением опреде-
ляющего уравнения (8.2). Другими словами, если после нахождения коэффициентов
j
множители при любых степенях z в (8.1) обращаются
p
i
в ноль, то решение уравнения (8.2) позволяет найти сумму исходного сте-
n
пенного ряда
za
.
n
0n
В [24] показано, что квадратичная аппроксимация степенных рядов,
получающихся при разложении эллиптических интегралов и тригонометрических функций, может с успехом использоваться для приближенного
вычисления последних.
В данном параграфе предлагается метод построения точных уединенно-волновых решений нелинейных эволюционных уравнений, основанный на использовании линейного, квадратичного или кубического
суммирования степенных рядов. Метод состоит из двух этапов, на первом
из которых строится ряд метода возмущений для рассматриваемого уравнения. На втором этапе к построенному ряду применяется соответствующая техника суммирования для получения точного решения уравнения.
Выбор постоянных M и N, входящих в (8.1), определяется порядком
полюса P искомого решения, который устанавливается из условия баланса
доминантных членов уравнения [14]. Для уравнения КдВ
, поэтому,
если точное решение представляется рациональной функцией, то ее знаменатель должен содержать полный квадрат некоторого многочлена по z, то
есть
в простейшем случае. В этом случае следует выбрать
.
Второй параметр N отвечает за нахождение решений с дробным по-
рядком полюса,
P
m
. В этом случае знаменатель выражения, дающего
точное решение, содержит корень n-й степени некоторого многочлена по z.
Рассмотрим процесс нелинейного суммирования на примерах.
47
8.2. Модифицированное неинтегрируемое уравнение
0,
ak
k
aubk
aubk
aubak
331776000
691200
9600
120
...
k
a
k
a
k
a
ak
331776000
691200
9600
120
2
N
M
0 2 2 2 2
60 , ,
0.
p p ab k p p p
,60a kz
ak bz
0
0
b,a
Кортевега – де Вриза
Уравнение
u au bu u
t xxx x
4
(8.3)
отличающееся от уравнения КдВ более высокой степенью нелинейности,
имеет решение с полюсом порядка 21.
Отыскивая решение (8.3) в форме (3.14), получим систему уравнений
,..n,auu
nxxxnt
410
,ubuauu
xxxxt
14155
3
166
2
177
4
(8.4)
,uuuubuauu
xxxxxt
1221
644
...,,uuuuuuuuuubuauu
xxxxxxxt
122131221321
первые 4 из которых имеют одинаковую структуру. При условии
первое уравнение имеет частное решение
exp
1
. Если для сле-
tkxu
дующих трех уравнений выбрать тривиальные решения
решения остальных уравнений системы можно найти в форме
Последовательно определяя постоянные
K
, заметим, что ряд метода воз-
n
мущений
5
ub
uu
1
1
2
2
9
1
42
после почленного умножения на
нях, кратных четырем. Обозначая
2
~
zu
b
2
z
2
b
3
z
42
13
3
1
63
3
u
содержит произведения
1
4
uz
b
, придем к степенному ряду
1
3
4
z
63
7
17
4
1
4
b
7
...
84
u
1
5
z
84
,uuu 0
432
то
n
uKu
nn
1
(8.5)
в степе-
(8.6)
3
.
Подставляя (8.6) вместо u в (8.1) при
2 0 1 1 1
0 0 1 1 1 2
p p p p p p
0 1 0 1 2 2
1 2
, найдем
Соответствующее определяющее уравнение (8.2) имеет решение
F
2 15
2
а сумма ряда (8.5) после возвращения к переменным x и t имеет вид
exp152
u
exp60
3
takkxka
(8.7)
.
4
32
takkxbak
Выражение (8.7) есть точное решение уравнения (8.3) и при условиях
является вещественным, ограниченным и имеет форму волново-
го импульса.
48
8.3. Модифицированное уравнение Бюргерса
ak
k
a
k
a
62208
2592
k
a
k
a
k
a
ak
62208
2592
72
12
1 3
3N
1M
2M
3M
0
abk
Подстановка (3.14) в уравнение
приводит к системе
nxxnt
4
ubuauu
,..n,auu
310
(8.8)
0
xxxt
При условии
можно выбрать
1
2
exp
ных уравнений (8.9) в форме
uu
Умножив (8.10) на
...z
~
zu
b
z
3
b
7
2
Порядок полюса решения (8.8) равен
,ubuauu
xxxt
13144
2
155
3
,uuuubuauu
xxxxt
1221
333
xxxxxxt
122131221321166
в качестве решений первых трех уравнений (20)
0
n
, имеем
uKu
nn
1
4
uu
72
7
. Отыскивая решения осталь-
32
2
35
b
b
22
ka
4
b
3
33
7
u
1
(8.10)
13
...u
44
uz
1
4
z
1
3
, получим степенной ряд
4
b
35
44
,
tkxu
b
u
12
u
b
ak
33
2
1
2
11
10
u
1
и обозначая
3
z
22
, поэтому используем куби-
(8.9)
...,uuuuuuuuuubuauu
5
(8.11)
ческое суммирование, для чего в (8.1) выбираем
с
и
приводят к нулевым значениям коэффициентов
. Вычисления
j
. При
p
i
получаем
3
0
3
0
13
1
3
1
3
,,4
ppkpabpp
1
остальные коэффициенты равны нулю. Соответствующее определяющее
уравнение (8.2), являясь кубическим относительно F, имеет вещественное
решение
3
,
F
3
4
zak
4
bzak
а сумма ряда (8.10) после возвращения к переменным x и t равна
3
u
3
exp4
exp4
2
takkxak
(8.12)
.
3
2
takkxbak
Выражение (8.12) есть точное решение уравнения (8.8) и при усло-
вии
является вещественным, ограниченным и имеет форму вол-
нового фронта.
49
Таким образом, квадратичное и кубическое суммирование степенных
P
M
n
n
N
0
t x x x
рядов метода возмущений позволяет находить точные уединенноволновые решения интегрируемых и неинтегрируемых эволюционных
уравнений. Процесс суммирования определяется двумя натуральными
числами M и N. Параметр M характеризует максимальную степень многочленов по переменной z степенного ряда, в то время как N задает порядок
суммирования – линейный, квадратичный, кубический и т. д. Если порядок
P полюса искомого решения есть натуральное число, то первым назначается параметр M:
.
В случае дробного порядка полюса
раметр N:
. Для оставшихся параметров в обоих случаях выбирается
P сначала назначается па-
минимально допустимое значение, равное 1. Если при таком выборе M
и N решение найти не удается, то оставшийся параметр последовательно
увеличивают на единицу и повторяют вычисления до нахождения решения. Проверка решения осуществляется подстановкой в исходное уравнение. К достоинствам метода относится отсутствие необходимости решать
систему нелинейных алгебраических уравнений, неизбежно возникающую в методах усеченных разложений, простейших уравнений, логистической функции и т. д. [14], поскольку уравнения для коэффициентов
m
j
являются линейными. Формальных ограничений сверху на значения
p
i
параметров M и N нет, так что порядок суммирования степенных рядов
может быть выше кубического. Однако в этих случаях эффективность
данного метода снижается вследствие увеличения громоздкости необходимых преобразований.
ГЛАВА 9. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ.
УРАВНЕНИЕ КАВАХАРЫ
Уравнение Кавахары
u u u u
u
является нелинейным уравнением в частных производных пятого порядка,
решение которого имеет полюс 4-го порядка. Это уравнение моделирует
распространение нелинейных волн на воде в длинноволновом режиме для
чисел Вебера, близких к 1/3, где приближенное описание через уравнение
Кортевега – де Вриза не работает [26]. Это уравнение имеет семейства
точных вещественных решений, как периодических, так и уединенноволновых [27].
Однако непосредственное применение метода геометрического ряда
к уравнению (9.1) не приводит к обнаружению вещественных решений.
50
3 5
3 5
(9.1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]