Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод геометрического ряда. Учебное пособие
.pdf
затруднений. Но в методе геометрического ряда необходимо решить об-
...,
2
N
M
2
N
M
ратную задачу – по нескольким первым слагаемым ряда построить сумму
ряда в предположении его геометричности. Для решения этой задачи можно использовать аппроксиманты Паде, аппарат непрерывных дробей или
прямые соотношения геометричности.
ГЛАВА 3. КРИТЕРИИ ГЕОМЕТРИЧНОСТИ
СТЕПЕННОГО РЯДА
Предположим, что функция
разложена в степенной ряд
zf
Аппроксимантой Паде ряда (3.1) называют рациональную функцию
разложение которой в ряд Маклорена совпадает с разложением (3.1) до тех
пор, пока это возможно. Формальное представление
где
о единственности разложения в степенной ряд убеждают, что ряд Макло-
рена для любой аппроксиманты Паде является геометрическим рядом
(возможно, после перегруппировки слагаемых).
Для однозначного определения аппроксиманты Паде порядков
используются
NM
10
M N a aq aq
M
,
zb...zbba
M
NM
a
1
1
первых членов ряда (3.1). Разложение ап-
n
10
10
q
0
n
.zazf
(3.1)
n
M
zb...zbb
M
,
(3.2)
N
zc...zcc
N
2
10
(3.3)
N
zc...zccq
вместе с теоремой
N
проксиманты
первые
Таким образом, критерием геометричности степенного ряда можно
принять совпадение аппроксимант Паде возрастающих порядков, начиная
с некоторой аппроксиманты
На практике удобно ограничиться использованием диагональных
аппроксимант Паде:
Например, для ряда (1.6) имеем
в ряд Маклорена авляется геометрическим рядом,
NM
членов которого совпадают с членами ряда (3.1).
:
NM
1111 (3.4)
2211
...NMNMNMNM
...NMNMNM
(3.5)
11
...
1
11
y
,
1
y
2
k
6
y
12
24
3
1
24
k
2
y
2
,
y
2
k
y
...
23322221
1
12
2
k
Альтернативный критерий геометричности можно построить при
помощи аппарата непрерывных дробей.
Степенному ряду с ненулевыми коэффициентами
2n
n
(3.6)
zaz
n
можно поставить в соответствие непрерывную дробь [3]
z
1
1
zb
2
3
1
,
(3.7)
zb
zb
4
.
2
y
a
n
коэффициенты
Первые n уровней дроби (3.7) образуют ее n-ю подходящую
P
Q
n
:
n
дробь
12
b
которой вычисляются по формулам
n
,ab
22
2
aa
3
b
b
2
3
4
a
b
5
,
2
2
aaa
342
2
aaa
3
22
2
,
3
3432522
2
2
2
aaaaa
3423
(3.8)
2
aaaaaaaaa
453
,...
P
.
n n
n n
P P
Q Q
N
n
10 20 30 0
1
,
z
Q
1
P
2
Q
P
Q
Q
P
3
3
4
4
z
1
1
1
,
zb
22
2
z
zb
2
1
1
zb
3
z
zb
2
zb
1
3
1
zb
4
zbz
3
1
zbb
32
,
43
Равенства (3.8) можно получить, приравнивая подходящие дроби
соответствующим частичным суммам ряда (3.6).
Подходящие дроби (3.9) ряда (3.6) образуют ступенчатую последова-
тельность аппроксимант Паде [A/B] этого ряда [4]:
(3.9)
2
zbbz
,...
2
zbbzbbb
42432
P
n
Q
n
P
Q
n
n
nn
22
1
2
четное,n,
nn
1
2
нечетное.n,
Непрерывная дробь (3.7) обрывается и становится конечной N-й под-
ходящей дробью, если для любого n, начиная с некоторого N, выполняется
1
1
(3.10)
Разность двух последовательных подходящих дробей удовлетворяет
условию [5]
n
1
n
P
Q
n
n
P
1
n
Q
1
n
...1
bbbz
132
n
(3.11)
.
QQ
1
nn
Из (3.11) следует достаточное условие обрывания непрерывной дро-
би:
выполняется
b...bbB
0
(3.12)
132
nn
Обрывание непрерывной дроби, соответствующей степенному ряду,
означает, что ряд является геометрическим, возможно, после перегруппировки членов. Это – альтернативный критерий геометричности ряда.
В качестве примера на использование альтернативного критерия рассмотрим эволюционное уравнение 5-го порядка из иерархии КдВ [6]
u u uu u u u u
t xxxxx xxx x xx x
2
(3.13)
13
Будем искать решение уравнения (3.13) в форме функционального
u kx t
5
.
k
kzkzkzkzkzkzk
4n
ряда по степеням формального параметра :
N
n
n
1
.t,xuu
n
(3.14)
Подставим (3.14) в (3.13) и сгруппируем результат по степеням .
Получим бесконечную систему уравнений для определения функций
:
t,xu
n
Первое из уравнений (3.15) имеет решение
условии
Находя решения следующих уравнений системы (3.15) в форме
nn
exp
Построим для ряда (3.17) соответствующую непрерывную дробь.
1
2
3
4
xxxxxt
11
,uu:
0
2010
10
xx
x
,uuuuuu:
xxxxxxxxxxxt
111122
(3.15)
xxxxxxxxxxxxxt
x
uuuuuuuu:
xxxxxxxxxxxxxxt
13223144
302010
23020
exp
1
,uuuuuuuuuu:
x
12121122133
,...uuuuuuuuu
xxxxx
122112231
при
(3.16)
n
tkxKu
exp , определим постоянные ,...K,K
, выражению (3.14) можно придать форму степенного ряда
tkxz
5
16
5
8
2
z
zu
2
3
3
4
4
4
1
6
2
3
16
10
6
7
64
Вводя обозначение
32
1
16
14
8
(3.17)
...
7
12
Вычисляя значения
довательности
B
b
(3.12):
n
по формулам (3.8), запишем выражения для после-
n
1
B
1
,
2
k
1
16
,B
,
4
k
4
1
,
6
k
...,B
B
обращаются в ноль, следова-
n
B
2
Начиная с
, все величины
B
3
0
4
0
5
тельно, непрерывная дробь, соответствующая ряду (3.17), обрывается
и вырождается в подходящую дробь 4-го порядка (диагональную аппроксиманту Паде [2/2])
14
4
P
Q
4
4
]/[
22
(3.18)
1
z
zb
2
zb
1
3
1
zb
4
2
zk
4
2
.
2
zk
Представим дробь (3.18) как сумму ряда геометрической прогрессии
n
P
4
Q
4
1
z
z
z
2
k
2
z
4
k
4
n
z
2
k
0
2
z
4
.
(3.19)
4
k
Группируя слагаемые последнего выражения по степеням z, получим
ряд (3.17). Другими словами, построение непрерывной дроби позволяет
перестроить ряд метода возмущений для уравнения (3.13) в геометрический таким образом, что сумма ряда совпадает с соответствующей подходящей дробью и представляет собой точное решение исходного уравнения.
В самом деле, после подстановок
exp
и (3.16) дробь (3.18)
tkxz
принимает вид
exp4
exp2
54
tkkxk
2
52
tkkxk
и становится точным решением уравнения (3.13).
Заметим, что существует связь между порядком полюса решения интегрируемого уравнения и порядком подходящей дроби, обрывающей непрерывную дробь для ряда метода возмущений. В данном случае уравнение (3.13), как и любое уравнение из иерархии КдВ, имеет решение с полюсом второго порядка, p = 2. Из (3.18) видно, что соответствующая подходящая дробь имеет порядок 2p, то есть аппроксиманты Паде перестают
изменяться, начиная с порядка [p/p].
Использование аппроксимант Паде или непрерывных дробей достаточно удобно для установления геометричности степенного ряда. Однако
при рассмотрении уравнений с нелинейностями высоких степеней и порядком полюса решения выше первого эти приемы оказываются достаточно громоздкими даже при условии использования современных программ
символьной математики, таких как Maple или Mathematica.
Ниже приводятся прямые соотношения геометричности, применение
которых для установления геометричности ряда вычислительно наиболее
эффективно. Пусть первый член геометрического ряда равен z, а знаменатель q представляется многочленом по z степени M:
M
.zqq
k
1
k
k
ряда
Коэффициенты
A
, сгруппированного по степеням z геометрического
n
15
1M
1
2M
4 3 ,...
3M
n
A
1M
, 2,3,...
2M
3M
зависят от величин
k
k
M..k,q
k
1
. В частности, при
,A
1
n
n
1
n
,
zAzqz
n
20 n
имеем
,...,n,qA
32
при
при
1,
A
1
A q
2 1
A q q
3 1 2
A q q q
4 1 1 2
A q q q q
5 1 1 2 2
A q q q q q
6 1 1 2 1 2
,
2
3
4 2 2
5 3 2
,
2 ,
3 ,
,A
1
1
,qA
12
2
13
3
14
4
15
5
16
,qqA
2
2
,qqqqA
321
2
2221
21231
,qqqqqqA
23
31
2
2334
(3.20)
,...qqqqqqqqqA
32321
Выражая старшие коэффициенты
тов, получим:
при
при
при
через M первых коэффициен-
A A n
n
n
1 2
(3.21)
3
2
24
4
25
6
27
,AAAA
32
2
,AAAAA
3322
2
32
,AAAAA
323326
34
232
2342
(3.22)
3
,...AAAAAAA
3
4
25
5
26
23
232
23427
24428
252
233
2
,AAAAAAA
342322
2
22
32422332
,AAAAAAAAAA
43
2
3
3432
,AAAAAAAAAA
4
3
324322
2
42
2
33262
3
(3.23)
,...AAAAAAAAAAAAAA
4
16
Выполнение соотношений (3.21)-(3.23) для ряда
0.
, .
u u x t
4 3 2
,
k k k
2 7 3 1 4 13 4 1 7 3 1
...
3M
n
zAz
можно
n
2n
использовать в качестве критерия геометричности. Аналогично получаются соотношения для других значений параметра M, который, исходя из
аналитической структуры искомых решений дифференциальных уравнений, должен выбираться не меньшей порядка полюса решения.
Рассмотрим использование соотношений геометричности (3.21)(3.23) на примере уравнения Курамото – Сивашинского (КС):
u uu u u u
t x xx xxx xxxx
(3.24)
Будем искать решение уравнения (3.24) в форме функционального
ряда
N
n
n
n
1
(3.25)
Подставляя (3.25) в (3.24) и группируя по степеням формального
параметра , получим систему уравнений для определения функций
:
t,xu
n
1
2
3
4
xxxxxxxxxt
1111
,uuuu:
0
,uuuuuu:
xxxxxxxxxxt
112222
(3.26)
,uuuuuuuu:
xxxxxxxxxxxt
12213333
...,uuuuuuuuuu:
xxxxxxxxxxxxt
1322314444
Первое уравнение системы (3.26) имеет частное решение
при условии
exp
1
tkxu
(3.27)
представляющем собой дисперсионное соотношение линеаризованного
уравнения. Второе и последующие уравнения (3.26) имеют частные
решения в виде
, где n – номер уравнения. Последовательно
nn
1
n
uKu
определяя постоянные Kn и вводя обозначение
1
,exp
tkxuz
(3.28)
разложению (3.25) можно придать форму степенного ряда
2 3
u z
k k k k k k k k
3 2 2 2
24 21 5 1 13 4 1 7 3 1
k k k k k k k
z z
2 2 2 2
2 4
27 10 3
k k z
(3.29)
2
Решение уравнения (3.24) имеет полюс 3-го порядка. Выбирая
потребуем, чтобы коэффициенты ряда (3.29) удовлетворяли условиям
17
,
(3.23). Первые два из этих условий дают систему нелинейных алгебраиче-
k
k
2 3
40 4800 1728000
k k k
1
,nu x t
ских уравнений для параметров α и β:
4253435226374
1457308425428195310836
22322332
0124478488
1246752687371561324372575840478
1469881096422957510991042985
29284320389482126478105
2
.kk
021270191
kkkkkk
,kkkkkk
746237328495
kkkkk
53435226354
kkkkk
23223324234
kkkkkk
Данная система имеет решение
,
, (3.30)
2
которое легко найти с помощью любой из современных систем компьютерной математики. Проверка показывает, что при условиях (3.30) следующие уравнения системы (3.23), то есть третье, четвертое и т. д., тождественно удовлетворяются.
14
Подставляя коэффициенты
A,A,A
ряда (3.29), вычисленные с уче-
432
том (3.30), в уравнения (3.20), найдем значения qn:
1 1 1
q q q
1 2 3
, ,
и сумму ряда (3.29), предполагая его геометричность:
3
S
(3.31)
1
q
1
z
z
2
21
3
3
zqzqzq
1728000
120
zk
.
3
zk
Заменяя z в (3.31) на произведение (3.28), где ω определяется равенством (3.27), имеем
23
6exp1728000
tkkxk
u
(3.32)
.
3
2
6exp120
tkkxk
Подстановка в (3.24) показывает, что выражение (3.32) есть точное
решение уравнения Курамото – Сивашинского (3.24).
ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
4.1. Модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (мКдВ)
После подстановки (3.25) в уравнение мКдВ
где
18
, для функций
2
xxxxt
получим систему
(4.1)
,uuuu
0
x
x
x
xut
3
.
k
1
n
u K u
0
kzkzk
24
k
1
C const
x
x
x
x
t
1
2
3
4
5
1
t
u
t
u
3
t
u
t
u
5
u
u
1
2
4
,0:
3
x
3
u
2
,0:
3
x
3
u
3
3
x
3
u
4
3
x
3
5
3
u
2
u
u
1
1
u
1
,:
x
u
2
2
1
2
x
u
3
u
1
uu
uu
,2:
21
x
u
2
21
22:
2
uuu
231
u
1
и т. д., из первого уравнения которой следует дисперсионное соотношение
3
(4.2)
Условию
n n
можно удовлетворить, если потребовать
u
2
При этом все слагаемые в (3.25) с четными степенями обращаются в ноль:
3
z
1
zu
24
2
576
5
1
4
1
13824
7
(4.3)
...
6
Ряд (4.3), очевидно, является геометрическим, и его сумма
u
z
2
z
1
2
k
3
e24
k
(4.4)
ln22
tkkx
3
ln2
tkkx
e24
дает точное решение уравнения (4.1) при произвольных значениях параметров k и ε. Легко видеть, что (4.4) совпадает с хорошо известным солитонным решением
3
Уравнение (4.1) при
имеет точное решение в форме кинка, не
lnsech6
tkkxku
.
62
k
стремящееся к нулю на бесконечности. Для его отыскания используем
подстановку
N
n
где
n
n
1
. Система уравнений метода возмущений
3
C
C
C
u
2
1
x
u
2
x
u
2
1
:
2
3
1
t
u
:
:
2
t
u
3
u
u
1
,
2
3
0
3
x
3
u
2
Cu
2
Cu
1
1
3
x
3
u
3
3
,t,xuCu
(4.5)
u
1
,
x
u
2
22
2
uCu
12
u
1
,...
.
19
приводит к дисперсионному соотношению
kkC
k
k
k
108
2423
2
2
k
32
, отличному от
(4.2), а асимптотический ряд принимает вид
22
C
zu
2
z
2
kC
3
z
4
22
kCC
32
6
4
(4.6)
...z
и содержит все степени z.
Решение уравнения (4.1) имеет полюс первого порядка, поэтому вычислим диагональные аппроксиманты Паде 1-го и 2-го порядков
2
zk
11
22
3
2
3
,
Czk
4
zk
72
322472
,
22224
zkCzCkk
которые при условии
.
6
совпадают и равны
kC
(4.7)
kzkz666
Искомое решение в форме кинка получается при выборе отрицательного значения константы С:
ku
2
6
z
z
1
6
3
k
tanh
6
k
1
2
4.2. Уравнение Конно – Камеямы – Сануки
Уравнение Конно – Камеямы – Сануки
2
xxxxxxxxt
является интегрируемым [7], если
3
.
(4.10)
1
3
2
uuuuu
ln
tkkx
(4.9)
0sin
(4.8)
.
6
k
Анализ ведущих членов уравнения (4.9) дает нулевой порядок полюса его решения.
Заменяя sin(u) в (4.9) на частичную сумму соответствующего ряда
Маклорена и применяя к полученному уравнению стандартную процедуру
метода возмущений, получаем
4
k
20
34
zk
6
zu
4
k
948
,
524482
zkkk
420100
kk
2591280
...
44
(4.11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]