Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод геометрического ряда. Учебное пособие
.pdf
Последовательно производя над (5.21) обратные преобразования, то
z
есть заменяя y на
exp
1
234
Прямая подстановка (5.22) в уравнение (5.14) показывает, что (5.22)
является его точным решением. Продифференцировав (5.22) по x, получим
точное решение исходного уравнения (5.13):
Процесс решения неинтегрируемых уравнений (3.24), (5.1), (5.5),
(5.7), (5.10), (5.13) методом геометрического ряда имеет важное отличие от
случая интегрируемых уравнений (глава 4). Если для интегрируемых уравнений ряд метода возмущений оказывается безусловно геометрическим, то
для неинтегрируемых уравнений этот ряд становится геометрическим
только при выполнении одного или большего числа условий. Эти условия
связывают коэффициенты уравнения с параметрами
в форме бегущей волны. Особенно показателен в этом смысле пример решения уравнения Конно – Камеямы – Сануки (4.9). Равенство (4.10) не содержит параметров
время как условие (4.12), в которое входит k, соответствует неинтегрируемому случаю этого уравнения. Таким образом, безусловная геометричность ряда метода возмущений может использоваться как простой критерий интегрируемости уравнения.
kkk
уравнения (5.14) получим
2
, извлекая квадратный корень и подставляя
, с учетом дисперсионного соотношения
tkxuz
2
4exp353
w
u
, k и соответствует интегрируемому случаю, в то
22
tkkxk
tkkx
2
22
tkkxk
4exp35945
2
3154exp2
(5.22)
.
3154exp2
2
tkkxk
.
23
и k решения
ГЛАВА 6. МЕТОД НЬЮТОНА
Под «методом Ньютона» обычно понимают итерационный численный метод нахождения нуля или минимума заданной функции. Однако сам
Ньютон основным своим достижением считал создание общего метода
решения дифференциальных и алгебраических уравнений, закодированного в известном письме Лейбницу от 24 октября 1576 года. Суть метода состояла в разложении всех зависимых переменных в бесконечные степенные ряды, подстановке последних в исходные уравнения и приравнивании
коэффициентов при одинаковых степенях независимых переменных или
формального малого параметра – для определения коэффициентов неизвестных функций. В.И. Арнольд отмечал [17], что при таком подходе открытым остается единственный вопрос о сходимости получающихся рядов – зато теорема о существовании и единственности решений дифферен-
31
циальных уравнений доказывается автоматически, совместно с теоремой
0,
u
0.
4
int
C
.
n
u a z
n
a
о зависимости решений от начальных условий. Ньютон же установил, что
его степенные ряды сходятся как геометрическая прогрессия, и не сомневался в их сходимости. Простота и эффективность метода позволили Ньютону решить огромное число задач.
Кроме степенных рядов, Ньютон также использовал дробностепенные разложения при решении нелинейных алгебраических уравнений. Соответствующий аппарат, называемый методом многоугольника
Ньютона, в настоящее время эффективно используется. Так, в [18] дано
развитие метода многоугольников для нахождения точных решений эволюционных уравнений, а в [19] многоугольники и многогранники Ньютона
включены в теорию торических многообразий.
Данная глава посвящена дальнейшему развитию метода Ньютона
в части, относящейся к его ключевому наблюдению о геометричности степенных рядов.
Рассмотрим уравнение, возникающее в задаче о вращении твердого
тела вокруг неподвижной точки в случае Эйлера – Пуансо [20]:
u u
u u u
zzz z
z zz
2
(6.1)
где – постоянная величина. Умножив (6.1) почленно на u и проинтегрировав по z, получим уравнение 2-го порядка
u u u u C
zz z
Полагая постоянную интегрирования
2 4
int
(6.2)
равной нулю, будем искать
решение уравнения (6.2) согласно методу степенных рядов Ньютона
в форме
n
(6.3)
n
0
Подставляя (6.3) в (6.2) и группируя по степеням z, получим систему
уравнений для определения коэффициентов
1
4
0
4
0
1
2
,aaaa:z
02
120
,aaaaaa:z
026
2130130
2
3
3
2
212
0230
3
102120330
:
(6.4)
2
,aaaaaaa:z
0212
240
,...aaaaaaaaaaaaa:z
044203
324150
фициент
32
Последовательно выражая из первого уравнения системы (6.4) коэф-
a
, из второго уравнения –
2
a
и так далее, для ряда (6.3) имеем
3
4
1Q
...
.
a a z
0
a
1
a
u
6
4
zaau
10
802
384
0
8
0
3
a
0
2
aa
4
a
0
214
2
1
z
4
aaaa
16725
4
1
z
4
01
24
1
2
aaa
45
2
a
0
1
802
3
z
1920
(6.5)
...z
214
a
0
4
0
4
aaaaa
1623261
5
1
Решение уравнения (6.2) имеет полюс 1-го порядка. Начиная с
выпишем числители разностей последовательных аппроксимант Паде
[Q+1/Q+1] – [Q/Q]:
2
4
3
0
0
7
0
0
215
4
0
2
1
4
0
3
2
1
4
0
2
2
1
Каждая из разностей (6.6) содержит общий множитель
2
,4342:]1/1[]2/2[
aaaaza
1
4
0
802
2
2
,42748:]2/2[]3/3[
aaaaaza
1
214
0
4
aaaaaaza
1
(6.6)
2
,16132094542:]3/3[]4/4[
4
4aa
0
2
1
Приравнивая его нулю, найдем
2
a
4
.
1
(6.7)
4
a
0
При выполнении условия (6.7) ряд (6.5) становится геометрическим:
2 3 4
a a a
2 3 4
u a a z z z z
0 1
1 1 1
a a a
0 0 0
2 3
и имеет сумму
2
a
u
0
0 1
(6.8)
Проверка показывает, что выражение (6.8), содержащее две произ-
,
.
вольные постоянные
и
, есть точное решение уравнения (6.1) при
условии (6.7).
Разложение зависимой переменной в степенной ряд (6.3) в совокупности с требованием геометричности приводит к решению (6.8) в форме
рациональной дроби по независимой переменной z.
Анализ доминантных членов уравнения (6.1) показывает, что его решения имеют полюс первого порядка. Добавление дополнительного нелинейного слагаемого приводит к обобщенному уравнению
uu
,uuuu
u
zzz
zzz
42
0
zz
(6.9)
решения которого имеют полюс дробного порядка, равного 1/2.
Покажем, что требование геометричности для степенного ряда позволяет отыскать точное решение и в этом случае.
После умножения (6.9) на u и однократного интегрирования имеем
.Cuuuuu
642
0
intzzz
(6.10)
33
Считая
2
a
2Q
4 6 2
0 0 1
a a a
2 6
1 0
.3a a
2Q
C
int
руя по z, получаем
0
, будем искать решение (6.10) в форме (6.3). Группи-
0
1
2
4
Находя из первого уравнения (6.11) коэффициент
уравнения –
1
4
2
0
4
2
0
3
0
3
2
120
2
5
a
и так далее, для ряда (6.3) имеем
3
24
214
2
1
a
0
4
zaau
10
802
0
0
2
120
2123
1
1
6
6
aaa
0
3456
3
12103200
10
3
z
a
6
,aaaaa:z
0
0
1502130130
212
3
1210320
2
12
24
0
3
0
,aaaaaaaa:z
026
5
2
240
4
0
44203
,...aaaaaaa
0
2
120
2
aaaaaaaaaaaaa:z
324150
,aaaaaaaaaaa:z
0
(6.11)
, из второго
6
aaaa
141215
3
0
z
4
(6.12)
...z
216
aaaaaaaa
0
72
10
0
2
1
2
a
0
912722814464845
4
01
Если выражение (6.12) характеризует решение с полюсом порядка 1/2,
то квадрат этого выражения соответствует функции с полюсом 1-го порядка. Возведя ряд (6.12) в квадрат, определим числители разностей последовательных аппроксимант Паде [Q+1/Q+1] – [Q/Q]. Эти разности, не приведенные здесь в силу громоздкости, начиная с
житель
3 12
. Приравнивая его нулю, найдем
12
(6.13)
4
a
0
, содержат общий мно-
При выполнении условия (6.13) квадрат ряда (6.12)
2
2
2
0
1
24
144
12
0
a
2
32
110
120720
2
0
12
0
26
zaazaaau
0
216
aaaa
4
...z
12
11
a
3
6
aaa
0
3
0
z
(6.14)
становится геометрическим с суммой
4
12
2
u
2
0
a
0
2
122412
110
(6.15)
26
zaazaaa
0
определяющейся любой из аппроксимант Паде [Q/Q],
.
Заметим, что ряд (6.14) внешне не выглядит геометрическим, однако
формальное разложение (6.15) как суммы геометрического ряда
34
4
e
e
12
a
2
0
0
2
122412
110
26
zaazaaa
0
2
a
1
1
a
0
2
a
0
2
12
4
az
0
a
2
1
z
2
a
0
a
1
q
k
k
qa
0
после группировки результата по z дает выражение (6.14).
Для получения точного решения уравнения (6.10) достаточно извлечь
из (6.15) квадратный корень:
2
12
a
u
2
0
0
2
122412
110
0
26
zaazaaa
ГЛАВА 7. ОБОБЩЕНИЕ СХЕМЫ МЕТОДА
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА. РАЦИОНАЛЬНЫЕ
И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
В основе рассматриваемого метода лежит требование геометричности степенного ряда, полученного из ряда метода возмущений (2.1), кото-
рый содержит целые степени экспоненциального частного решения
tkx
(или
) линеаризованного уравнения. В предыдущей главе показано,
что требование геометричности можно распространить и на ряд (6.3) по
степеням переменной бегущей волны z. Покажем, что решение можно искать в более общем виде, а именно в форме ряда по степеням некоторой
базисной функции
:
zf
z
N
n
1
n
.zfau
n
(7.1)
Базисная функция разложения должна удовлетворять условию: про-
изводные всех порядков от
жаться через многочлены по
, входящие в уравнение, должны выра-
zf
.
zf
7.1. Обобщенное уравнение Дуффинга
Моделирование процесса стационарного осесимметричного распространения продольно-изгибных волн в цилиндрической оболочке приводит
к необходимости решения нелинейного дифференциального уравнения для
прогиба срединной поверхности
4
wd
4
d
2
wd
c
1
2
d
3
32
5
cwcwcwc
4
5
32
wd
d
c
2
6
52
wd
2
d
,
0
(7.2)
в котором окружающая оболочку нелинейно-упругая среда моделируется
полиномом пятой степени по нечетным степеням прогиба w [21]. В [22]
показано, что уравнение (7.2) при выполнении условий на коэффициенты
35
dz
,
w w z
w z
k
w
2
0.
,...,,n543
2
625463
.cccccc,cccc
(7.3)
4614
допускает факторизацию и редуцируется к обобщенному уравнению Дуффинга
2
2
wd
3
32
5
,wbwbwb
0
4
(7.4)
где
ccc
,cb,cb,
b
(7.5)
2
461
c
6
6453
Будем искать решение в форме
N
где
– неизвестные функции, – формальный параметр. Подставляя
k
k
k
1
(7.6)
k
(7.6) в (7.4) и группируя по степеням параметра , получим цепочку уравнений для определения функций
1
2
3
4
5
121
222
:
,wbw:
0
,wbw:
0
3
,wbwbw:
13323
3
,wwbwbw:
2213424
5
14525
3
(7.7)
2
,...wwwwbwbwbw:
213213
в которых штрихи обозначают дифференцирование по z. Первое уравнение
системы (7.7) представляет собой уравнение гармонических колебаний
и имеет периодическое решение
zbi
1
2
ew
(7.8)
при условии
b
(7.9)
Чтобы представить частные решения следующих уравнений системы
(7.7) в виде
коэффициенты
, следует принять
n
wKw
nn
1
,K
n
и вводя обозначение
,ey
zbi
(7.10)
2
w
0
. Последовательно находя
2
разложению (7.6) можно придать форму степенного ряда по нечетным степеням y:
2
bbbb
3
b
2
7
3423
y
(7.11)
...,y
36
2
b
3
3
yw
y
b
8
2
192
242
2
12288
bbb
38
2
b
2
5
342
y
4
b
2
8
512
4
bbbbbb
34832
9
34232
Заметим, что выражение (7.11) можно получить непосредственно из (7.1),
2 2 2
.
2 4 2
3 2
2
,
b b
если в качестве базисной функции
выбрать периодическое решение
zf
(7.8) линеаризованного уравнения.
Анализ ведущих членов уравнения (7.4) показывает, что его решение, представляемое рядом (7.11), имеет полюс дробного порядка 1/2. Для
перехода к простому полюсу возведем выражение (7.11) в квадрат, произ-
ведем замену
2
y и получим
2
b
2
w
2
3
b
4
2
192
242
2
36864
bbb
916
2
b
2
3
342
384
4
bbbbbb
45480256
4
b
2
5
34232
3
bbbb
316
3
b
2
4
3432
...
(7.12)
...
Степенной ряд (7.12) соответствует функции с полюсом 1-го порядка
и является геометрическим: все диагональные аппроксиманты Паде для
этого ряда, начиная со второго порядка, совпадают между собой и равны
2
192
b
192 48 3 16
b b b b b b
2 2 3 3 2 4
2
(7.13)
Отношение (7.13) есть точная сумма ряда (7.12). Выполняя над ним
обратные преобразования, то есть извлекая квадратный корень, заменяя
2
y
на
и подставляя (7.10), получим
bw
38
2
2
2
e
2
2
32
2
16348192
3
42
4
4
ebbbebbb
,
(7.14)
zbizbi
22
zbi
2
2
где знак перед дробью выбирается совпадающим со знаком .
Выражение (7.14) является точным комплексным решением уравнения
(7.4), что подтверждается непосредственной подстановкой в уравнение.
Найдем условия, при которых (7.14) представляет собой вещественную функцию. Считая
z,,b,b
43
вещественными числами, выделим мни-
мую часть подкоренного выражения из (7.15). Приравняв ее нулю, получим первое условие
b
3
4
16
4
b
(7.16)
64
при выполнении которого (7.14) принимает вид
2
w
2
b
3
zb
2
b
2
.
2
(7.17)
8cos16
37
Легко видеть, что подкоренное выражение из (7.17) является поло-
k
u
,...
2 3 4
.
b E b Eb
E
2
,...
E
432
жительным при
b
8
2
b
3
.
(7.18)
2
Таким образом, при условиях (7.9), (7.16) и (7.18) уравнение (7.4)
имеет точное периодическое решение (7.17) в форме кноидальной волны.
Другое периодическое решение уравнения (7.4) можно построить
в окрестности произвольной постоянной. Перейдем в уравнении (7.4) к но-
вой зависимой переменной
2
zwzu
:
2
2
.ububbuuuu 042
432
(7.19)
Будем искать решение уравнения (7.19) в форме
k
,zuEu
(7.20)
k
k
1
где E – произвольная постоянная. Подставляя (7.20) в (7.19) и группируя
по степеням , для определения функций
0
1
2
2
bEEbb:
0
32
4
321
322
2
4322
14
2
ubEEbbu:
получим систему
,ubEEbbu:
04322
u
124
2
1
E
2
(7.21)
b
2
E
2
22
uEb
14
Из первого уравнения получаем
(7.22)
Второе уравнение системы при
2
bE
41
b
(7.23)
3
4
имеет периодическое решение
.eu
функции
(7.20) имеем
и является геометрическим: все диагональные аппроксиманты Паде для
этого ряда, начиная со второго порядка, совпадают между собой и равны
38
iz
1
(7.24)
Последовательно определяя из следующих уравнений системы
u,u
32
в форме
yEu
n
uKu
и обозначая
nn
1
2
bE
34
4
E
6
2
y
2244346
bEbEbE
3
48
4
, для разложения
2244
bEbE
2
E
2725233664
iz
ey
94016
4
3
y
(7.25)
4
...y
Степенной ряд (7.25) соответствует функции с полюсом 1-го порядка
2
E
4
0
4
E
0,
t
,
x u t
u t
0.
dt
dt
144
22
4
yE
2244
4
(7.26)
.
2
ybEbEybEEE
924163424144
Возвращаясь в (7.26) к переменной z, для исходной зависимой переменной получим
iz
2
Ew
22
144
4
eE
2244
924163424144
4
(7.27)
.
iziz
22
ebEbEebEEE
Выражение (7.27) есть точное периодическое решение уравнения
(7.4) при выполнении соотношений (7.22) и (7.23). Выясним условия, при
которых это решение является вещественной функцией.
Мнимая часть подкоренного выражения из (7.27) обращается в нуль при
E
3
b
4
4
(7.28)
,
2
при этом (7.27) принимает вид
Ew
E
1cos2
zE
(7.29)
,
При выполнении неравенства
(7.29) является веществен-
ной периодической функцией.
Рассмотрим еще одно обобщение уравнение Дуффинга, содержащее
нелинейность более высокого порядка [23]:
2
x
2
x x x
5 9
(7.30)
Уединенное решение. Подставляя в уравнение (7.30) функциональный ряд
где
– неизвестные функции, в первом порядке по параметру полу-
k
k
1
k
(7.31)
k
чаем однородное линейное уравнение
2
d u
1
u
2
1
(7.32)
Уравнение (7.32) при условии
2
,
(7.33)
R
имеет решение в форме экспоненциальной функции с вещественным показателем
t
1
.eu
(7.34)
В следующих порядках по со второго по четвертый имеем уравнения, аналогичные (7.32):
2
ud
n
2
n
(7.35)
,,n,u
420
39
которым можно удовлетворить, положив
dt
24
N
35389440
4
1036800
518400
n
. В пятом порядке
420 ,n,u
получаем неоднородное уравнение
2
ud
5
2
5
(7.36)
,uu
15
решение которого с учетом (7.33) и (7.34) имеет вид
t
.eu
(7.37)
5
5
2
Аналогичным образом продолжим решать уравнения, оставляя ненулевые решения только в порядках по параметру , равных
nn ,14 . Это
позволяет представить функциональный ряд (7.31) в форме степенного ряда по степеням экспоненциальной функции
5
24
27648
2
6
5
1920
2213
572
10
13
3516805184
229
524
4
4224221
9
ttt
eeex
13271040
21
t
...e
8
4224217
17550405184
tt
ee
17
(7.38)
Покажем, что ряд (7.38) после несложных преобразований становит-
ся геометрическим рядом.
p
Подстановка
в уравнение (7.30) показывает, что баланс веду-
tax
0
щих членов уравнения, включающих производную по времени и старшую
1
нелинейность, достигается при
, то есть, решение (7.38) уравнения
p
(7.30) имеет дробный порядок полюса. Чтобы перейти к функции, имеющей
полюс целого порядка, достаточно возвести ряд (7.38) в четвертую степень:
22
536
4
zzzzx
6
(7.39)
10
42242
256001296
6
...zz
где
22
512
3
4
12518001296
2160
42242
5
t
2
2
4
240
8
.
4
6
ez
Вычислим первые три диагональные аппроксиманты Паде для ряда
(7.39):
2
z
6
/
11
/
22
2
6
,
z
4
720
z
365120720
(7.40)
,
22224
zz
Совпадение двух последовательных аппроксимант
.//
2233
и
22 /
33 /
сви-
детельствует в пользу гипотезы о геометричности ряда (7.39). Нахождение
аппроксимант Паде высоких порядков P является вычислительно затратной
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]