Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Матрицы и определители. Практикум
.pdf
1 2 3 2
0 0 14 14
0 1 4 4
0 0 14 14
1 2 3 2
0 0 14 14
0 1 4 4
1 2 3 2
0 1 4 4
0 0 14 14
3rang A rang B
1 2 3
23
3
2 3 2;
4 4;
1.
x x x
xx
x
1 2 3 2
0 1 4 4
0 0 1 1
1 2 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1
2
3
1;
0;
1.
x
x
x
1
1x
2
0x
3
1x
1
1x
2
0x
3
1x
Далее, прибавив утроенную третью строку ко второй и удвоен-
ную третью к четвёртой, находим
~
~
.
После удаления повторяющейся четвёртой строки и смены мес-
тами второй и третьей строк была получена последняя матрица в преобразовании, из которой очевидно, что
. Следова-
тельно, исходная система совместна и является определённой, так как
количество неизвестных равно рангу матрицы, то она имеет единственное решение.
Вернёмся к системе уравнений
Решение этой системы можно получить при использовании об-
ратного хода метода Гаусса.
Покажем применение обратного хода:
Последняя расширенная матрица равносильна системе:
Значит, единственным решением системы будет
.
Ответ:
;
~
;
.
61
~
.
,
,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0;
2 4;
5 5 4 4;
8 7 7 8.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 1 0
1 1 1 2 4
1 5 5 4 4
1 8 7 7 8
1 2 3 1 0
0 3 2 3 4
0 3 2 3 4
0 6 4 6 8
1 2 3 1 0
0 3 2 3 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2rang A rang B
1 2 3 4
2 3 4
2 3 0;
3 2 3 4,
x x x x
x x x
34
иxx
1 2 0 3 1
0 3 4 2 3
34
иxx
12
0 3 1
42
1
01
33
85
10
1
33
42
1
01
33
Пример 4.4. Найти общее решение системы линейных уравнений
методом Гаусса, предварительно исследовав систему с помощью тео-
ремы Кронекера–Капелли:
Решение. Выписав расширенную матрицу этой системы, после
элементарных преобразований получим
откуда
~
, следовательно, система совместна. Однако
~
,
количество неизвестных больше ранга матрицы, поэтому система
неопределённая и будет иметь бесконечное
множество решений.
Для нахождения общего решения системы линейных уравнений
назначим свободными переменными
четвёртый и пятый столбцы отвечают соответст-
венно за коэффициенты при
Гаусса, после очевидных преобразований получим
, тогда в матрице
. Согласно обратного хода метода
~
62
.
1 3 4
2 3 4
85
;
33
42
.
33
x x x
x x x
1 3 4
2 3 4
85
;
33
42
.
33
x x x
x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0;
2 4;
5 5 4 4;
8 7 7 6.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 1 0
1 1 1 2 4
1 5 5 4 4
1 8 7 7 6
1 2 3 1 0
0 3 2 3 4
0 3 2 3 4
0 6 4 6 6
1 2 3 1 0
0 3 2 3 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 14
2rang A
3rang B
Общее решение системы запишется в виде
Ответ:
Пример 4.5. Исследовать систему линейных уравнений
Решение. Выполним элементарные преобразования над расширенной матрицей системы. Вычтем первую строку из второй, третьей
и четвёртой. Прибавим к третьей строке вторую и удвоенную вторую
к четвёртой, получим
~
так как
, а
Ответ: система решений не имеет.
Пример 4.6. Решить СЛУ, выяснив предварительно вопрос о её
совместности с помощью теоремы Кронекера-Капелли. В случае не-
~
,
– система несовместна, решений нет.
63
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 1;
3 4 3 4;
5 9 8 0.
x x x x x
x x x x x
x x x x x
1 1 2 1 1 1
3 1 1 4 3 4
1 5 9 8 1 0
1 1 2 1 1 1
0 4 7 7 0 1
0 4 7 7 0 1
1 1 2 1 1 1
0 0 0 0 0 0
0 4 7 7 0 1
1 1 2 1 1 1
0 4 7 7 0 1
1 1 2 1 1 1
0 1 7 7 0 1
4 4 4
1 0 1 3 1 5
4 4 4
0 1 7 7 0 1
4 4 4
2rang A rangB
1
x
2
x
10
01
определённости системы найти её общее, базисное и частное реше-
ния:
Решение. Применяя алгоритм Гаусса, приводим расширенную
матрицу к упрощённому виду. Для этого вычтем первую строку из
третьей и утроенную первую из второй. Затем прибавим третью строку ко второй, вычеркнем нулевую второю строку, получим
~
~
.
Теперь разделим вторую строку на четыре и вычтем её из первой:
Нетрудно видеть, что
~
. Следовательно, система
.
совместна. Так как ранг совместной системы меньше количества неизвестных, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.
За базисные переменные примем
и
, так как определитель
из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля.
64
34
,xx
5
x
1 3 4 5
234
1 3 5
;
4 4 4
7 7 1
,
4 4 4
x x x x
x x x
1
x
2
x
34
,xx
5
x
1 3 4 5
2 3 4
5 1 3
;
4 4 4
1 7 7
.
4 4 4
x x x x
x x x
34
,x u x v
5
xt
1
2
3 4 5
5 1 3
;
4 4 4
1 7 7
;
4 4 4
, , .
x u v t
x u v
x u x v x t
51
; ; 0; 0; 0
44
3 13
; ;1;1; 0
44
1
2
3 4 5
5 1 3
;
4 4 4
1 7 7
;
4 4 4
, , ;
x u v t
x u v
x u x v x t
51
; ; 0; 0; 0
44
3 13
; ;1;1; 0
44
Свободными переменными служат
в виде:
Полагая
и
уравнений:
выразим
и
и
. Переписав систему
через
и
, получим общее решение системы
:
Придавая u, v и t различные числовые значения, будем получать
различные решения данной системы уравнений. Например:
базисное решение
Ответ: общее решение
базисное решение
, частное решение
, частное решение
65
.
.
1 1 2
2 1 2
2 2 1
242
1 2 1
1 5 3
8 1 2
2 7 4
2 4 6 1
1 2 3 1
3 6 9 1
1 2 3 1
36;
13;
7.
x z y
y z x
3r A r B n
14,5x
11,5y
10z
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ
«МЕТОД ГАУССА. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА–КАПЕЛЛИ»
1.А. Вычислить ранг матрицы:
ГРУППА А
а)
б)
в)
;
;
.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 2.
В задачах 2.А–19.А решить системы линейных уравнений мето-
дом Гаусса, предварительно исследовав их с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
2.А.
Ответ:
;
66
;
;
.
2 4;
3 3 5 1;
7 2 8.
x y z
x z y
y z x
3r A r B n
1x
1y
1z
2 4 9 28;
7 6 3 1;
7 9 9 5.
x y z
x z y
x y z
3r A r B n
2x
3y
4z
2 5;
3 16;
5 10.
xy
xz
yz
3r A r B n
1x
3y
5z
7 2 3 15;
5 2 3 15;
10 11 5 36.
x y z
x z y
x y z
3r A r B n
2x
1y
1z
2 5 0;
2 3 0;
2 3 9.
x y z
x y z
y z x
3r A r B n
1x
1y
2z
1 2 3
1 2 3
3 2 1
2 3;
3 3 6 9;
4 2 2 6.
x x x
x x x
x x x
13r A r B n
3; 0; 0
3.А.
Ответ:
4.А.
Ответ:
5.А.
Ответ:
;
,
;
;
;
;
;
;
;
.
.
.
6.А.
Ответ:
7.А.
Ответ:
8.А.
Ответ:
;
;
;
;
, базисное решение
;
;
.
.
.
67
0;
2 3 1;
2 1.
x y z
x z y
yx
23r A r B n
1;1; 0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 4 2;
4 9 3 6 5;
2 7 8 5;
4 5 3;
6 7 11 4 1.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
24r A r B n
1;1; 0; 0
2 0;
2 3 4 11;
5 4 3 2 4;
2 3 4 3 .
x y z t
x y z t
x y z t
y z x t
4r A r B n
3x
2y
1z
0t
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 7 5 2;
3 2 3;
9 8 7;
5 15 6 9;
6 7 1.
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
3r A r B n
1
0x
2
1x
3
1x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
7 5 4 6 2;
5 3 6 5;
2 3 5;
4 5 9;
6 7.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4rA
5rB
9.А.
Ответ:
10.А.
Ответ:
, базисное решение
.
, базисное решение
.
11.А.
Ответ:
12.А.
Ответ:
;
;
;
,
.
,
;
;
.
13.А.
Ответ:
,
, система несовместна.
68
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 6;
4 4 9 17;
3 2 5 11;
3 2 3 1.
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
24r A r B n
17 7
; ;0;0
44
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 3 4
1 2 3 4
5 2 3 1;
7 2 3 4 2;
5;
2 3 2 3 4;
2.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4rA
5rB
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 4 5
3 7 4 2 0;
5 2 3 4;
2 5 4 2.
x x x x x
x x x x
x x x x x
35r A r B n
1;1;1; 0; 0
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 3;
4 2 1.
x x x x
x x x x
24r A r B n
1; 0; 0; 0
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4
4 3 2 0;
2 7 5 3 2;
2 8 10.
x x x x
x x x x x
x x x x
35r A r B n
4;1; 0; 1; 0
14.А.
Ответ:
15.А.
Ответ:
16.А.
, базисное решение
.
,
, система несовместна.
Ответ:
17.А.
Ответ:
18.А.
Ответ:
, базисное решение
.
, базисное решение
.
, базисное решение
69
.
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 1;
3 4 3 4;
5 9 8 0.
x x x x x
x x x x x
x x x x x
25r A r B n
51
; ;0;0;0
44
13 16 16
5 7 6
6 8 7
0 0 1 4
0 0 2 5
1 2 3 6
4 5 6 7
1 1 3 2
3 1 4 3
5 1 5 8
5 3 10 1
19.А.
Ответ:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ
«МЕТОД ГАУССА. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА–КАПЕЛЛИ»
1.В. Вычислить ранг матрицы:
а)
;
, базис. решение
ГРУППА В
.
б)
в)
Ответ: а) 3; б) 4; в) 2.
В задачах 2.В–17.В исследовать системы линейных уравнений
с помощью теоремы Кронекера–Капелли, если возможно, найти решение СЛУ методом Гаусса.
;
.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]