Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5495 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Матрицы и определители. Практикум

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
06.09.2026
Размер:
1 Мб
Скачать
☆
2C A B  
1
2
1
A
 
  
3 1 2B 
2 AB 
3 1 1 3
1
2 2 3 1 2
1
С
 
 
  
12 13
21 23
31 32
13
2
21
12
aa
aa aa




 


12 13 21 23 31 32
6
4
4
aa
aa
aa
  


Пример 1.8. Найти произведение диагональных элементов мат-
рицы
Решение. Произведение
, если
,
.
возможно, так как
размер результирующей матрицы 3×3. Для решения поставленной за­дачи упростим решение, т.е. заполним в матрице С только диаго­нальные элементы:
=
=
.
,
Произведение диагональных элементов равно: 64(– 4)= –96.
Ответ: произведение диагональных элементов равно – 96.
11
 
 
14
32
A
 
 
23
21
B
 
 
1024
173
1
2
3
T
A B C
3 27 90 06
A
 

 

2 1 1B 
31C 
11 13
32 60
 
 

2
CBAD
T
 
 
501
243
A
50
31
02
B
 
 
40
31
C
 
 
922
139
D
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ПО ТЕМЕ «МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ»
ГРУППА А
1.А. Найти матрицу 3А+4В–5Е, если
Е – единичная матрица.
Ответ:
.
2.А. Найти матрицу
,
, если
,
,
,
.
Ответ:
3.А. Вычислить матрицу
Ответ:
.
, если
,
.
,
.
12
22
1 3 .
34
 
 

28 42
 

4 5 3 8 3 4 1 0 6 7 1 0 5 2 1 0
T
   
         
59 4 81 6
 

CBA
А
 
 
57
34
A
 
 
23
32
B
 
 
12
37
C
В
 
 
1415
95
А
 
 
11
7510
ECBAD 3
354
201
321
A
12
1
B
502C
82034
1536
1001
D
4.А. Найти произведение матриц
Ответ:
.
5.А. Вычислить
Ответ:
.
6.А. Найти произведение матриц
,
.
и С
,
Т
В
, если
.
Ответ: А
С =
7.А. Вычислить матрицу
где
,
Ответ:
,
.
; С
13
Т
В
=
.
,
, Е – единичная матрица.
2
A
2
T
AA
012
213
111
A
2
A
431
524
112
1866
6139
6913
2
T
AA
AAA
2
AAAA
3
AAA
nn
1
BA, BA
BBA
T
 
 
230
112
A
11
51
30
B
 
 
171
120
BA
122
11162
690
AB
BBA
T
2 16 5 52
 

2
10
3 5 4 4 3 1 1
34
1 0 2 2 1 1 1
17



 
59 85
16 3
 

8.А. Вычислить
Ответ:
Указание. По определению квадратом матрицы А называется матрица
, кубом
=
и
;
, . . .,
, если
.
.
.
9.А. Найти произведение матриц
,
.
и
, если
Ответ:
10.А. Вычислить:
Ответ:
.
;
;
=
.
.
14
2 3 4 5 3
1 7 5
1 2 0 2 3 .
0 1 8
4 0 3 0 1
T




 
2 11 37 6 7 21
1 31 21
 
 


BA
T
AB
102
415
101
A
 
 
013
201
B
 
 
712
305
AB
13
13 16
06
T
AB
 

 

BA, BA
BA
T
23
 
 
43
21
A
 
 
86
50
B
 
 
4724
2112
BA
 
 
4430
2015
AB
BA
T
23
 
 
2818
193
11.А. Вычислить:
.
Ответ:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ПО ТЕМЕ «МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ»
.
ГРУППА В
1.В. Вычислить произведение матриц
,
Ответ:
.
;
.
и
, если
2.В. Найти произведение матриц
если
Ответ:
=
.
и сумму
,
;
15
.
;
,
3
A
2
23AA
 
 
43
21
A
3
A
 
 
11881
5437
2
23AA
 
 
3221
1411
CAT
 
 
654
321
A
 
 
1021
2110
C
03156
12125
2194
2
4
1
2012
1103
2021
A
 
 
101
122
B
BA
T
AB
T
BA
2 1 3A 
3 2 1B 
6 4 2
3 2 1
963
T
AB
 
 


6 3 9 4 2 6 2 1 3
T
BA

 
 


3.В. Вычислить
Ответ:
=
и
;
, если
=
.
.
4.В. Найти
Ответ:
, если
.
,
.
5.В. Найти сумму элементов третьего столбца произведения мат-
риц А и В, предварительно выяснив, какое из произведений сущест­вует, если
,
.
Ответ: сумма элементов третьего столбца произведения
равна 2.
6.В. Найти произведения матриц
,
.
и
, если
Ответ:
;
16
.
BA
T
AB
 
 
213
221
A
563
956
241
B
BA
 
 
753
1067
T
AB
725
534
33
2
4 2 7 5 1 1
32
1 5 0 3 1 1
T

2
2 3 1 3 1 4 4 1 0 2 2 0
T
 

 
 
2
3 1 0 2
2 6 3 1 5 0 1 0
2 2 0 1
T
T
 
   
2
3 2 1 1 2
1 3 4
4 3 2 3 1 4
7 5 8
0 5 1 1 0
T



 
14 1
24 3
 


87 4 59 12
 

19 2 4
18 1 12
9 3 19
  


34 13 97 55 75 28
  
 
7.В. Найти произведения матриц
,
Ответ:
=
;
8. В. Вычислить: а)
и
, если
.
=
.
;
б)
;
в)
;
г)
.
Ответ: а)
; б)
17
; в)
; г)
.
ij
Aa
11 12
11 22 12 21
21 22
aa
A a a a a
aa
 
ij
Aa
312312322113332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
31 22 13 32 23 11 21 12 33
a a a a a a a a a
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МЕТОД КРАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Необходимость введения определителя – числа, характеризующе-
го квадратную матрицу А, тесно связано с решением систем линей­ных уравнений (СЛУ).
Определителем матрицы первого порядка A = (а11), или опреде-
лителем первого порядка, называется элемент а11. Обозначают опре­делитель матрицы А как: , det A или A.
Определителем матрицы второго порядка
, или опреде-
лителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
.
Определителем матрицы третьего порядка
, или опреде-
лителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется «правилом тре- угольников»: определитель представляет собой алгебраическую сум­му шести членов, при этом знак плюс имеет произведение элементов главной диагонали и два произведения элементов, образующих в матрице равнобедренные треугольники с основаниями, параллель-
18
.
11 12 13
21 22 22
31 32 33
a a a a a a a a a
  
 
11 12 13 11 12
21 22 22 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a a a a a a a a a a a
11 22 33 13 21 32 12 23 31
a a a a a a a a a
31 22 13 32 23 11 21 12 33
a a a a a a a a a
ными главной диагонали; знак минус имеет произведение элементов побочной диагонали и два произведения элементов, образующих в матрице равнобедренные треугольники с основаниями, параллель­ными побочной диагонали [2]. Схема приведена ниже:
Для нахождения значения определителя третьего порядка также можно пользоваться правилом Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллель­ных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов по­бочной диагонали и элементов, параллельных ей:
=
–
.
Свойства определителей
1 – Определитель не изменится, если строки определителя заме­нить столбцами, а столбцы – соответствующими строками.
2 – Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
3 – Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
4 – При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
19
J
JnJJ
Jr
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A ...1
...
............
...
...
det
21
21
21
22221
11211
1
rJ
rJ
022
11 22 33 12 23 31 13 21 32
1 1 1a a a a a a a a a      
322311
1
332112
1
312213
3
111 aaaaaaaaa
12
1
12
..
det 1 ...
n
n
J
i i ni
ii
A a a a
5 – Определитель с двумя пропорциональными строками (столб­цами) равен нулю.
6 – Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Определителем квадратной матрицы n-ного порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
.
Следует учесть, что знак каждого члена определяется как где
– число инверсий в перестановке J из номеров столбцов
,
элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания. Сумма берётся по всем перестановкам.
Замечание. Инверсия (беспорядок) в перестановке J – это наличие пары чи- сел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в переста­новке из трёх чисел J = (2; 1; 3) имеется одна инверсия (2; 1), а в перестановке J = (3; 2; 1)– три: (3; 2), (3;1), (2; 1).
Проверим, например, что при n = 3 мы получим введённый ранее определитель третьего порядка:
т.е. тоже выражение, что и полученное ранее по правилу треугольни-
ков
20
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности