Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Матрицы и определители. Практикум
.pdf
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
1
2
...
n
x
x
X
x
1
2
...
n
b
b
B
b
BXA
BAXAA
11
BAXE
1
BAX
1
1A
45
52
A
2 1 0
4 2 1
1 0 1
B
17 0A
2
11
1 2 2A
3
12
1 5 5A
Введём обозначения матриц:
,
,
.
Найдём решение системы уравнений (3.1) в матричной форме:
используя правило умножения матриц и условие равенства матриц,
систему уравнений (3.1) можно представить в виде:
;
;
;
.
Таким образом, чтобы найти матрицу неизвестных Х, достаточно
найти
и умножить её на матрицу свободных членов В [2].
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 3.1. Найти обратные матрицы для заданных матриц:
а)
б)
Решение: а) определитель матрицы
;
.
. Найдём алгеб-
раические дополнения элементов матрицы А:
;
;
41
3
21
1 5 5A
4
22
1 4 4A
1A
1
25
25
1
17 17
5 4 5 4
17
17 17
A
1
2 5 4 5
1
5 4 5 2
17
AA
17 0 1 0
1
0 17 0 1
17
E
2
10
12
1
2
11
A
3
11
14
1
3
12
A
2
01
24
1
4
13
A
1
10
01
1
3
21
A
2
11
02
1
4
22
A
5
23
21
11
10
A
1
12
01
1
4
31
A
2
14
02
1
5
32
A
8
24
12
1
6
33
A
1
2 1 1
1
3 2 2
7
2 1 8
B
;
для матрицы А, имеет вид:
Сделаем проверку:
;
. Матрица
, обратная
.
б) определитель матрицы В равен –7. Найдём алгебраические до-
полнения элементов матрицы В:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Следовательно,
.
42
1
25
17 17
54
17 17
A
1
2 1 1
777
322
777
2 1 8
777
B
3 2 2 5;
3 1;
5 3 4 0;
x y z
x y z
x y z
3 4 11;
5 6 28;
2 7.
xy
yz
xz
3 2 2
1 3 1
5 3 4
A
340
0 5 6
1 0 2
B
3 2 2
det 1 3 1 5
5 3 4
A
1A
9
43
13
11
A
1
45
11
12
A
12
35
31
13
A
Ответ: а)
; б)
.
Пример 3.2. Найти решение СЛУ с помощью обратной матрицы:
а)
б)
Решение.
Введём обозначения матриц:
а) вычислим определитель матрицы А:
Так как определитель матрицы А отличен от нуля, то существует
обратная матрица
дём обратную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
;
,
;
.
и система имеет единственное решение. Най-
;
43
;
2
43
22
21
A
2
45
23
22
A
1
35
23
23
A
4
13
22
31
A
1
11
23
32
A
7
31
23
33
A
1
924
1
1 2 1
5
12 1 7
A
9 2 4 5 43
11
1 2 1 1 7
55
12 1 7 0 59
X
340
0 5 6
1 0 2
54 0
11
56
10
02
A
12
06
6
12
A
13
05
5
10
A
21
40
8
02
A
22
30
6
12
A
23
34
4
10
A
31
40
24
56
A
32
30
18
06
A
33
34
15
05
A
;
;
;
;
Следовательно,
Решение системы запишется в виде
;
.
.
;
б) определитель матрицы В равен
=
алгебраические дополнения всех элементов матрицы В:
;
;
;
;
;
;
. Найдём
;
;
.
44
1
10 8 24
1
6 6 18
54
5 4 15
B
3
2
1
7
28
11
1545
1866
24810
54
1
X
5
43
x
5
7
y
5
59
z
1x
2y
3z
2 4 9 28;
7 3 6 1;
7 9 9 5.
x y z
xyz
x y z
A X B
2 4 9
7 3 6
7 9 9
A
x
Xy
z
28
1
5
B
2 4 9
det 7 3 6 348 0
7 9 9
A
344642
758121
34527
348
1
1
A
Таким образом, обратная матрица и решение СЛУ имеют вид:
,
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
Пример 3.3. Средствами матричного исчисления решить систему
уравнений
Решение. Исходную СЛУ можно представить в матричном виде:
,
.
где
Определитель матрицы А равен
Найдём обратную матрицу:
,
,
.
.
.
45
1
27 45 3 28 2
1
21 81 75 1 3
348
42 46 34 5 4
X A B
2x
3y
4z
2 5 2 1
1 3 1 1
X
25
13
A
21
11
B
1
2
x
X
x
X A B
1A
11
X A A B A
1
X E B A
1
X B A
1A
1A
10A
11
3A
12
1A
21
5A
22
2A
1
35
12
A
2 1 3 5 5 8
1 1 1 2 2 3
X
58
23
Следовательно, решение данной системы имеет вид:
.
Ответ:
,
,
.
Пример 3.4. Найти матрицу Х из уравнения:
Решение. Введём обозначения:
,
,
.
Данное уравнение можно записать в виде:
обе части уравнения справа на
, получим
.
. Умножим
,
,
.
Значит, для решения исходного уравнения нужно найти обрат-
ную матрицу
Определитель матрицы
и умножить матрицу-столбец В на матрицу
. Найдём обратную матрицу для мат-
рицы А. Вычислим алгебраические дополнения:
,
,
,
.
Следовательно, обратная матрица и решение исходного уравне-
ния имеют вид:
Ответ:
,
.
.
.
46
а)
1
35
59
;
в)
1
21
11
;
б)
1
45
79
;
г)
1
2 1 0
0 2 1
1 1 1
.
95
22
53
22
95
74
11
12
111
1 2 2
234
а)
20
01
;
в)
1 0 0
0 1 0
2 0 1
;
б)
45
78
;
г)
3 2 1
1 0 2
4 1 3
.
1
0
2
01
85
33
74
33
1 0 0
0 1 0
2 0 1
24
1
55
1 1 1
12
1
55
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ
1.А. Вычислить:
«ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ СЛУ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ»
ГРУППА А
Ответ: а)
; б)
; в)
2.А. Вычислить обратные к заданным матрицам:
; г)
.
Ответ: а)
; б)
47
; в)
; г)
.
1
1 1 2 5
0 1 1 3
1
1 2 3 2 2 1
2 3 4 2 1 2
3 4 5 1 2 2
12
13
12
1
33
24
1
33
45
1
33
2 4;
3 4 6;
xy
xy
4 5 6;
7 8 9,
xy
xy
5 2 4;
6 4 5,
xy
xy
8 3 5;
5 2 3.
xy
xy
4 5 8;
2 3 4 9;
2 6;
x y z
x y z
x y z
3.А. Вычислить произведения матриц:
а)
б)
Ответ: а)
;
; б)
.
.
4.А. Решить СЛУ средствами матричного исчисления:
а)
б)
в)
г)
д)
48
2 3;
5 12 2 1;
4 9 2 2.
x y z
x y z
x y z
13 1
,
16 32
xy
2 5 2 1
1 3 1 1
X
2 1 10
1 1 17
X
1 1 1 1
1 2 1 1
X
2 2 1
5 5 2
2 1 2
5 8 1
1 2 2
X
1 3 2 4 5
1 1 0 2 4
3 0 1 1 1
2 1 1 0 2
T
X
12
01
724
32
32
2 1 1
3 0 1
1 0 2 1
е)
Ответ: а) x =14, y= –9; б) x = –1, y = 2; в)
;
г) x =1, y = –1; д) x =2, y = –1, z = –2; е) x =3, y = –2, z = –4.
5.А. Найти матрицу Х из уравнения:
а)
б)
;
;
в)
г)
д)
Ответ: а)
; б)
;
; в)
.
;
;г)
;
д)
.
49
а)
1
34
57
;
в)
1
1 2 0
2 5 2
0 2 5
;
б)
1
58
35
;
г)
1
111
1 2 2
2 3 4
.
74
53
58
35
21 10 4
10 5 2
4 2 1
2 1 0
0 2 1
111
а)
1
01
n
;
в)
1 2 2
2 1 2
2 2 1
;
б)
46
24
;
г)
1 1 2
2 1 2
4 1 4
.
1
01
n
3
1
2
1
1
2
1 2 2
9 9 9
2 1 2
9 9 9
2 2 1
9 9 9
1 1 2
33
0 2 1
33
1 1 1
22
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ
1.В. Вычислить:
«ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ СЛУ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ»
ГРУППА В
Ответ:
а)
; б)
; в)
2.В. Вычислить обратную к данной матрице:
; г)
.
Ответ: а)
; б)
50
; в)
; г)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]