Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Матрицы и определители. Практикум
.pdf
1
ij
1
ij
ij ij
A М
1 1 2 2
1
...
n
i i i i in in is is
s
a A a A a A a A
1 1 2 2
1
...
n
j j j j nj nj sj sj
s
a A a A a A a A
С ростом порядка матрицы расчёт определителя по определению
становится затруднительным (для n = 4 по определению получим 24
слагаемых).
На практике расчёт определителей n-ного порядка удобнее вести
с помощью разложения по элементам строки или столбца. Для использования этого метода введём определения минора и алгебраического дополнения.
Минором M
элемента аij матрицы n-ного порядка называется
ij
определитель матрицы (n–1)-го порядка, полученной из матрицы А
вычёркиванием i-той строки и j-того столбца. Каждая матрица n-ного
порядка имеет n2 миноров (n–1)-го порядка.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-ного по-
рядка называется соответствующий этому элементу минор, умножен-
ный на
, т.е.
.
Теорема разложения. Определитель квадратной матрицы равен
сумме произведений элементов любой строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения:
i-той строки; i = 1, 2, …, n.
там j-того столбца; j = 1, 2, …, m.
– разложение по элементам
– разложение по элемен-
21
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
;
;
.
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
0
1
1
x
2
2
x
3
3
x
1 12 13
1 2 22 23
3 32 33
b a a
b a a
b a a
11 1 13
2 21 2 23
31 3 33
a b a
a b a
a b a
11 12 1
3 21 22 2
31 32 3
a a b
a a b
a a b
1
2
3
2.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ КРАМЕРА
С помощью определителей очень удобно записывать решение СЛУ.
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвест-
ными:
(2.1)
Определитель
, составленный из коэффициентов
при неизвестных, называется главным определителем системы (2.1).
Если
, система (2.1) имеет единственное решение, которое
определяется по формулам:
;
;
, (2.2)
где
т.е. определители
замены его первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов системы (2.1). Формулы (2.2) называются формулами
Крамера.
Формулы Крамера обобщаются и на систему n линейных урав-
нений с n неизвестными.
;
,
,
получаются из определителя путём
;
,
22
0 1 2
1 2 1
2 1 1
0 1 2
1 2 1 0 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1
2 1 1
1 1 0 9
1 2 1 3
11
0 1 2
1 1 1 2
1 2 1 0 1 1 2 1
2 1 2 1
2 1 1
A
1 1 1 1 2
2 1 1 2 2 3 6 9
1 2 2 2
0 1 2
1 1 0 2
1 2 1 1 1 2 1
2 1 2 1
2 1 1
32
02
1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 2 2 1 0 1 2 1
11
3 8 2 9
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 2.1. Вычислить определитель
а) по правилу треугольника;
б) разложением по элементам первой строки;
в) разложением по элементам второго столбца.
Решение:
а) воспользуемся правилом треугольника:
;
б) вычислим определитель разложением по первой строке:
:
в) вычислим определитель разложением по второму столбцу:
.
Ответ: –9.
Величина определителя характеризует матрицу и не зависит
от способа расчёта. Так для матрицы из примера 2.1 было получено
единственное, соответствующее матрице, число.
;
23
3 1 0
1 2 1
5 4 0
23
3 1 0
31
1 2 1 1 1 1 7 7
54
5 4 0
2 3 1
4 2 1
1 5 2
1 2 4
2 1 3
3 4 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 3 1 2 3 1
4 2 1 6 5 0
1 5 2 3 1 0
2 3 1
6 5 2 3 2 3
6 5 0 1 0 0 6 15 9
3 1 3 1 6 5
3 1 0
Пример 2.2. Вычислить определитель разложением по элементам
третьего столбца:
Решение.
.
.
Ответ: –7.
Пример 2.3. Вычислить определители, пользуясь их свойствами:
а)
б)
;
;
в)
.
Решение:
а) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы
1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтем удвоенные элементы
1-й строки:
Разложим определитель по элементам третьего столбца, получим
24
.
;
1 2 4 1 2 4 1 2 4
2 1 3 0 5 5 2 0 5 5 2 0
3 4 2 0 10 10 0 5 5
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 0 2 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 2 0
2 1 1 4
sin3 cos3
cos3 sin3
xx
A
xx
13cos3sin
3sin3cos
3cos3sin
22
xx
xx
xx
2
2 7 2
1
31
xx
б) к элементам 2-й строки прибавим удвоенные элементы 1-й
строки; из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 3 и вынесем –2 (общий множитель элементов 3-й строки)
за знак определителя:
= 0
(две одинаковые строки, свойство 3);
в) к элементам 3-й строки прибавим соответствующие элементы
1-й строки и разложим определитель по элементам 3-й строки:
.
Ответ: а) 9; б) 0; в) –4.
Пример 2.4. Найти определитель матрицы
Решение.
Ответ: 1.
.
Пример 2.5. Решить неравенство
25
.
2
2 7 6 1xx
2
2 6 8 0xx
2 4 1 0xx
1; 4x
10
1 1 2 5
2 1 1
x
x
52221
2
xxxx
2
2 2 4 0xx
2
20xx
12
1; 2xx
24
127
533
12
xx
x
22
3 70 6 21 10 6 24x x x x
2
60 24 36 0xx
2
5 2 3 0xx
5 1 0,6 0xx
1; 0,6x
1; 0,6x
Решение. Раскроем определитель:
добные:
. Разложим квадратный трёхчлен на линейные
множители:
тервалов, получим
Ответ: (–1; 4).
Пример 2.6. Решить уравнение
Решение. Найдем определитель:
ведём подобные:
, приведём по-
. Решим это неравенство методом ин-
.
.
, при-
, разделим на –2 обе части уравне-
ния:
. Корнями уравнения, по теореме Виета, являются
числа –1 и 2.
Ответ:
.
Пример 2.7. Решить неравенство
.
Решение. Раскроем определитель:
приведём подобные:
ства на –12, со сменой знака неравенства:
, разделим обе части неравен-
. Разложим
квадратный трёхчлен на произведение линейных множителей:
,
ся в виде:
Ответ:
. Решение, согласно методу интервалов, запишет-
.
.
26
3 2 1 3 2 7
2 3 2 2 3 2
4 5 3 4 5 11
.
27 16 10 12 30 12 3
лев
.
99 16 70 84 30 44 3
прав
2623
1814
5141
1415
263
184
511
11
262
181
514
15
2111
623
814
141
11
223
114
541
14
4131
15745
264331241537033314
Пример 2.8. Докажите тождество
.
Решение. Если найденные определители обеих частей равенства
окажутся одинаковыми, то тождество будет доказано. Найдём величину определителя в левой части:
Значение определителя правой части:
, тождество доказано.
Пример 2.9. Вычислить определитель четвёртого порядка:
.
Решение. Разложим определитель, например, по элементам
.
первой строки:
Ответ: –264.
.
27
1 2 2 2
2 1 2 2
2 2 1 2
2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1
1 1 0
2 1 2 1 1 1 0 0
2 2 2 1 0 1
2 2 1 1 1 0 1 0
3 4 4
2 2 2 1 3 4 4 0
12
1 1 0
11
2 1 0 1 2 1 1 2 4 7 22
74
7 0 4
2 3 2 9;
2 3 14;
3 4 16.
x y z
x y z
x y z
143
321
232
4 27 8 12 3 24 6
Пример 2.10. Вычислить определитель:
.
Решение. Вынесем за знак определителя общий множитель 4-го
столбца. Из элементов 3-й и 2-й строк вычтем элементы 1-й строки,
прибавим к элементам 4-й строки элементы 1-й строки, затем разложим определитель по элементам 4-го столбца:
.
Прибавим к элементам 3-й строки элементы 1-й строки, умноженные на 4 и разложим определитель по элементам 2-го столбца:
Ответ: – 22.
Пример 2.11. Решить систему линейных уравнений по формулам
Крамера:
.
Решение:
=
28
.
1416
3214
239
x
12108426411214418
2
6
12
xx
1896984488128
1163
3141
292
y
3
6
18
y
y
1248112543612664
1643
1421
932
z
2
6
12
zz
2 3 7;
3 2 5;
3.
x y z
x y z
x y z
1 2 3
1 3 2 3 4 3 9 2 2 9 0
1 1 1
Определитель данной системы отличен от нуля, следовательно, она
имеет единственное решение. Находим его по формулам Крамера:
=
.
.
.
.
.
Ответ: х = 2, у = 3, z = – 2.
Пример 2.12. Решить систему линейных уравнений методом
Крамера:
Решение:
29
.
.
7 2 3
5 3 2 21 12 15 27 14 10 9
3 1 1
x
1 7 3
1 5 2 5 14 9 15 6 7 0
1 3 1
y
1 2 7
1 3 5 9 10 7 21 5 6 18
1 1 3
z
9
1
9
x
x
0
0
9
y
y
18
2
9
z
z
1, 0, 2x y z
.
.
.
,
,
Ответ:
.
Разбирая задачи в работах [3–5] можно закрепить полученные
навыки, решая аналогичные задания.
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]